En no ideales dinámica de fluidos , la ecuación de Hagen-Poiseuille , también conocida como la ley de Hagen-Poiseuille , ley de Poiseuille o ecuación de Poiseuille , es una ley física que da a la caída de presión en una incompresible y newtoniano fluido en flujo laminar que fluye a través de un tubo cilíndrico largo de sección transversal constante. Se puede aplicar con éxito al flujo de aire en los alvéolos pulmonares , o al flujo a través de una pajita para beber o mediante una aguja hipodérmica . Se derivó experimentalmente de forma independiente porJean Léonard Marie Poiseuille en 1838 [1] y Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen , [2] y publicado por Poiseuille en 1840-1841 y 1846. [1] La justificación teórica de la ley de Poiseuille fue dada por George Stokes en 1845. [3]
Los supuestos de la ecuación son que el fluido es incompresible y newtoniano ; el flujo es laminar a través de una tubería de sección transversal circular constante que es sustancialmente más larga que su diámetro; y no hay aceleración de fluido en la tubería. Para velocidades y diámetros de tubería por encima de un umbral, el flujo de fluido real no es laminar sino turbulento , lo que genera caídas de presión mayores que las calculadas por la ecuación de Hagen-Poiseuille.
La ecuación de Poiseuille describe la caída de presión debido a la viscosidad del fluido; Todavía pueden ocurrir otros tipos de caídas de presión en un líquido (vea una demostración aquí). [4] Por ejemplo, la presión necesaria para conducir un arriba fluido viscoso contra la gravedad que contengan las dos que, según sea necesario en la ley de Poiseuille , más que como sea necesario en la ecuación de Bernoulli , de manera que cualquier punto en el flujo tendría una mayor presión que cero (de lo contrario no ocurriría ningún flujo).
Otro ejemplo es cuando la sangre fluye hacia una constricción más estrecha , su velocidad será mayor que en un diámetro mayor (debido a la continuidad del flujo volumétrico ), y su presión será menor que en un diámetro mayor [4] (debido a la ecuación de Bernoulli ). Sin embargo, la viscosidad de la sangre provocará una caída de presión adicional a lo largo de la dirección del flujo, que es proporcional a la longitud recorrida [4] (según la ley de Poiseuille). Ambos efectos contribuyen a la caída de presión real .
Ecuación
En notación estándar de cinética de fluidos: [5] [6] [7]
dónde:
- Δ p es la diferencia de presión entre los dos extremos,
- L es la longitud de la tubería,
- μ es la viscosidad dinámica ,
- Q es el caudal volumétrico ,
- R es el radio de la tubería ,
- A es la sección transversal de la tubería.
La ecuación no se mantiene cerca de la entrada de la tubería. [8] : 3
La ecuación falla en el límite de baja viscosidad, tubería ancha y / o corta. Una baja viscosidad o una tubería ancha pueden resultar en un flujo turbulento, por lo que es necesario utilizar modelos más complejos, como la ecuación de Darcy-Weisbach . La relación entre la longitud y el radio de una tubería debe ser mayor que un cuadragésimo octavo del número de Reynolds para que la ley de Hagen-Poiseuille sea válida. [9] Si la tubería es demasiado corta, la ecuación de Hagen-Poiseuille puede resultar en caudales anormalmente altos; el flujo está limitado por el principio de Bernoulli , en condiciones menos restrictivas, por
porque es imposible tener una presión menor que cero (absoluta) (que no debe confundirse con la presión manométrica ) en un flujo incompresible.
Relación con la ecuación de Darcy-Weisbach
Normalmente, el flujo de Hagen-Poiseuille implica no solo la relación para la caída de presión, arriba, sino también la solución completa para el perfil de flujo laminar, que es parabólico. Sin embargo, el resultado de la caída de presión puede extenderse a flujo turbulento al inferir una viscosidad turbulenta efectiva en el caso de flujo turbulento, aunque el perfil de flujo en flujo turbulento no es estrictamente parabólico. En ambos casos, laminar o turbulento, la caída de presión está relacionada con la tensión en la pared, que determina el llamado factor de fricción. La tensión de la pared se puede determinar fenomenológicamente mediante la ecuación de Darcy-Weisbach en el campo de la hidráulica , dada una relación para el factor de fricción en términos del número de Reynolds. En el caso de flujo laminar, para una sección transversal circular:
donde Re es el número de Reynolds , ρ es la densidad del fluido yv es la velocidad media del flujo, que es la mitad de la velocidad máxima del flujo en el caso del flujo laminar. Resulta más útil definir el número de Reynolds en términos de la velocidad media del flujo porque esta cantidad permanece bien definida incluso en el caso de flujo turbulento, mientras que la velocidad máxima del flujo puede no serlo, o en cualquier caso, puede ser difícil de inferir. . De esta forma, la ley se aproxima al factor de fricción de Darcy , el factor de pérdida de energía (carga) , el factor de pérdida por fricción o el factor de Darcy (fricción) Λ en el flujo laminar a velocidades muy bajas en un tubo cilíndrico. La derivación teórica de una forma ligeramente diferente de la ley fue realizada independientemente por Wiedman en 1856 y Neumann y E. Hagenbach en 1858 (1859, 1860). Hagenbach fue el primero en llamar a esta ley ley de Poiseuille.
