Mecánica hamiltoniana

Rama de la mecánica analítica

Sir William Rowan Hamilton

Parte de una serie sobre
Mecanica clasica
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d}{dt}}(m{\textbf {v}})}$ Segunda ley del movimiento
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Fundamentos Aceleración Momento angular Pareja Principio de D'Alembert Energía cinético potencial Fuerza Marco de referencia Marco de referencia inercial Impulso Inercia  / Momento de inercia Masa Potencia mecánica Trabajo mecánico Momento Impulso Espacio Velocidad Hora Esfuerzo de torsión Velocidad Trabajo virtual
Formulaciones Leyes del movimiento de Newton Mecánica analítica Mecánica lagrangiana Mecánica hamiltoniana Mecánica routhiana Ecuación de Hamilton-Jacobi Ecuación de movimiento de Appell Mecánica de Koopman – von Neumann
Temas centrales Relación de amortiguación Desplazamiento Ecuaciones de movimiento Leyes del movimiento de Euler Fuerza ficticia Fricción Oscilador armónico Marco de referencia inercial  / no inercial Mecánica del movimiento de partículas planas Movimiento  ( lineal ) Ley de Newton de la gravitación universal Leyes del movimiento de Newton Velocidad relativa Cuerpo rígido dinámica Ecuaciones de Euler Movimiento armónico simple Vibración
Rotación Movimiento circular Marco de referencia giratorio Fuerza centrípeta Fuerza centrífuga reactivo fuerza Coriolis Péndulo Velocidad tangencial Velocidad rotacional Aceleración angular  / desplazamiento  / frecuencia  / velocidad
Científicos Kepler Galileo Huygens Newton Horrocks Halley Daniel Bernoulli Johann Bernoulli Euler d'Alembert Clairaut Lagrange Laplace Hamilton Poisson Cauchy Routh Liouville Appell Gibbs Koopman von Neumann
Categorias ► Mecánica clásica
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La mecánica hamiltoniana es una formulación matemáticamente sofisticada de la mecánica clásica . Históricamente, contribuyó a la formulación de la mecánica estadística y la mecánica cuántica . La mecánica hamiltoniana fue formulada por primera vez por William Rowan Hamilton en 1833, a partir de la mecánica lagrangiana , una reformulación previa de la mecánica clásica introducida por Joseph Louis Lagrange en 1788. Al igual que la mecánica lagrangiana, la mecánica hamiltoniana es equivalente a las leyes del movimiento de Newton en el marco de la mecánica clásica. .

Resumen

En la mecánica hamiltoniana, un sistema físico clásico se describe mediante un conjunto de coordenadas canónicas r = ( q , p ) , donde cada componente de la coordenada q _i , p _i está indexada al marco de referencia del sistema. Las q _i se denominan coordenadas generalizadas y se eligen para eliminar las restricciones o aprovechar las simetrías del problema, y p _i son sus momentos conjugados .

La evolución temporal del sistema está definida de forma única por las ecuaciones de Hamilton: ^[1]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {p}}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {q}}}}\quad ,\quad {\frac {\mathrm {d} {\boldsymbol {q}}}{\mathrm {d} t}}=+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial {\boldsymbol {p}}}}}$

donde es el hamiltoniano, que a menudo corresponde a la energía total del sistema. ^[2] Para un sistema cerrado, es la suma de la energía cinética y potencial en el sistema.${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}({\boldsymbol {q}},{\boldsymbol {p}},t)}$

En la mecánica newtoniana, la evolución en el tiempo se obtiene calculando la fuerza total que se ejerce sobre cada partícula del sistema y, a partir de la segunda ley de Newton, se calculan las evoluciones en el tiempo tanto de la posición como de la velocidad. Por el contrario, en la mecánica hamiltoniana, la evolución en el tiempo se obtiene calculando el hamiltoniano del sistema en las coordenadas generalizadas e insertándolo en las ecuaciones de Hamilton. Este enfoque es equivalente al utilizado en la mecánica de Lagrange . El hamiltoniano es la transformada de Legendre de la función de Lagrange cuando la celebración de q y t fijo y la definición de pcomo la variable dual y, por lo tanto, ambos enfoques dan las mismas ecuaciones para el mismo momento generalizado. La principal motivación para utilizar la mecánica hamiltoniana en lugar de la mecánica lagrangiana proviene de la estructura simpléctica de los sistemas hamiltonianos .

