Significado armonico

Inversa de la media de las inversas de un conjunto de números

En matemáticas , la media armónica es uno de varios tipos de media y, en particular, una de las medias pitagóricas . Por lo general, es apropiado para situaciones en las que se desea el promedio de tasas .

La media armónica se puede expresar como el recíproco de la media aritmética de los recíprocos del conjunto dado de observaciones. Como ejemplo simple, la media armónica de 1, 4 y 4 es

${\displaystyle \left({\frac {1^{-1}+4^{-1}+4^{-1}}{3}}\right)^{-1}={\frac {3}{{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}}}={\frac {3}{1.5}}=2\,.}$

Definición

Esta sección no cita ninguna fuente . Por favor, ayuda a mejorar esta sección mediante la adición de citas de fuentes confiables . El material no obtenido puede ser cuestionado y eliminado . ( Diciembre de 2019 ) ( Obtenga información sobre cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla )

La media armónica H de los números reales positivos se define como${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$

${\displaystyle H={\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\frac {n}{\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}=\left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}x_{i}^{-1}}{n}}\right)^{-1}.}$

La tercera fórmula en la ecuación anterior expresa la media armónica como el recíproco de la media aritmética de los recíprocos.

De la siguiente fórmula:

${\displaystyle H={\frac {n\cdot \prod \limits _{j=1}^{n}x_{j}}{\sum \limits _{i=1}^{n}\left\{{\frac {1}{x_{i}}}{\prod \limits _{j=1}^{n}x_{j}}\right\}}}.}$

es más evidente que la media armónica está relacionada con las medias aritmética y geométrica . Es el dual recíproco de la media aritmética para entradas positivas:

${\displaystyle 1/H(1/x_{1}\ldots 1/x_{n})=A(x_{1}\ldots x_{n})}$

La media armónica es un Schur-cóncava función, y dominada por el mínimo de sus argumentos, en el sentido de que para cualquier conjunto positivo de argumentos, . Por lo tanto, la media armónica no se puede hacer arbitrariamente grande cambiando algunos valores por otros más grandes (sin cambiar al menos un valor).${\displaystyle \min(x_{1}\ldots x_{n})\leq H(x_{1}\ldots x_{n})\leq n\min(x_{1}\ldots x_{n})}$

La media armónica también es cóncava , que es una propiedad aún más fuerte que la concavidad de Schur. Sin embargo, hay que tener cuidado de usar solo números positivos, ya que la media no es cóncava si se usan valores negativos.

Relación con otros medios

Prueba geométrica sin palabras que max  ( a , b ) > media cuadrática o media cuadrática ( QM ) > media aritmética ( AM ) > media geométrica ( GM ) > media armónica ( HM ) > min  ( a , b ) de dos números positivos una y b ^[1]

La media armónica es una de las tres medias pitagóricas . Para todos los conjuntos de datos positivos que contienen al menos un par de valores no iguales , la media armónica es siempre la menor de las tres medias, ^[2] mientras que la media aritmética es siempre la mayor de las tres y la media geométrica siempre está en el medio. (Si todos los valores en un conjunto de datos no vacío son iguales, las tres medias siempre son iguales entre sí; por ejemplo, las medias armónica, geométrica y aritmética de {2, 2, 2} son todas 2.)

Es el caso especial M ₋₁ de la media de potencia :

${\displaystyle H\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)=M_{-1}\left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\right)={\frac {n}{x_{1}^{-1}+x_{2}^{-1}+\cdots +x_{n}^{-1}}}}$

Dado que la media armónica de una lista de números tiende fuertemente hacia los elementos mínimos de la lista, tiende (en comparación con la media aritmética) a mitigar el impacto de los valores atípicos grandes y agravar el impacto de los pequeños.

La media aritmética a menudo se usa erróneamente en lugares que requieren la media armónica. ^[3] En el siguiente ejemplo de velocidad, por ejemplo, la media aritmética de 40 es incorrecta y demasiado grande.