La ley también es muy importante en hemorreología y hemodinámica , ambos campos de la fisiología . [10]
La ley de Poiseuille fue ampliada más tarde en 1891 al flujo turbulento por L. R. Wilberforce, basado en el trabajo de Hagenbach.
Derivación
La ecuación de Hagen-Poiseuille se puede derivar de las ecuaciones de Navier-Stokes . El flujo laminar a través de una tubería de sección transversal uniforme (circular) se conoce como flujo Hagen-Poiseuille. Las ecuaciones que gobiernan el flujo de Hagen-Poiseuille se pueden derivar directamente de las ecuaciones de momento de Navier-Stokes en coordenadas cilíndricas 3D haciendo el siguiente conjunto de suposiciones:
- El flujo es constante ( ).
- Los componentes radial y azimutal de la velocidad del fluido son cero ( ).
- El flujo es axisimétrico ( ).
- El flujo está completamente desarrollado (). Aquí, sin embargo, esto se puede demostrar mediante la conservación masiva y las suposiciones anteriores.
Entonces, la ecuación angular en las ecuaciones de momento y la ecuación de continuidad se satisfacen de manera idéntica. La ecuación del momento radial se reduce a, es decir, la presión es una función de la coordenada axial solo. Por brevedad, utilice en vez de . La ecuación del momento axial se reduce a
dónde es la viscosidad dinámica del fluido. En la ecuación anterior, el lado izquierdo es solo una función de y el término del lado derecho es solo una función de , lo que implica que ambos términos deben ser la misma constante. Evaluar esta constante es sencillo. Si tomamos la longitud de la tubería como y denotar la diferencia de presión entre los dos extremos de la tubería por (alta presión menos baja presión), entonces la constante es simplemente definido de tal manera que es positivo. La solucion es
Desde necesita ser finito en , . La condición de límite de no deslizamiento en la pared de la tubería requiere que a (radio de la tubería), lo que produce Así tenemos finalmente el siguiente perfil de velocidades parabólicas :
La velocidad máxima ocurre en la línea central de la tubería (), . La velocidad promedio se puede obtener integrando sobre la sección transversal de la tubería ,
La cantidad fácilmente medible en los experimentos es el caudal volumétrico . El reordenamiento de esto da como resultado la ecuación de Hagen-Poiseuille
Elaboración de derivaciones partiendo directamente de los primeros principios Aunque es más extenso que usar directamente las ecuaciones de Navier-Stokes , un método alternativo para derivar la ecuación de Hagen-Poiseuille es el siguiente. Flujo de líquido a través de una tubería
Suponga que el líquido presenta un flujo laminar . El flujo laminar en una tubería redonda prescribe que hay un montón de capas circulares (láminas) de líquido, cada una de las cuales tiene una velocidad determinada solo por su distancia radial desde el centro del tubo. También suponga que el centro se mueve más rápido mientras el líquido que toca las paredes del tubo está estacionario (debido a la condición de no deslizamiento ).Para calcular el movimiento del líquido, se deben conocer todas las fuerzas que actúan sobre cada lámina:
- La fuerza de presión que empuja el líquido a través del tubo es el cambio de presión multiplicado por el área: F = - A Δ p . Esta fuerza está en la dirección del movimiento del líquido. El signo negativo proviene de la forma convencional en que definimos Δ p = p end - p top <0 .
- Los efectos de la viscosidad saldrán de la lámina más rápida inmediatamente más cerca del centro del tubo.
- Los efectos de la viscosidad se arrastrarán desde la lámina más lenta inmediatamente más cerca de las paredes del tubo.