Si bien la mecánica hamiltoniana se puede utilizar para describir sistemas simples como una pelota que rebota , un péndulo o un resorte oscilante en el que la energía cambia de cinética a potencial y viceversa con el tiempo, su fuerza se muestra en sistemas dinámicos más complejos, como las órbitas planetarias. en mecánica celeste . ^[3] Cuanto más grados de libertad tiene el sistema, más complicada es su evolución temporal y, en la mayoría de los casos, se vuelve caótica .

Interpretación física básica

Una interpretación simple de la mecánica hamiltoniana proviene de su aplicación en un sistema unidimensional que consta de una partícula de masa m . El hamiltoniano puede representar la energía total del sistema, que es la suma de la energía cinética y potencial , tradicionalmente denominadas T y V , respectivamente. Aquí q es la coordenada espacial yp es el momento mv . Entonces

${\displaystyle {\mathcal {H}}=T+V\quad ,\quad T={\frac {p^{2}}{2m}}\quad ,\quad V=V(q)}$

T es una función de p solo, mientras que V es una función de q solo (es decir, T y V son escleronómicos ).

En este ejemplo, la derivada del momento p es igual a la fuerza newtoniana , por lo que la primera ecuación de Hamilton significa que la fuerza es igual al gradiente negativo de energía potencial. La derivada temporal de q es la velocidad, por lo que la segunda ecuación de Hamilton significa que la velocidad de la partícula es igual a la derivada de su energía cinética con respecto a su momento.

Calculando un hamiltoniano a partir de un lagrangiano

Dado un lagrangiano en términos de las coordenadas generalizadas q ⁱ y velocidades y tiempo generalizados ,${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$

1. Los momentos se calculan diferenciando el Lagrangiano con respecto a las velocidades (generalizadas):

   ${\displaystyle p_{i}(q^{i},{\dot {q}}^{i},t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}}$

2. Las velocidades se expresan en términos de los momentos p _i invirtiendo las expresiones del paso anterior.${\displaystyle {\dot {q}}^{i}}$
3. El hamiltoniano se calcula utilizando la definición habitual de H como la transformación de Legendre de L :
   ${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{i}{\dot {q}}^{i}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\dot {q}}^{i}p_{i}-{\mathcal {L}}}$
   Luego, las velocidades se sustituyen a través de los resultados anteriores.

Ejemplo

Artículo principal: péndulo esférico

El péndulo esférico consiste en una masa m que se mueve sin fricción sobre la superficie de una esfera . Las únicas fuerzas que actúan sobre la masa son la reacción de la esfera y la gravedad . Las coordenadas esféricas se utilizan para describir la posición de la masa en términos de ( r , θ , φ ), donde r es fijo, r = l .

Péndulo esférico : ángulos y velocidades.

El lagrangiano para este sistema es ^[4]

${\displaystyle L={\frac {1}{2}}ml^{2}\left({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \ {\dot {\phi }}^{2}\right)+mgl\cos \theta .}$

Así, el hamiltoniano es

${\displaystyle H=P_{\theta }{\dot {\theta }}+P_{\phi }{\dot {\phi }}-L}$

dónde

${\displaystyle P_{\theta }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=ml^{2}{\dot {\theta }}}$

y

${\displaystyle P_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\phi }}.}$

En términos de coordenadas y momentos, el hamiltoniano lee

${\displaystyle H=\underbrace {{\Big [}{\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {1}{2}}ml^{2}\sin ^{2}\!\theta \,{\dot {\phi }}^{2}{\Big ]}} _{T}+\underbrace {{\Big [}-mgl\cos \theta {\Big ]}} _{V}={P_{\theta }^{2} \over 2ml^{2}}+{P_{\phi }^{2} \over 2ml^{2}\sin ^{2}\theta }-mgl\cos \theta }$

Las ecuaciones de Hamilton dan la evolución temporal de coordenadas y momentos conjugados en cuatro ecuaciones diferenciales de primer orden,

${\displaystyle {\dot {\theta }}={P_{\theta } \over ml^{2}}}$

${\displaystyle {\dot {\phi }}={P_{\phi } \over ml^{2}\sin ^{2}\theta }}$

${\displaystyle {\dot {P_{\theta }}}={P_{\phi }^{2} \over ml^{2}\sin ^{3}\theta }\cos \theta -mgl\sin \theta }$

${\displaystyle {\dot {P_{\phi }}}=0}$.