La media armónica está relacionada con las otras medias pitagóricas, como se ve en la siguiente ecuación. Esto se puede ver si se interpreta que el denominador es la media aritmética del producto de números n veces, pero cada vez se omite el j -ésimo término. Es decir, para el primer término, multiplicamos todos los n números excepto el primero; para el segundo, multiplicamos todos los n números excepto el segundo; etcétera. El numerador, excluyendo la n , que va con la media aritmética, es la media geométrica a la potencia  n . Por tanto, la n -ésima media armónica está relacionada con la n - ésima media geométrica y aritmética. La fórmula general es

${\displaystyle H\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)={\frac {\left(G\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\right)^{n}}{A\left(x_{2}x_{3}\cdots x_{n},x_{1}x_{3}\cdots x_{n},\ldots ,x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1}\right)}}={\frac {\left(G\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\right)^{n}}{A\left({\frac {1}{x_{1}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}},{\frac {1}{x_{2}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}},\ldots ,{\frac {1}{x_{n}}}{\prod \limits _{i=1}^{n}x_{i}}\right)}}.}$

Si un conjunto de números no idénticos se somete a una dispersión que conserva la media , es decir, dos o más elementos del conjunto se "separan" entre sí sin modificar la media aritmética, entonces la media armónica siempre disminuye. ^[4]

Media armónica de dos o tres números

Esta sección no cita ninguna fuente . Por favor, ayuda a mejorar esta sección mediante la adición de citas de fuentes confiables . El material no obtenido puede ser cuestionado y eliminado . ( Diciembre de 2019 ) ( Obtenga información sobre cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla )

Dos números

Una construcción geométrica de los tres medios de Pitágoras de dos números, una y b . La media armónica se indica con H en púrpura. Q denota una cuarta media, la media cuadrática . Dado que una hipotenusa es siempre más larga que una pata de un triángulo rectángulo , el diagrama muestra que Q > A > G > H .

Para el caso especial de solo dos números, y , la media armónica se puede escribir${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$

${\displaystyle H={\frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}.}$

En este caso especial, la media armónica está relacionada con la media aritmética y la media geométrica por${\displaystyle A={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}}$ ${\displaystyle G={\sqrt {x_{1}x_{2}}},}$

${\displaystyle H={\frac {G^{2}}{A}}=G\cdot \left({\frac {G}{A}}\right).}$

Dado que por la desigualdad de las medias aritmética y geométrica , esto muestra para el caso n = 2 que H ≤ G (una propiedad que de hecho se cumple para todo n ). También se deduce que , lo que significa que la media geométrica de los dos números es igual a la media geométrica de sus medias aritmética y armónica.${\displaystyle {\tfrac {G}{A}}\leq 1}$${\displaystyle G={\sqrt {AH}}}$

Tres números

Para el caso especial de tres números , y , la media armónica se puede escribir${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle x_{3}}$

${\displaystyle H={\frac {3x_{1}x_{2}x_{3}}{x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}}}.}$

Tres números positivos H , G y A son, respectivamente, las medias armónica, geométrica y aritmética de tres números positivos si y solo si ^{[5] : p.74, # 1834 se} cumple la siguiente desigualdad

${\displaystyle {\frac {A^{3}}{G^{3}}}+{\frac {G^{3}}{H^{3}}}+1\leq {\frac {3}{4}}\left(1+{\frac {A}{H}}\right)^{2}.}$

Media armónica ponderada

Esta sección no cita ninguna fuente . Por favor, ayuda a mejorar esta sección mediante la adición de citas de fuentes confiables . El material no obtenido puede ser cuestionado y eliminado . ( Diciembre de 2019 ) ( Obtenga información sobre cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla )

Si un conjunto de pesos , ..., está asociado al conjunto de datos , ..., , la media armónica ponderada se define por${\displaystyle w_{1}}$${\displaystyle w_{n}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle H={\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {w_{i}}{x_{i}}}}}=\left({\frac {\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}x_{i}^{-1}}{\sum \limits _{i=1}^{n}w_{i}}}\right)^{-1}.}$

La media armónica no ponderada se puede considerar como el caso especial en el que todos los pesos son iguales.