Viscosidad
Cuando dos capas de líquido en contacto entre sí se mueven a diferentes velocidades, habrá una fuerza cortante entre ellas. Esta fuerza es proporcional al área de contacto A , el gradiente de velocidad perpendicular a la dirección del flujoΔ v x/Δ y, y una constante de proporcionalidad (viscosidad) y está dada por
El signo negativo está ahí porque nos preocupa el líquido que se mueve más rápido (arriba en la figura), que está siendo ralentizado por el líquido más lento (abajo en la figura). Según la tercera ley del movimiento de Newton , la fuerza sobre el líquido más lento es igual y opuesta (sin signo negativo) a la fuerza sobre el líquido más rápido. Esta ecuación asume que el área de contacto es tan grande que podemos ignorar cualquier efecto de los bordes y que los fluidos se comportan como fluidos newtonianos .
Lámina más rápida
Suponga que estamos calculando la fuerza sobre la lámina con radio r . De la ecuación anterior, necesitamos conocer el área de contacto y el gradiente de velocidad . Piense en la lámina como un anillo de radio r , espesor dr y longitud Δ x . El área de contacto entre la lámina y la más rápida es simplemente el área del interior del cilindro: A = 2π r Δ x . Todavía no conocemos la forma exacta de la velocidad del líquido dentro del tubo, pero sí sabemos (de nuestra suposición anterior) que depende del radio. Por lo tanto, el gradiente de velocidad es el cambio de la velocidad con respecto al cambio en el radio en la intersección de estas dos láminas. Esa intersección está en un radio de r . Entonces, considerando que esta fuerza será positiva con respecto al movimiento del líquido (pero la derivada de la velocidad es negativa), la forma final de la ecuación se convierte en
donde la barra vertical y el subíndice r que siguen a la derivada indican que debe tomarse en un radio de r .
Lámina más lenta
A continuación, encontremos la fuerza de arrastre de la lámina más lenta. Necesitamos calcular los mismos valores que hicimos para la fuerza de la lámina más rápida. En este caso, el área de contacto está en r + dr en lugar de r . Además, debemos recordar que esta fuerza se opone a la dirección del movimiento del líquido y, por lo tanto, será negativa (y que la derivada de la velocidad es negativa).
Poniendolo todo junto
Para encontrar la solución para el flujo de una capa laminar a través de un tubo, necesitamos hacer una última suposición. No hay aceleración del líquido en la tubería y, según la primera ley de Newton , no hay fuerza neta. Si no hay fuerza neta, podemos sumar todas las fuerzas para obtener cero.
o
Primero, para que todo suceda en el mismo punto, use los dos primeros términos de una expansión en serie de Taylor del gradiente de velocidad:
La expresión es válida para todas las láminas. Agrupar términos semejantes y eliminar la barra vertical, ya que se supone que todas las derivadas están en el radio r ,
Finalmente, ponga esta expresión en forma de ecuación diferencial , eliminando el término cuadrático en dr .
La ecuación anterior es la misma que la obtenida de las ecuaciones de Navier-Stokes y la derivación de aquí en adelante sigue como antes.
Puesta en marcha del flujo de Poiseuille en una tubería
Cuando un gradiente de presión constante se aplica entre dos extremos de una tubería larga, el flujo no obtendrá inmediatamente el perfil de Poiseuille, sino que se desarrolla a través del tiempo y alcanza el perfil de Poiseuille en estado estacionario. Las ecuaciones de Navier-Stokes se reducen a
con condiciones iniciales y de contorno,
La distribución de velocidades está dada por
dónde es la función de Bessel del primer tipo de orden cero y son las raíces positivas de esta función y es la función de Bessel del primer tipo de orden uno. Como, Se recupera la solución de Poiseuille. [11]
Flujo de poiseuille en una sección anular
Si es el radio del cilindro interior y es el radio exterior del cilindro, con un gradiente de presión aplicado entre los dos extremos , la distribución de velocidad y el flujo de volumen a través del tubo anular son
Cuándo , se recupera el problema original. [12]
Flujo de Poiseuille en una tubería con un gradiente de presión oscilante
El flujo a través de tuberías con un gradiente de presión oscilante encuentra aplicaciones en el flujo sanguíneo a través de arterias grandes. [13] [14] [15] [16] El gradiente de presión impuesto está dado por
dónde , y son constantes y es la frecuencia. El campo de velocidad está dado por
dónde
dónde y son las funciones de Kelvin y.