El momento , que corresponde a la componente vertical del momento angular , es una constante de movimiento. Eso es una consecuencia de la simetría rotacional del sistema alrededor del eje vertical. Al estar ausente del hamiltoniano, el azimut es una coordenada cíclica , lo que implica la conservación de su momento conjugado.${\displaystyle P_{\phi }}$ ${\displaystyle L_{z}=l\sin \theta \times ml\sin \theta \,{\dot {\phi }}}$ ${\displaystyle \phi }$

Derivando las ecuaciones de Hamilton

Las ecuaciones de Hamilton se pueden derivar observando cómo el diferencial total del Lagrangiano depende del tiempo, las posiciones generalizadas q _i y las velocidades generalizadas q̇ _i : ^[5]

${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

Los momentos generalizados se definieron como

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}}$

Si esto se sustituye en el diferencial total del Lagrangiano, se obtiene

${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+p_{i}\mathrm {d} {\dot {q}}^{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

Esto se puede reescribir como

${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {L}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+\mathrm {d} \left(p_{i}{\dot {q}}^{i}\right)-{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t\,.}$

que después de reorganizar conduce a

${\displaystyle \mathrm {d} \left(\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}^{i}-{\mathcal {L}}\right)=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

El término en el lado izquierdo es solo el hamiltoniano que se definió antes, por lo tanto

${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

También es posible calcular el diferencial total del hamiltoniano H con respecto al tiempo directamente, similar a lo que se hizo con el lagrangiano L anterior, obteniendo:

${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {H}}=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

De las dos ecuaciones independientes anteriores se deduce que sus lados derechos son iguales entre sí. El resultado es

${\displaystyle \sum _{i}\left(-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\dot {q}}^{i}\mathrm {d} p_{i}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial t}}\mathrm {d} t=\sum _{i}\left({\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}\mathrm {d} q^{i}+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}\mathrm {d} p_{i}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}\mathrm {d} t}$

Dado que este cálculo se realizó fuera de la cáscara ^{[se necesita aclaración ]} , se pueden asociar los términos correspondientes de ambos lados de esta ecuación para obtener:

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{i}}}=-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{i}}}={\dot {q}}^{i}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\partial {\mathcal {L}} \over \partial t}}$

En el caparazón, las ecuaciones de Lagrange indican que

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}^{i}}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}=0}$

Una reordenación de esto produce

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q^{i}}}={\dot {p}}_{i}}$

Por tanto, las ecuaciones de Hamilton son

${\displaystyle {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q^{j}}}=-{\dot {p}}_{j}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p_{j}}}={\dot {q}}^{j}\quad ,\quad {\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial t}}=-{\partial {\mathcal {L}} \over \partial t}}$

Las ecuaciones de Hamilton constan de 2 n ecuaciones diferenciales de primer orden , mientras que las ecuaciones de Lagrange constan de n ecuaciones de segundo orden. Las ecuaciones de Hamilton generalmente no reducen la dificultad de encontrar soluciones explícitas, pero aún ofrecen algunas ventajas: Se pueden derivar importantes resultados teóricos, porque las coordenadas y los momentos son variables independientes con roles casi simétricos.

Las ecuaciones de Hamilton tienen otra ventaja sobre las ecuaciones de Lagrange: si un sistema tiene una simetría, tal que una coordenada no ocurre en el hamiltoniano, se conserva el momento correspondiente y esa coordenada puede ignorarse en las otras ecuaciones del conjunto. Esto reduce efectivamente el problema de n coordenadas a ( n - 1) coordenadas. En el marco lagrangiano, el resultado de que se conserva el momento correspondiente todavía sigue inmediatamente, pero todas las velocidades generalizadas todavía ocurren en el lagrangiano. Aún queda por resolver un sistema de ecuaciones en n coordenadas. ^[2] Los enfoques lagrangiano y hamiltoniano proporcionan la base para resultados más profundos en la teoría de la mecánica clásica y para las formulaciones de la mecánica cuántica.

Hamiltoniano de una partícula cargada en un campo electromagnético

El hamiltoniano de una partícula cargada en un campo electromagnético da una ilustración suficiente de la mecánica hamiltoniana . En coordenadas cartesianas, el lagrangiano de una partícula clásica no relativista en un campo electromagnético es (en unidades SI ):

${\displaystyle {\mathcal {L}}=\sum _{i}{\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}_{i}^{2}+\sum _{i}q{\dot {x}}_{i}A_{i}-q\varphi }$

donde q es la carga eléctrica de la partícula, φ es el potencial escalar eléctrico y A _i son las componentes del potencial del vector magnético que pueden depender explícitamente de y .${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle t}$

Este lagrangiano, combinado con la ecuación de Euler-Lagrange , produce la ley de fuerza de Lorentz

${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {x} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \,,}$

y se llama acoplamiento mínimo .