Ejemplos

En física

Velocidad media

En muchas situaciones que involucran tasas y relaciones , la media armónica proporciona el promedio correcto . Por ejemplo, si un vehículo recorre una cierta distancia d saliendo a una velocidad x (por ejemplo, 60 km / h) y regresa la misma distancia a una velocidad y (por ejemplo, 20 km / h), entonces su velocidad promedio es la media armónica de x e y (30 km / h) - no es la media aritmética (40 km / h). El tiempo total de viaje es el mismo que si hubiera recorrido toda la distancia a esa velocidad promedio. Esto se puede demostrar de la siguiente manera: ^[6]

Velocidad media para todo el viaje = Distancia total recorrida/Suma de tiempo para cada segmento= 2 días/D/X + D/y = 2/1/X+1/y

Sin embargo, si el vehículo se desplaza por una cierta cantidad de tiempo a una velocidad x y después la misma cantidad de tiempo a una velocidad y , a continuación, su velocidad media es la media aritmética de x y y , que en el ejemplo anterior es de 40 km / h. El mismo principio se aplica a más de dos segmentos: dada una serie de sub-viajes a diferentes velocidades, si cada sub-viaje cubre la misma distancia , entonces la velocidad promedio es la media armónica de todas las velocidades del sub-viaje; y si cada sub-viaje toma la misma cantidad de tiempo , entonces la velocidad promedio es la aritméticamedia de todas las velocidades de sub-viaje. (Si ninguno de los dos es el caso, entonces se necesita una media armónica ponderada o una media aritmética ponderada . Para la media aritmética, la velocidad de cada parte del viaje se pondera por la duración de esa parte, mientras que para la media armónica, el peso correspondiente es la distancia. En ambos casos, la fórmula resultante se reduce a dividir la distancia total por el tiempo total).

Sin embargo, se puede evitar el uso de la media armónica para el caso de "ponderación por distancia". Plantee el problema como encontrar la "lentitud" del viaje donde la "lentitud" (en horas por kilómetro) es la inversa de la velocidad. Cuando se encuentra la lentitud del viaje, inviértala para encontrar la velocidad promedio de viaje "verdadera". Para cada segmento de viaje i, la lentitud s _i = 1 / velocidad _i . Luego, tome la media aritmética ponderada de s _ise ponderan por sus respectivas distancias (opcionalmente con los pesos normalizados para que sumen 1 dividiéndolos por la duración del viaje). Esto da la verdadera lentitud promedio (en tiempo por kilómetro). Resulta que este procedimiento, que se puede realizar sin conocimiento de la media armónica, equivale a las mismas operaciones matemáticas que se usarían para resolver este problema utilizando la media armónica. Por lo tanto, ilustra por qué funciona la media armónica en este caso.

Densidad

Esta sección no cita ninguna fuente . Por favor, ayuda a mejorar esta sección mediante la adición de citas de fuentes confiables . El material no obtenido puede ser cuestionado y eliminado . ( Diciembre de 2019 ) ( Obtenga información sobre cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla )

De manera similar, si se desea estimar la densidad de una aleación dadas las densidades de sus elementos constituyentes y sus fracciones de masa (o, de manera equivalente, porcentajes en masa), entonces la densidad predicha de la aleación (excluyendo los cambios de volumen típicamente menores debido al átomo efectos de empaquetamiento) es la media armónica ponderada de las densidades individuales, ponderada por masa, en lugar de la media aritmética ponderada como cabría esperar a primera vista. Para utilizar la media aritmética ponderada, las densidades deberían ponderarse por volumen. La aplicación del análisis dimensional al problema mientras se etiquetan las unidades de masa por elemento y se asegura de que solo se cancelen las masas de elementos iguales deja esto en claro.

