La ecuación de Hamilton-Jacobi es también la única formulación de la mecánica en la que el movimiento de una partícula se puede representar como una onda. En este sentido, cumplió un objetivo de larga data de la física teórica (que data al menos de Johann Bernoulli en el siglo XVIII) de encontrar una analogía entre la propagación de la luz y el movimiento de una partícula. La ecuación de onda seguida por los sistemas mecánicos es similar, pero no idéntica, a la ecuación de Schrödinger , como se describe a continuación; por esta razón, la ecuación de Hamilton-Jacobi se considera el "enfoque más cercano" de la mecánica clásica a la mecánica cuántica . [1] [2]
Un punto sobre una variable o lista significa la derivada del tiempo (consulte la notación de Newton ). Por ejemplo,
La notación del producto escalar entre dos listas del mismo número de coordenadas es una forma abreviada de la suma de los productos de los componentes correspondientes, como
muestra que las ecuaciones de Euler-Lagrange forman unasistema de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Invertir la matriz transforma este sistema en
Deja que un tiempo sea instantáneo y un punto en el espacio de configuración ser fijo. Los teoremas de existencia y unicidad garantizan que, para cadael problema del valor inicial con las condiciones y tiene una solución localmente única Además, deje que haya un intervalo de tiempo suficientemente pequeño tal que extremos con diferentes velocidades iniciales no se cruzaría en Esto último significa que, para cualquier y cualquier puede haber como mucho un extremo para cual y Sustituyendo en la acción funcional da como resultado la función principal de Hamilton
Fórmula para los momentos: p i (q, t) = ∂S / ∂q i
Los momentos se definen como las cantidades Esta sección muestra que la dependencia de en desaparece, una vez que se conoce el HPF.
De hecho, deja que un instante de tiempo y un punto en el espacio de configuración ser fijo. Por cada instante de tiempo y un punto dejar ser el extremo (único) de la definición de la función principal de Hamilton Llamada la velocidad en . Luego
Prueba.
Si bien la prueba a continuación asume que el espacio de configuración es un subconjunto abierto de la técnica subyacente se aplica igualmente a espacios arbitrarios . En el contexto de esta prueba, la letra caligráfica denota la acción funcional, y la cursiva función principal de Hamilton.
Paso 1. Deja ser un camino en el espacio de configuración, y un campo vectorial a lo largo de . (Para cada el vector se llama perturbación , variación infinitesimal o desplazamiento virtual del sistema mecánico en el punto). Recuerda que la variación de la acción en el punto en la dirección está dado por la fórmula
donde uno debe sustituir y después de calcular las derivadas parciales en el lado derecho. (Esta fórmula se deriva de la definición de derivado de Gateaux mediante integración por partes).
Asumir que es un extremal. Desdeahora satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange, el término integral desaparece. Sipunto de partida se fija, entonces, por la misma lógica que se utilizó para derivar las ecuaciones de Euler-Lagrange, Por lo tanto,
Paso 2. Deje ser el extremo (único) de la definición de HPF, un campo vectorial a lo largo de y una variación de "compatible con En términos precisos,
Por definición de HPF y derivado de Gateaux,
Aquí, tomamos en cuenta que y cayó para compacidad.
Paso 3. Ahora sustituimos y en la expresión de del Paso 1 y compare el resultado con la fórmula derivada del Paso 2. El hecho de que, para el campo vectorial fue elegido arbitrariamente completa la prueba.
Los momentos conjugados corresponden a las primeras derivadas de con respecto a las coordenadas generalizadas
Como solución a la ecuación de Hamilton-Jacobi, la función principal contiene constantes indeterminadas, la primera de ellos denotados como , y el último procedente de la integración de .
también son constantes de movimiento, y estas ecuaciones se pueden invertir para encontrar en función de todos los y constantes y tiempo. [5]
Comparación con otras formulaciones de mecánica.
La ecuación de Hamilton-Jacobi es una única ecuación diferencial parcial de primer orden para la función decoordenadas generalizadas y el tiempo . Los momentos generalizados no aparecen, excepto como derivados de. Sorprendentemente, la funciónes igual a la acción clásica .
A modo de comparación, en las ecuaciones de movimiento de Euler-Lagrange equivalentes de la mecánica de Lagrange , los momentos conjugados tampoco aparecen; sin embargo, esas ecuaciones son un sistema de, generalmente ecuaciones de segundo orden para la evolución temporal de las coordenadas generalizadas. De manera similar, las ecuaciones de movimiento de Hamilton son otro sistema de 2 N ecuaciones de primer orden para la evolución temporal de las coordenadas generalizadas y sus momentos conjugados..