Tenga en cuenta que los valores del potencial escalar y el potencial vectorial cambiarían durante una transformación de calibre , ^[6] y el Lagrangiano mismo recogerá términos adicionales también; Pero los términos adicionales en lagrangiano se suman a una derivada de tiempo total de una función escalar y, por lo tanto, no cambiarán la ecuación de Euler-Lagrange.

Los momentos canónicos vienen dados por:

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {x}}_{i}}}=m{\dot {x}}_{i}+qA_{i}}$

Tenga en cuenta que los momentos canónicos no son invariantes de calibre y no se pueden medir físicamente. Sin embargo, el impulso cinético :

${\displaystyle P_{i}\equiv m{\dot {x}}_{i}=p_{i}-qA_{i}}$

es de calibre invariante y medible físicamente.

El hamiltoniano, como la transformación de Legendre del lagrangiano, es por tanto:

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\left\{\sum _{i}{\dot {x}}_{i}p_{i}\right\}-{\mathcal {L}}=\sum _{i}{\frac {\left(p_{i}-qA_{i}\right)^{2}}{2m}}+q\varphi }$

Esta ecuación se utiliza con frecuencia en mecánica cuántica .

Transformación bajo calibre :

${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla f\,,\quad \varphi \rightarrow \varphi -{\dot {f}}\,,}$

donde f ( r , t) es cualquier función escalar de espacio y tiempo, la transformación lagrangiana, canónica y hamiltoniana antes mencionada como:

${\displaystyle L\rightarrow L'=L+q{\frac {df}{dt}}\,,\quad \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p'} =\mathbf {p} +q\nabla f\,,\quad H\rightarrow H'=H-q{\frac {\partial f}{\partial t}}\,,}$

que todavía produce la misma ecuación de Hamilton:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\partial H'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}&=\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}({\dot {x}}_{i}p'_{i}-L')=-\left.{\frac {\partial L'}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\\&=-\left.{\frac {\partial L}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}-q\left.{\frac {\partial }{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}{\frac {df}{dt}}\\&=-{\frac {d}{dt}}\left(\left.{\frac {\partial L}{\partial {{\dot {x}}_{i}}}}\right|_{p'_{i}}+q\left.{\frac {\partial f}{\partial {x_{i}}}}\right|_{p'_{i}}\right)\\&=-{\dot {p}}'_{i}\end{aligned}}}$

En mecánica cuántica, la función de onda también sufrirá una transformación de grupo local U (1) ^[7] durante la Transformación de calibre, lo que implica que todos los resultados físicos deben ser invariantes bajo transformaciones locales U (1).

Partícula cargada relativista en un campo electromagnético

La función de Lagrange relativista para una partícula ( resto de masa m y carga q ) viene dada por:

${\displaystyle {\mathcal {L}}(t)=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {{{\dot {\mathbf {x} }}(t)}^{2}}{c^{2}}}}}+q{\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {A} \left(\mathbf {x} (t),t\right)-q\varphi \left(\mathbf {x} (t),t\right)}$

Por tanto, el momento canónico de la partícula es

${\displaystyle \mathbf {p} (t)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\mathbf {x} }}}}={\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}+q\mathbf {A} }$

es decir, la suma de la cantidad de movimiento cinética y la cantidad de movimiento potencial.

Resolviendo la velocidad, obtenemos

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)={\frac {\mathbf {p} -q\mathbf {A} }{\sqrt {m^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}}}$

Entonces el hamiltoniano es

${\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {p} -{\mathcal {L}}=c{\sqrt {m^{2}c^{2}+{\left(\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right)}^{2}}}+q\varphi }$

Esto da como resultado la ecuación de fuerza (equivalente a la ecuación de Euler-Lagrange )

${\displaystyle {\dot {\mathbf {p} }}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {x} }}=q{\dot {\mathbf {x} }}\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi =q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi }$

de donde se puede derivar

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {m{\dot {\mathbf {x} }}}{\sqrt {1-{\frac {{\dot {\mathbf {x} }}^{2}}{c^{2}}}}}}\right)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\mathbf {p} -q\mathbf {A} )={\dot {\mathbf {p} }}-q{\frac {\partial A}{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q{\boldsymbol {\nabla }}({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {A} )-q{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -q{\frac {\partial A}{\partial t}}-q({\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla )\mathbf {A} \\&=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {x} }}\times \mathbf {B} \end{aligned}}}$