Electricidad

Si uno conecta dos resistencias eléctricas en paralelo, una con resistencia x (por ejemplo, 60 Ω ) y otra con resistencia y (por ejemplo, 40 Ω), entonces el efecto es el mismo que si se hubieran usado dos resistencias con la misma resistencia, ambas igual a la media armónica de x y y (48 Ω): la resistencia equivalente, en cualquier caso, es de 24 Ω (la mitad de la media armónica). Este mismo principio se aplica a los condensadores en serie o a los inductores en paralelo.

Sin embargo, si uno se conecta las resistencias en serie, entonces la resistencia media es la media aritmética de x y y (con resistencia total igual a la suma de x e y). Este principio se aplica a los condensadores en paralelo o a los inductores en serie.

Al igual que en el ejemplo anterior, se aplica el mismo principio cuando se conectan más de dos resistencias, condensadores o inductores, siempre que todos estén en paralelo o todos en serie.

La "masa efectiva de conductividad" de un semiconductor también se define como la media armónica de las masas efectivas a lo largo de las tres direcciones cristalográficas. ^[7]

Óptica

En cuanto a otras ecuaciones ópticas , la ecuación de lente delgada 1/F = 1/tu + 1/vse puede reescribir de modo que la distancia focal f sea ​​la mitad de la media armónica de las distancias del sujeto u y el objeto v desde la lente. ^[8]

En finanzas

La media armónica ponderada es el método preferible para promediar múltiplos, como la relación precio-ganancias (P / E). Si estas relaciones se promedian utilizando una media aritmética ponderada, los puntos de datos altos reciben mayor peso que los puntos de datos bajos. La media armónica ponderada, por otro lado, pondera correctamente cada punto de datos. ^[9] La media aritmética ponderada simple cuando se aplica a razones no normalizadas de precios, como P / E, está sesgada al alza y no puede justificarse numéricamente, ya que se basa en ganancias igualadas; al igual que las velocidades de los vehículos no se pueden promediar para un viaje de ida y vuelta (ver arriba). ^[10]

Por ejemplo, considere dos empresas, una con una capitalización de mercado de $ 150 mil millones y ganancias de $ 5 mil millones (P / U de 30) y otra con una capitalización de mercado de $ 1 mil millones y ganancias de $ 1 millón (P / U de 1000). Considere un índice compuesto por las dos acciones, con un 30% invertido en la primera y un 70% invertido en la segunda. Queremos calcular la relación P / E de este índice.

Usando la media aritmética ponderada (incorrecta):

${\displaystyle P/E=0.3\times 30+0.7\times 1000=709}$

Usando la media armónica ponderada (correcta):

${\displaystyle P/E={\frac {0.3+0.7}{0.3/30+0.7/1000}}\approx 93.46}$

Por lo tanto, el P / E correcto de 93,46 de este índice solo se puede encontrar utilizando la media armónica ponderada, mientras que la media aritmética ponderada la sobrestimará significativamente.

En geometría

En cualquier triángulo , el radio del círculo es un tercio de la media armónica de las altitudes .

Para cualquier punto P en el menor arco BC de la circunferencia circunscrita de un triángulo equilátero ABC, con distancias q y t de B y C respectivamente, y con la intersección de PA y BC estar a una distancia y desde el punto P, tenemos que y es la mitad de la media armónica de q y t . ^[11]

En un triángulo rectángulo con las piernas a y b y la altitud h de la hipotenusa al ángulo derecho, h ² es la mitad de la media armónica de un ² y b ² . ^{[12] [13]}

Sean t y s ( t > s ) los lados de los dos cuadrados inscritos en un triángulo rectángulo con hipotenusa c . Entonces s ² igual a la mitad de la media armónica de c ² y t ² .

Supongamos que un trapezoide tiene los vértices A, B, C y D en secuencia y los lados paralelos AB y CD. Sea E la intersección de las diagonales , y sea F en el lado DA y G en el lado BC de modo que FEG sea paralelo a AB y CD. Entonces FG es la media armónica de AB y DC. (Esto se puede demostrar usando triángulos similares).