Dado que el HJE es una expresión equivalente de un problema de minimización integral como el principio de Hamilton , el HJE puede ser útil en otros problemas del cálculo de variaciones y, más en general, en otras ramas de las matemáticas y la física , como los sistemas dinámicos , la geometría simpléctica. y caos cuántico . Por ejemplo, las ecuaciones de Hamilton-Jacobi se pueden utilizar para determinar las geodésicas en una variedad de Riemann , un problema variacional importante en la geometría de Riemann .
Derivación mediante una transformación canónica
Cualquier transformación canónica que implique una función generadora de tipo 2 conduce a las relaciones
y ecuaciones de Hamilton en términos de las nuevas variables y nuevo hamiltoniano tienen la misma forma:
Para derivar el HJE, una función generadora se elige de tal manera que, hará que el nuevo hamiltoniano . Por lo tanto, todas sus derivadas también son cero, y las ecuaciones de Hamilton transformadas se vuelven triviales.
de modo que las nuevas coordenadas y momentos generalizados son constantes de movimiento . Como son constantes, en este contexto los nuevos momentos generalizados generalmente se denotan , es decir y las nuevas coordenadas generalizadas normalmente se denotan como , entonces .
Establecer la función generadora igual a la función principal de Hamilton, más una constante arbitraria :
el HJE surge automáticamente
Cuando se resuelve para , estos también nos dan las ecuaciones útiles
o escrito en componentes para mayor claridad
Idealmente, estas N ecuaciones se pueden invertir para encontrar las coordenadas generalizadas originales en función de las constantes y , resolviendo así el problema original.
Acción y funciones de Hamilton
La función principal S de Hamilton y la función clásica H están estrechamente relacionadas con la acción . El diferencial total de es:
entonces la derivada del tiempo de S es
Por lo tanto,
entonces S es en realidad la acción clásica más una constante indeterminada.
Cuando H no depende explícitamente del tiempo,
en este caso, W es lo mismo que una acción abreviada .
Separación de variables
El HJE es más útil cuando se puede resolver mediante la separación aditiva de variables , que identifica directamente las constantes de movimiento . Por ejemplo, el tiempo t puede separarse si el hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo. En ese caso, la derivada del tiempo en el HJE debe ser una constante, generalmente denotada (), dando la solución separada
donde la función independiente del tiempo a veces se denomina función característica de Hamilton . La ecuación reducida de Hamilton-Jacobi se puede escribir
Para ilustrar la separabilidad de otras variables, una determinada coordenada generalizada y su derivado se supone que aparecen juntos como una sola función
en el hamiltoniano
En ese caso, la función S se puede dividir en dos funciones, una que depende solo de q k y otra que depende solo de las coordenadas generalizadas restantes
La sustitución de estas fórmulas en la ecuación de Hamilton-Jacobi muestra que la función ψ debe ser una constante (denotada aquí como), produciendo una ecuación diferencial ordinaria de primer orden para
En casos afortunados, la función se puede separar completamente en funciones
En tal caso, el problema recae en ecuaciones diferenciales ordinarias .
La separabilidad de S depende tanto del hamiltoniano como de la elección de coordenadas generalizadas . Para coordenadas ortogonales y hamiltonianas que no tienen dependencia del tiempo y son cuadráticas en los momentos generalizados,será completamente separable si la energía potencial es aditivamente separable en cada coordenada, donde el término de energía potencial para cada coordenada se multiplica por el factor dependiente de coordenadas en el término de momento correspondiente del hamiltoniano (las condiciones de Staeckel ). A modo de ilustración, en las siguientes secciones se trabajan varios ejemplos en coordenadas ortogonales .
Ejemplos en varios sistemas de coordenadas
Coordenadas esféricas
En coordenadas esféricas, se puede escribir el hamiltoniano de una partícula libre que se mueve en un potencial conservador U
La ecuación de Hamilton-Jacobi es completamente separable en estas coordenadas siempre que existan funciones: tal que se puede escribir en forma análoga
Sustitución de la solución completamente separada
en el HJE cede
Esta ecuación puede resolverse mediante integraciones sucesivas de ecuaciones diferenciales ordinarias , comenzando con la ecuación para
dónde es una constante del movimiento que elimina la dependencia de la ecuación de Hamilton-Jacobi
La siguiente ecuación diferencial ordinaria implica la coordenada generalizada
dónde es de nuevo una constante del movimiento que elimina ladependencia y reduce el HJE a la ecuación diferencial ordinaria final
cuya integración completa la solución para .