La derivación anterior hace uso de la identidad de cálculo vectorial :

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \right)\ =\ \mathbf {A} \cdot \mathbf {J} _{\mathbf {A} }\ =\ \mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {A} )\ =\ (\mathbf {A} {\cdot }\nabla )\mathbf {A} \,+\,\mathbf {A} {\times }(\nabla {\times }\mathbf {A} ).}$

Una expresión equivalente para el hamiltoniano en función del momento relativista (cinético), P = γm ẋ ( t ) = p - q A , es

${\displaystyle {\mathcal {H}}(t)={\dot {\mathbf {x} }}(t)\cdot \mathbf {P} (t)+{\frac {mc^{2}}{\gamma }}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=\gamma mc^{2}+q\varphi (\mathbf {x} (t),t)=E+V}$

Esto tiene la ventaja de que el momento cinético P se puede medir experimentalmente, mientras que el momento canónico p no. Observe que el hamiltoniano ( energía total ) puede verse como la suma de la energía relativista (cinética + reposo) , E = γmc ² , más la energía potencial , V = eφ .

Estructuras matemáticas

Geometría de los sistemas hamiltonianos

El hamiltoniano puede inducir una estructura simpléctica en una variedad uniforme de dimensión uniforme M ^{2 n} de varias formas diferentes, pero equivalentes, las más conocidas entre las que se encuentran las siguientes: ^[8]

Como 2-forma simpléctica no degenerada cerrada ω. Según el teorema de Darboux , en una pequeña vecindad alrededor de cualquier punto de M en coordenadas locales adecuadas existe la forma simpléctica ${\displaystyle p_{1},\cdots ,p_{n},\ q_{1},\cdots ,q_{n}}$

${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}}$

Las coordenadas locales p , q se denominan canónicas o simplécticas .

La forma permite construir un isomorfismo natural del espacio tangente y el espacio cotangente.Esto se hace mapeando un vector a la forma 1 donde por un arbitrario Debido a la bilinealidad y no degeneración de y al hecho de que el mapeo es de hecho un isomorfismo lineal . Este isomorfismo es natural en el sentido de que no cambia con el cambio de coordenadas en la repetición para cada que terminamos con un isomorfismo entre el espacio de dimensión infinita de los campos vectoriales suaves y el de las formas 1 suaves. Para todos y ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle T_{x}M\cong T_{x}^{*}M}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle T_{x}^{*}M.}$${\displaystyle \xi \in T_{x}M}$${\displaystyle \omega _{\xi }\in T_{x}^{*}M,}$${\displaystyle \omega _{\xi }(\eta )=\omega (\eta ,\xi ),}$${\displaystyle \eta \in T_{x}M.}$${\displaystyle \omega ,}$${\displaystyle \mathop {\rm {dim}} T_{x}M=\mathop {\rm {dim}} T_{x}^{*}M,}$${\displaystyle \xi \to \omega _{\xi }}$${\displaystyle M.}$${\displaystyle x\in M,}$${\displaystyle J^{-1}:{\text{Vect}}(M)\to \Omega ^{1}(M)}$${\displaystyle f,g\in C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}$${\displaystyle \xi ,\eta \in {\text{Vect}}(M),}$

${\displaystyle J^{-1}(f\xi +g\eta )=fJ^{-1}(\xi )+gJ^{-1}(\eta ).}$

(En términos algebraicos, se diría que los -modules y son isomorfos). Si entonces, para cada fijo y se conoce como campo vectorial hamiltoniano . La ecuación diferencial respectiva en${\displaystyle C^{\infty }(M,\mathbb {R} )}$${\displaystyle {\text{Vect}}(M)}$${\displaystyle \Omega ^{1}(M)}$${\displaystyle H\in C^{\infty }(M\times \mathbb {R} _{t},\mathbb {R} ),}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{t},}$ ${\displaystyle dH\in \Omega ^{1}(M),}$${\displaystyle J(dH)\in {\text{Vect}}(M).}$ ${\displaystyle J(dH)}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\dot {x}}=J(dH)(x)}$

se llama ecuación de Hamilton . Aquí y es el valor (dependiente del tiempo) del campo vectorial en${\displaystyle x=x(t)}$${\displaystyle J(dH)(x)\in T_{x}M}$${\displaystyle J(dH)}$${\displaystyle x\in M.}$