Flujo plano Poiseuille
El flujo plano de Poiseuille es un flujo creado entre dos placas paralelas infinitamente largas, separadas por una distancia con un gradiente de presión constante se aplica en la dirección del flujo. El flujo es esencialmente unidireccional debido a su longitud infinita. Las ecuaciones de Navier-Stokes se reducen a
con condición antideslizante en ambas paredes
Por lo tanto, la distribución de la velocidad y el caudal volumétrico por unidad de longitud son
Flujo de poiseuille a través de algunas secciones transversales no circulares
Joseph Boussinesq derivó el perfil de velocidad y el caudal volumétrico en 1868 para canales y tubos rectangulares de sección transversal triangular equilátera y para sección transversal elíptica. [17] Joseph Proudman derivó lo mismo para los triángulos isósceles en 1914. [18] Sea ser el gradiente de presión constante que actúa en dirección paralela al movimiento.
La velocidad y el caudal volumétrico en un canal rectangular de altura. y ancho están
La velocidad y el caudal volumétrico del tubo con sección transversal triangular equilátera de longitud lateral están
La velocidad y el caudal volumétrico en el triángulo isósceles en ángulo recto están
La distribución de velocidad para tubos de sección elíptica con semieje y es [11]
Aquí, cuando , Se recupera el flujo de Poiseuille para tubería circular y cuando , se recupera el flujo de Poiseuille plano . Soluciones más explícitas con secciones transversales como secciones en forma de caracol, secciones que tienen la forma de un círculo de muesca siguiendo un semicírculo, secciones anulares entre elipses homofocales, secciones anulares entre círculos no concéntricos también están disponibles, según lo revisado por Ratip Berker . [19] [20]
Flujo de poiseuille a través de una sección transversal arbitraria
El flujo a través de una sección transversal arbitraria satisface la condición de que en las paredes. La ecuación gobernante se reduce a [21]
Si introducimos una nueva variable dependiente como
entonces es fácil ver que el problema se reduce a integrar una ecuación de Laplace
satisfaciendo la condición
en la pared.
Ecuación de Poiseuille para un gas isotérmico ideal
Para un fluido compresible en un tubo, el caudal volumétrico (pero no el caudal másico) y la velocidad axial no son constantes a lo largo del tubo. El flujo generalmente se expresa a la presión de salida. A medida que el fluido se comprime o se expande, se realiza trabajo y el fluido se calienta o enfría. Esto significa que el caudal depende de la transferencia de calor hacia y desde el fluido. Para un gas ideal en el caso isotérmico , donde se permite que la temperatura del fluido se equilibre con su entorno, se puede derivar una relación aproximada para la caída de presión. [22] Utilizando la ecuación de estado del gas ideal para un proceso de temperatura constante, la relaciónPuede ser obtenido. En una sección corta de la tubería, se puede suponer que el gas que fluye a través de la tubería es incompresible, de modo que la ley de Poiseuille se puede usar localmente,
Aquí asumimos que el gradiente de presión local no es demasiado grande para tener efectos de compresibilidad. Aunque a nivel local ignoramos los efectos de la variación de presión debido a la variación de densidad, en distancias largas estos efectos se tienen en cuenta. Desde es independiente de la presión, la ecuación anterior se puede integrar en la longitud dar
Por tanto, el caudal volumétrico en la salida de la tubería viene dado por
Esta ecuación puede verse como la ley de Poiseuille con un factor de corrección adicional p 1 + p 2/2 p 2 expresando la presión media relativa a la presión de salida.
Analogía de circuitos eléctricos
Originalmente se entendió que la electricidad era una especie de fluido. Esta analogía hidráulica sigue siendo conceptualmente útil para comprender los circuitos. Esta analogía también se utiliza para estudiar la respuesta de frecuencia de redes fluido-mecánicas utilizando herramientas de circuito, en cuyo caso la red de fluido se denomina circuito hidráulico . La ley de Poiseuille corresponde a la ley de Ohm para circuitos eléctricos, V = IR . Dado que la fuerza neta que actúa sobre el fluido es igual a, donde S = π r 2 , es decir, Δ F = π r 2 Δ P , luego de la ley de Poiseuille, se sigue que
- .