Coordenadas cilíndricas elípticas
El hamiltoniano en coordenadas cilíndricas elípticas se puede escribir
donde los focos de las elipses se encuentran en sobre el -eje. La ecuación de Hamilton-Jacobi es completamente separable en estas coordenadas siempre que tiene una forma análoga
dónde : , y son funciones arbitrarias. Sustitución de la solución completamente separada
en el HJE cede
Separando la primera ecuación diferencial ordinaria
produce la ecuación reducida de Hamilton-Jacobi (después de la reordenación y la multiplicación de ambos lados por el denominador)
que a su vez se puede separar en dos ecuaciones diferenciales ordinarias independientes
que, cuando se resuelven, proporcionan una solución completa para .
Coordenadas cilíndricas parabólicas
El hamiltoniano en coordenadas cilíndricas parabólicas se puede escribir
La ecuación de Hamilton-Jacobi es completamente separable en estas coordenadas siempre que tiene una forma análoga
dónde , , y son funciones arbitrarias. Sustitución de la solución completamente separada
en el HJE cede
Separando la primera ecuación diferencial ordinaria
produce la ecuación reducida de Hamilton-Jacobi (después de la reordenación y la multiplicación de ambos lados por el denominador)
que a su vez se puede separar en dos ecuaciones diferenciales ordinarias independientes
que, cuando se resuelven, proporcionan una solución completa para .
Ondas y partículas
Frentes y trayectorias de ondas ópticas
El HJE establece una dualidad entre trayectorias y frentes de onda. [6] Por ejemplo, en óptica geométrica, la luz puede considerarse como "rayos" u ondas. El frente de onda se puede definir como la superficie que la luz emitía a tiempo ha alcanzado en el momento . Los rayos de luz y los frentes de onda son duales: si se conoce uno, se puede deducir el otro.
Más precisamente, la óptica geométrica es un problema variacional donde la "acción" es el tiempo de viaje. a lo largo de un camino,
dónde es el índice de refracción del medio y es una longitud de arco infinitesimal. A partir de la formulación anterior, se pueden calcular las trayectorias de los rayos utilizando la formulación de Euler-Lagrange; alternativamente, se pueden calcular los frentes de onda resolviendo la ecuación de Hamilton-Jacobi. Conocer a uno conduce a conocer al otro.
La dualidad anterior es muy general y se aplica a todos los sistemas que se derivan de un principio variacional: calcule las trayectorias usando las ecuaciones de Euler-Lagrange o los frentes de onda usando la ecuación de Hamilton-Jacobi.
El frente de onda en el momento , para un sistema inicialmente en en el momento , se define como la colección de puntos tal que . Si se conoce, el impulso se deduce inmediatamente.
Una vez se conoce, tangentes a las trayectorias se calculan resolviendo la ecuación
por , dónde es el lagrangiano. Las trayectorias se recuperan luego del conocimiento de .
Relación con la ecuación de Schrödinger
Las isosuperficies de la funciónse puede determinar en cualquier momento t . El movimiento de un-la superficie en función del tiempo se define por los movimientos de las partículas que comienzan en los puntos en la isosuperficie. El movimiento de tal isosuperficie se puede considerar como una onda que se mueve a través de-espacio, aunque no obedece exactamente a la ecuación de onda . Para mostrar esto, sea S la fase de una onda
dónde es una constante (constante de Planck ) introducida para hacer adimensional el argumento exponencial; Los cambios en la amplitud de la onda se pueden representar teniendoser un número complejo . La ecuación de Hamilton-Jacobi se reescribe luego como
que es la ecuación de Schrödinger .
Por el contrario, comenzando con la ecuación de Schrödinger y nuestro ansatz para, se puede deducir que [7]
El límite clásico () de la ecuación de Schrödinger anterior se vuelve idéntica a la siguiente variante de la ecuación de Hamilton-Jacobi,
Aplicaciones
HJE en un campo gravitacional
Usando la relación energía-momento en la forma [8]
para una partícula de masa en reposo viajando en un espacio curvo, donde son las coordenadas contravariantes del tensor métrico (es decir, la métrica inversa ) resueltas a partir de las ecuaciones de campo de Einstein , yes la velocidad de la luz . Establecer el cuatro impulso igual al cuatro gradiente de la acción,
da la ecuación de Hamilton-Jacobi en la geometría determinada por la métrica :
en otras palabras, en un campo gravitacional .
HJE en campos electromagnéticos
Por una partícula de masa en reposo y carga electrica moviéndose en un campo electromagnético con cuatro potenciales en el vacío, la ecuación de Hamilton-Jacobi en geometría determinada por el tensor métrico tiene una forma
y se puede resolver para la función de acción principal de Hamilton para obtener una solución adicional para la trayectoria y el momento de las partículas: [9]
,
dónde y con el ciclo promedio del potencial vectorial.