Un sistema hamiltoniano puede entenderse como un haz de fibras E a lo largo del tiempo R , siendo las fibras E _t , t ∈ R el espacio de posición. El lagrangiano es, por tanto, una función del haz de chorros J sobre E ; tomando la transformada de Legendre por fibra del Lagrangiano produce una función en el haz dual a lo largo del tiempo cuya fibra en t es el espacio cotangente T ^∗ E _t , que viene equipado con una forma simpléctica natural, y esta última función es la hamiltoniana. La correspondencia entre la mecánica lagrangiana y la hamiltoniana se logra con la forma tautológica .

Cualquier función H uniforme de valor real en una variedad simpléctica se puede utilizar para definir un sistema hamiltoniano . La función H se conoce como "la hamiltoniana" o "la función de energía". La variedad simpléctica se llama entonces espacio de fase . El hamiltoniano induce un campo vectorial especial en la variedad simpléctica, conocido como campo vectorial hamiltoniano .

El campo vectorial hamiltoniano induce un flujo hamiltoniano en el colector. Ésta es una familia de transformaciones de un solo parámetro de la variedad (el parámetro de las curvas se llama comúnmente "el tiempo"); en otras palabras, una isotopía de simplectomorfismos , comenzando por la identidad. Según el teorema de Liouville , cada simplectomorfismo conserva la forma de volumen en el espacio de fase . La colección de simplectomorfismos inducidos por el flujo hamiltoniano se denomina comúnmente "la mecánica hamiltoniana" del sistema hamiltoniano.

La estructura simpléctica induce un corchete de Poisson . El corchete de Poisson da al espacio de funciones en la variedad la estructura de un álgebra de Lie .

Si F y G son funciones suaves en M, entonces la función suave ω ² ( IdG , IdF ) está correctamente definida; se llama un corchete de Poisson de funciones F y G y se denota { F , G }. El corchete de Poisson tiene las siguientes propiedades:

1. bilinealidad
2. antisimetría
3. ${\displaystyle \{F_{1}\cdot F_{2},G\}=F_{1}\{F_{2},G\}+F_{2}\{F_{1},G\}}$( Regla de Leibniz )
4. ${\displaystyle \{\{H,F\},G\}+\{\{F,G\},H\}+\{\{G,H\},F\}\equiv 0}$( Identidad Jacobi )
5. no degeneración: si el punto x en M no es crítico para F, entonces existe una función suave G tal que .${\displaystyle \{F,G\}(x)\neq 0}$

Dada una función f

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f={\frac {\partial }{\partial t}}f+\left\{f,{\mathcal {H}}\right\},}$

si hay una distribución de probabilidad , ρ , entonces (dado que la velocidad del espacio de fase tiene divergencia cero y la probabilidad se conserva) se puede demostrar que su derivada convectiva es cero, por lo que${\displaystyle ({\dot {p}}_{i},{\dot {q}}_{i})}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\rho =-\left\{\rho ,{\mathcal {H}}\right\}}$

Esto se llama teorema de Liouville . Cada función suave G sobre la variedad simpléctica genera una familia de simmplectomorfismos de un parámetro y si { G , H } = 0 , entonces G se conserva y los simplectomorfismos son transformaciones de simetría .

Un hamiltoniano puede tener múltiples cantidades conservadas G _i . Si la variedad simpléctica tiene dimensión 2 n y hay n cantidades conservadas funcionalmente independientes G _i que están en involución (es decir, { G _i , G _j } = 0 ), entonces el hamiltoniano es integrable de Liouville . El teorema de Liouville-Arnold dice que, localmente, cualquier hamiltoniano integrable de Liouville puede transformarse mediante un simplectomorfismo en un nuevo hamiltoniano con las cantidades conservadas G _i como coordenadas; las nuevas coordenadas se llamancoordenadas del ángulo de acción . El hamiltoniano transformado depende solo de G _i , y por lo tanto las ecuaciones de movimiento tienen la forma simple

${\displaystyle {\dot {G}}_{i}=0\quad ,\quad {\dot {\varphi }}_{i}=F_{i}(G)}$

para alguna función F . ^[9] Existe todo un campo que se centra en pequeñas desviaciones de los sistemas integrables regidos por el teorema de KAM .