Escaleras cruzadas. h es la mitad de la media armónica de A y B

Una aplicación de este resultado trapezoidal es en el problema de las escaleras cruzadas , donde dos escaleras se encuentran opuestas a lo largo de un callejón, cada una con pies en la base de una pared lateral, una apoyada contra una pared a la altura A y la otra apoyada contra la pared opuesta en altura B , como se muestra. Las escaleras se cruzan a una altura de h sobre el suelo del callejón. Entonces h es la mitad de la media armónica de A y B . Este resultado todavía lleva a cabo si las paredes están inclinadas pero todavía paralelo y el "alturas" A , B , y hse miden como distancias desde el piso a lo largo de líneas paralelas a las paredes. Esto se puede probar fácilmente usando la fórmula de área de un trapezoide y fórmula de adición de área.

En una elipse , el recto semilato (la distancia desde un foco a la elipse a lo largo de una línea paralela al eje menor) es la media armónica de las distancias máxima y mínima de la elipse desde un foco.

En otras ciencias

En informática , específicamente en la recuperación de información y el aprendizaje automático , la media armónica de la precisión (verdaderos positivos por positivo predicho) y el recuerdo (verdaderos positivos por real positivo) se utiliza a menudo como una puntuación de rendimiento agregada para la evaluación de algoritmos y sistemas: la puntuación F (o medida F). Esto se usa en la recuperación de información porque solo la clase positiva es relevante , mientras que el número de negativos, en general, es grande y desconocido. ^[14] Por lo tanto, es una compensación en cuanto a si las predicciones positivas correctas deben medirse en relación con el número de positivos pronosticados o el número de positivos reales, por lo que se mide frente a un número putativo de positivos que es una media aritmética de los dos. posibles denominadores.

Una consecuencia surge del álgebra básica en problemas en los que las personas o los sistemas trabajan juntos. Por ejemplo, si una bomba de gasolina puede drenar una piscina en 4 horas y una bomba a batería puede drenar la misma piscina en 6 horas, entonces se necesitarán ambas bombas.6 · 4/6 + 4, que equivale a 2,4 horas, para drenar la piscina juntos. Esta es la mitad de la media armónica de 6 y 4:2 · 6 · 4/6 + 4= 4,8 . Es decir, el promedio apropiado para los dos tipos de bomba es la media armónica, y con un par de bombas (dos bombas), se necesita la mitad de este tiempo medio armónico, mientras que con dos pares de bombas (cuatro bombas) se necesitaría un un cuarto de este tiempo medio armónico.

En hidrología , la media armónica se usa de manera similar para promediar los valores de conductividad hidráulica para un flujo que es perpendicular a las capas (por ejemplo, geológico o del suelo); el flujo paralelo a las capas usa la media aritmética. Esta aparente diferencia en el promedio se explica por el hecho de que la hidrología usa conductividad, que es la inversa de la resistividad.

En sabermetrics , el número de Power-Speed ​​de un jugador es la media armónica de su jonrón y los totales base robados .

En genética de poblaciones , la media armónica se utiliza al calcular los efectos de las fluctuaciones en el tamaño de la población del censo sobre el tamaño efectivo de la población. La media armónica tiene en cuenta el hecho de que eventos como el cuello de botella de la población aumentan la tasa de deriva genética y reducen la cantidad de variación genética en la población. Esto es el resultado del hecho de que, tras un cuello de botella, muy pocos individuos contribuyen al acervo genético, lo que limita la variación genética presente en la población durante muchas generaciones por venir.

Al considerar el ahorro de combustible en automóvilesSe utilizan comúnmente dos medidas: millas por galón (mpg) y litros por cada 100 km. Como las dimensiones de estas cantidades son inversas entre sí (una es la distancia por volumen, la otra es el volumen por distancia), cuando se toma el valor medio de la economía de combustible de una gama de automóviles, una medida producirá la media armónica de la otra: es decir, convertir el valor medio de la economía de combustible expresado en litros por 100 km a millas por galón producirá la media armónica de la economía de combustible expresada en millas por galón. Para calcular el consumo promedio de combustible de una flota de vehículos a partir de los consumos individuales de combustible, se debe usar la media armónica si la flota usa millas por galón, mientras que la media aritmética debe usarse si la flota usa litros por 100 km. En los EE. UU. Los estándares CAFE (las normas federales de consumo de combustible para automóviles) utilizan la media armónica.