Para circuitos eléctricos, sea n la concentración de partículas cargadas libres (en m −3 ) y sea q * la carga de cada partícula (en culombios ). (Para electrones, q * = e =1.6 × 10 −19 C. ) Entonces nQ es el número de partículas en el volumen Q , y nQq * es su carga total. Esta es la carga que fluye a través de la sección transversal por unidad de tiempo, es decir, la corriente I . Por tanto, I = nQq * . En consecuencia, Q = I/nq *, y
Pero Δ F = Eq , donde q es la carga total en el volumen del tubo. El volumen del tubo es igual a π r 2 L , por lo que el número de partículas cargadas en este volumen es igual an π r 2 L , y su carga total esDado que el voltaje V = EL , se sigue entonces
Esta es exactamente la ley de Ohm, donde la resistencia R = V/I se describe mediante la fórmula
- .
De ello se deduce que la resistencia R es proporcional a la longitud L de la resistencia, lo cual es cierto. Sin embargo, también se deduce que la resistencia R es inversamente proporcional a la cuarta potencia del radio r , es decir, la resistencia R es inversamente proporcional a la segunda potencia del área de sección transversal S = π r 2 de la resistencia, que es diferente de la fórmula eléctrica. La relación eléctrica para la resistencia es
donde ρ es la resistividad; es decir, la resistencia R es inversamente proporcional al área de la sección transversal S de la resistencia. [23] La razón por la cual la ley de Poiseuille conduce a una fórmula diferente para la resistencia R es la diferencia entre el flujo de fluido y la corriente eléctrica. El gas de electrones es no viscoso , por lo que su velocidad no depende de la distancia a las paredes del conductor. La resistencia se debe a la interacción entre los electrones que fluyen y los átomos del conductor. Por lo tanto, la ley de Poiseuille y la analogía hidráulica son útiles solo dentro de ciertos límites cuando se aplican a la electricidad. Tanto la ley de Ohm como la ley de Poiseuille ilustran los fenómenos de transporte .
Aplicaciones médicas: acceso intravenoso y suministro de líquidos
La ecuación de Hagen-Poiseuille es útil para determinar la resistencia vascular y, por lo tanto, la velocidad de flujo de los líquidos intravenosos (IV) que se pueden lograr utilizando varios tamaños de cánulas periféricas y centrales . La ecuación establece que la tasa de flujo es proporcional al radio a la cuarta potencia, lo que significa que un pequeño aumento en el diámetro interno de la cánula produce un aumento significativo en la tasa de flujo de los fluidos intravenosos. El radio de las cánulas intravenosas se mide típicamente en "calibre", que es inversamente proporcional [ dudoso ] al radio. Las cánulas intravenosas periféricas suelen estar disponibles (de grandes a pequeñas) 14G, 16G, 18G, 20G, 22G, 26G. Como ejemplo, el flujo de una cánula 14G es típicamente alrededor del doble [ cita requerida ] que el de una 16G, y diez veces [ cita requerida ] que el de una 20G. También establece que el flujo es inversamente proporcional a la longitud, lo que significa que las líneas más largas tienen tasas de flujo más bajas. Es importante recordar esto, ya que en una emergencia, muchos médicos prefieren catéteres más cortos y grandes en comparación con catéteres más largos y estrechos. Si bien es de menor importancia clínica, un mayor cambio en la presión (∆ p ), como presurizar la bolsa de líquido, apretar la bolsa o colgar la bolsa más alto (en relación con el nivel de la cánula), se puede utilizar para acelerar tasa de flujo. También es útil comprender que los fluidos viscosos fluirán más lentamente (por ejemplo, en las transfusiones de sangre ).
Ver también
- Flujo de couette
- Ley de darcy
- Legumbres
- Onda
- Circuito hidraulico
Notas
Referencias citadas
- ↑ a b Sutera, Salvatore P .; Skalak, Richard (1993). "La historia de la ley de Poiseuille" . Revisión anual de mecánica de fluidos . 25 : 1–19. Código Bibliográfico : 1993AnRFM..25 .... 1S . doi : 10.1146 / annurev.fl.25.010193.000245 .
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Referencias
- Sutera, SP; Skalak, R. (1993). "La historia de la ley de Poiseuille" . Revisión anual de mecánica de fluidos . 25 : 1–19. Código Bibliográfico : 1993AnRFM..25 .... 1S . doi : 10.1146 / annurev.fl.25.010193.000245 ..
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enlaces externos
- Ley de Poiseuille para fluido no newtoniano con ley de potencias
- Ley de Poiseuille en un tubo ligeramente cónico
- Calculadora de ecuaciones de Hagen-Poiseuille