La integrabilidad de los campos vectoriales hamiltonianos es una cuestión abierta. En general, los sistemas hamiltonianos son caóticos ; los conceptos de medida, integridad, integrabilidad y estabilidad están mal definidos.

Variedades de Riemann

Un caso especial importante consiste en aquellos hamiltonianos que son formas cuadráticas , es decir, hamiltonianos que pueden escribirse como

${\displaystyle {\mathcal {H}}(q,p)={\tfrac {1}{2}}\langle p,p\rangle _{q}}$

donde ⟨,⟩ _q es un producto interno que varía suavemente en las fibras T^∗
_qQ , el espacio cotangente hasta el punto q en el espacio de configuración , a veces llamado cometrico. Este hamiltoniano consta completamente del término cinético .

Si se considera una variedad Riemanniana o una variedad pseudo-Riemanniana , la métrica Riemanniana induce un isomorfismo lineal entre los haces tangente y cotangente. (Ver isomorfismo musical ). Usando este isomorfismo, se puede definir una cometrica. (En coordenadas, la matriz que define la córnea es la inversa de la matriz que define la métrica). Las soluciones de las ecuaciones de Hamilton-Jacobi para este hamiltoniano son las mismas que las geodésicas de la variedad. En particular, el flujo hamiltoniano en este caso es lo mismo que el flujo geodésico. La existencia de tales soluciones y la integridad del conjunto de soluciones se analizan en detalle en el artículo sobre geodésicas . Véase también Geodésica como flujos hamiltonianos .

Variedades subriemannianas

Cuando la córnea está degenerada, entonces no es invertible. En este caso, uno no tiene una variedad de Riemann, ya que no tiene una métrica. Sin embargo, el hamiltoniano todavía existe. En el caso de que la córnea esté degenerada en cada punto q del espacio de configuración de la variedad Q , de modo que el rango de la córnea sea menor que la dimensión de la variedad Q , se tiene una variedad subriemanniana .

El hamiltoniano en este caso se conoce como un hamiltoniano subriemanniano . Cada uno de esos hamiltonianos determina de forma única la cometrica, y viceversa. Esto implica que cada variedad subriemanniana está determinada únicamente por su hamiltoniano subriemanniano, y que lo contrario es cierto: cada variedad subriemanniana tiene un hamiltoniano subriemanniano único. La existencia de geodésicas subriemannianas viene dada por el teorema de Chow-Rashevskii .

El grupo de Heisenberg continuo y de valor real proporciona un ejemplo simple de una variedad subriemanniana. Para el grupo de Heisenberg, el hamiltoniano viene dado por

${\displaystyle {\mathcal {H}}\left(x,y,z,p_{x},p_{y},p_{z}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right)}$

p _z no está involucrado en el hamiltoniano.

Álgebras de Poisson

Los sistemas hamiltonianos se pueden generalizar de varias formas. En lugar de simplemente mirar el álgebra de funciones suaves sobre una variedad simpléctica , la mecánica hamiltoniana se puede formular en álgebras de Poisson reales unitales conmutativas generales . Un estado es un funcional lineal continuo en el álgebra de Poisson (equipado con alguna topología adecuada ) de modo que para cualquier elemento A del álgebra, A ^{2 se} asigna a un número real no negativo.

La dinámica de Nambu ofrece una generalización adicional .

Generalización a la mecánica cuántica a través del corchete de Poisson

Las ecuaciones de Hamilton anteriores funcionan bien para la mecánica clásica , pero no para la mecánica cuántica , ya que las ecuaciones diferenciales discutidas asumen que se puede especificar la posición exacta y el momento de la partícula simultáneamente en cualquier momento. Sin embargo, las ecuaciones pueden generalizarse adicionalmente para luego extenderse a aplicar a la mecánica cuántica, así como con la mecánica clásica, a través de la deformación de la álgebra de Poisson más de p y q para el álgebra de soportes Moyal .

Específicamente, la forma más general de la ecuación de Hamilton dice

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}=\left\{f,{\mathcal {H}}\right\}+{\frac {\partial f}{\partial t}}}$

donde f es alguna función de p y q , y H es el hamiltoniano. Para conocer las reglas para evaluar un corchete de Poisson sin recurrir a ecuaciones diferenciales, consulte álgebra de Lie ; un corchete de Poisson es el nombre del corchete de Lie en un álgebra de Poisson . Estos paréntesis de Poisson pueden luego extenderse a paréntesis de Moyal que comportan un álgebra de Lie desigual, como lo demostró Hilbrand J. Groenewold , y por lo tanto describen la difusión mecánica cuántica en el espacio de fase (ver la formulación del espacio de fase y la transformada de Wigner-Weyl). Este enfoque más algebraico no solo permite, en última instancia, extender las distribuciones de probabilidad en el espacio de fase a las distribuciones de cuasi-probabilidad de Wigner , sino que, en el mero ajuste clásico del paréntesis de Poisson, también proporciona más poder para ayudar a analizar las cantidades conservadas relevantes en un sistema.