Una onda polarizada circularmente
En el caso de polarización circular ,
,
,
Por eso
dónde , lo que implica que la partícula se mueve a lo largo de una trayectoria circular con un radio permanente y un valor invariable de impulso dirigido a lo largo de un vector de campo magnético.
Una onda plana monocromática polarizada linealmente
Para la onda plana, monocromática, polarizada linealmente con un campo dirigido a lo largo del eje
por eso
,
,
lo que implica la trayectoria de la partícula en forma de 8 con un eje largo orientado a lo largo del campo eléctrico vector.
Una onda electromagnética con un campo magnético solenoidal.
Para la onda electromagnética con campo magnético axial (solenoide): [10]
por eso
dónde es la magnitud del campo magnético en un solenoide con el radio efectivo , inductividad , número de devanados , y una magnitud de corriente eléctrica a través de los devanados del solenoide. El movimiento de las partículas se produce a lo largo de la trayectoria de la figura 8 en plano perpendicular al eje del solenoide con ángulo de azimut arbitrario debido a la simetría axial del campo magnético solenoidal.
Ver también
Portal de matemáticas
Portal de física
Transformación canónica
Constante de movimiento
Campo de vector hamiltoniano
Ecuación de Hamilton – Jacobi – Einstein
Aproximación WKB
Coordenadas del ángulo de acción
Referencias
^ Goldstein, Herbert (1980). Mecánica clásica (2ª ed.). Reading, MA: Addison-Wesley. págs. 484–492. ISBN 978-0-201-02918-5. (particularmente la discusión que comienza en el último párrafo de la página 491)
^ Sakurai, págs. 103-107.
^Kálmán, Rudolf E. (1963). "La teoría del control óptimo y el cálculo de variaciones". En Bellman, Richard (ed.). Técnicas de optimización matemática . Berkeley: Prensa de la Universidad de California. págs. 309–331. OCLC 1033974 .
^Mano, LN; Finch, JD (2008). Mecánica analítica . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-57572-0.
^Goldstein, Herbert (1980). Mecánica clásica (2ª ed.). Reading, MA: Addison-Wesley. pag. 440. ISBN 978-0-201-02918-5.
^Houchmandzadeh, Bahram (2020). "La ecuación de Hamilton-Jacobi: un enfoque alternativo" . Revista estadounidense de física . 85 (5): 10.1119 / 10.0000781. arXiv : 1910.09414 . doi : 10.1119 / 10.0000781 .
^Goldstein, Herbert (1980). Mecánica clásica (2ª ed.). Reading, MA: Addison-Wesley. págs. 490–491. ISBN 978-0-201-02918-5.
^Landau, L .; Lifshitz, E. (1959). La teoría clásica de los campos . Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. OCLC 17966515 .
^EV Shun'ko; DE Stevenson; VS Belkin (2014). "Reactor de plasma de acoplamiento inductivo con energía de electrones de plasma controlable en el rango de ~ 6 a ~ 100 eV". Transacciones IEEE sobre ciencia del plasma . 42, parte II (3): 774–785. Código bibliográfico : 2014ITPS ... 42..774S . doi : 10.1109 / TPS.2014.2299954 .
Otras lecturas
Hamilton, W. (1833). "Sobre un método general de expresar los caminos de la luz y de los planetas, por los coeficientes de una función característica" (PDF) . Revista de la Universidad de Dublín : 795–826.
Hamilton, W. (1834). "Sobre la aplicación a la dinámica de un método matemático general previamente aplicado a la óptica" (PDF) . Informe de la Asociación Británica : 513–518.
Fetter, A. y Walecka, J. (2003). Mecánica Teórica de Partículas y Continua . Libros de Dover. ISBN 978-0-486-43261-8.
Landau, LD ; Lifshitz, EM (1975). Mecánica . Amsterdam: Elsevier.
Sakurai, JJ (1985). Mecánica cuántica moderna . Editorial Benjamin / Cummings. ISBN 978-0-8053-7501-5.
Jacobi, CGJ (1884), Vorlesungen über Dynamik , Gesammelte Werke de CGJ Jacobi (en alemán), Berlín: G. Reimer, OL 14009561M
Nakane, Michiyo; Fraser, Craig G. (2002). "La historia temprana de la dinámica de Hamilton-Jacobi". Centauro . 44 (3–4): 161–227. doi : 10.1111 / j.1600-0498.2002.tb00613.x . PMID 17357243 .