Ver también

• Transformación canónica
• Teoría de campo clásica
• Teoría del campo hamiltoniano
• Teoría del campo covariante hamiltoniano
• Mecanica clasica
• Teoría de sistemas dinámicos
• Ecuación de Hamilton-Jacobi
• Ecuación de Hamilton – Jacobi – Einstein
• Mecánica lagrangiana
• Ecuaciones de Maxwell
• Hamiltoniano (mecánica cuántica)
• Ecuaciones cuánticas de Hamilton
• Teoría cuántica de campos
• Óptica hamiltoniana
• Teoría de De Donder-Weyl
• Mecánica geométrica
• Mecánica routhiana
• Mecánica nambu
• Mecánica de fluidos hamiltoniana
• Campo de vector hamiltoniano

Referencias

1. Mano, LN; Finch, JD (2008). Mecánica analítica . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-57572-0.
2. Goldstein, Poole y Safko 2002 , págs. 347–349
3. "Cálculo 18.013A con aplicaciones, otoño de 2001, libro de texto en línea: 16.3 el hamiltoniano" . ocw.mit.edu . Sitio web de MIT OpenCourseWare . Consultado el 10 de septiembre de 2018 .
4. Landau y Lifshitz 1976 , págs. 33–34
5. Esta derivación sigue las líneas que se dan en Arnol'd 1989 , págs. 65–66.
6. Srednicki, Mark (enero de 2007). Teoría cuántica de campos . Cambridge Core . doi : 10.1017 / cbo9780511813917 . ISBN 9780511813917. Consultado el 8 de mayo de 2020 .
7. Zinn-Justin, Jean; Guida, Riccardo (4 de diciembre de 2008). "Invarianza de calibre" . Scholarpedia . 3 (12): 8287. Código Bibliográfico : 2008SchpJ ... 3.8287Z . doi : 10.4249 / scholarpedia.8287 . ISSN 1941-6016 . 
8. Arnol'd, Kozlov y Neĩshtadt 1988 , §3. Mecánica hamiltoniana.
9. Arnol'd, Kozlov y Neĩshtadt 1988

Lectura adicional

• Landau, Lev Davidovich ; Lifshitz, Evgenii Mikhailovich (1976). Mecánica . Curso de Física Teórica . 1 . Sykes, JB (John Bradbury), Bell, JS (3ª ed.). Oxford. ISBN 0-08-021022-8. OCLC  2591126 .
• Abraham, R .; Marsden, JE (1978). Fundamentos de la mecánica (2d ed., Rev., Enl. Y reset ed.). Reading, Mass .: Benjamin / Cummings Pub. Co. ISBN 0-8053-0102-X. OCLC  3516353 .
• Arnol'd, VI ; Kozlov, VV; Neĩshtadt, AI (1988). Aspectos matemáticos de la mecánica clásica y celeste . 3 . Anosov, DV Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-17002-2. OCLC  16404140 .
• Arnol'd, VI (1989). Métodos matemáticos de la mecánica clásica (2ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96890-3. OCLC  18681352 .
• Goldstein, Herbert ; Poole, Charles P. Jr .; Safko, John L. (2002). Mecánica clásica (3ª ed.). San Francisco: Addison Wesley. ISBN 0-201-31611-0. OCLC  47056311 .
• Vinogradov, AM ; Kupershmidt, BA (31 de agosto de 1977). "La estructura de la mecánica hamiltoniana" . Encuestas matemáticas rusas . 32 (4): 177–243. doi : 10.1070 / RM1977v032n04ABEH001642 . ISSN  0036-0279 .

Enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con la mecánica hamiltoniana .

• Binney, James J. , Classical Mechanics (lecture notes) (PDF) , Universidad de Oxford , consultado el 27 de octubre de 2010
• Tong, David , Classical Dynamics (notas de la conferencia de Cambridge) , Universidad de Cambridge , consultado el 27 de octubre de 2010
• Hamilton, William Rowan , Sobre un método general en dinámica , Trinity College Dublin