En química y física nuclear, la masa promedio por partícula de una mezcla que consta de diferentes especies (por ejemplo, moléculas o isótopos) viene dada por la media armónica de las masas de las especies individuales ponderadas por su fracción de masa respectiva.

Distribución beta

Esta sección no cita ninguna fuente . Por favor, ayuda a mejorar esta sección mediante la adición de citas de fuentes confiables . El material no obtenido puede ser cuestionado y eliminado . ( Diciembre de 2019 ) ( Obtenga información sobre cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla )

Media armónica para la distribución Beta para 0 <α <5 y 0 <β <5

(Media - HarmonicMean) para la distribución Beta versus alfa y beta de 0 a 2

Medios armónicos para la distribución Beta Púrpura = H (X), Amarillo = H (1-X), valores más pequeños alfa y beta al frente

Medios armónicos para la distribución Beta Púrpura = H (X), Amarillo = H (1-X), valores mayores alfa y beta al frente

La media armónica de una distribución beta con parámetros de forma α y β es:

${\displaystyle H={\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -1}}{\text{ conditional on }}\alpha >1\,\,\&\,\,\beta >0}$

La media armónica con α <1 no está definida porque su expresión definitoria no está acotada en [0, 1].

Dejando α = β

${\displaystyle H={\frac {\alpha -1}{2\alpha -1}}}$

mostrando que para α = β la media armónica varía de 0 para α = β = 1, a 1/2 para α = β → ∞.

Los siguientes son los límites con un parámetro finito (distinto de cero) y el otro parámetro acercándose a estos límites:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\alpha \to 0}H&={\text{ undefined }}\\\lim _{\alpha \to 1}H&=\lim _{\beta \to \infty }H=0\\\lim _{\beta \to 0}H&=\lim _{\alpha \to \infty }H=1\end{aligned}}}$

Con la media geométrica, la media armónica puede ser útil en la estimación de máxima verosimilitud en el caso de cuatro parámetros.

También existe una segunda media armónica ( H _{1 - X} ) para esta distribución

${\displaystyle H_{1-X}={\frac {\beta -1}{\alpha +\beta -1}}{\text{ conditional on }}\beta >1\,\,\&\,\,\alpha >0}$

Esta media armónica con β <1 no está definida porque su expresión definitoria no está acotada en [0, 1].

Dejando α = β en la expresión anterior

${\displaystyle H_{1-X}={\frac {\beta -1}{2\beta -1}}}$

mostrando que para α = β la media armónica varía de 0, para α = β = 1, a 1/2, para α = β → ∞.

Los siguientes son los límites con un parámetro finito (distinto de cero) y el otro acercándose a estos límites:

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \to 0}H_{1-X}&={\text{ undefined }}\\\lim _{\beta \to 1}H_{1-X}&=\lim _{\alpha \to \infty }H_{1-X}=0\\\lim _{\alpha \to 0}H_{1-X}&=\lim _{\beta \to \infty }H_{1-X}=1\end{aligned}}}$

Aunque ambas medias armónicas son asimétricas, cuando α = β las dos medias son iguales.

Distribución lognormal

La media armónica ( H ) de una distribución logarítmica normal es ^[15]

${\displaystyle H=\exp \left(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right),}$

donde μ es la media aritmética y σ ² es la varianza de la distribución.

Las medias armónica y aritmética están relacionadas por

${\displaystyle {\frac {\mu }{H}}=1+C_{v}\,,}$

donde C _v es el coeficiente de variación .

Las medias geométrica ( G ), aritmética y armónica están relacionadas por ^[16]

${\displaystyle H\mu =G^{2}.}$

Distribución de Pareto

La media armónica de la distribución de Pareto de tipo 1 es ^[17]

${\displaystyle H=k\left(1+{\frac {1}{\alpha }}\right)}$

donde k es el parámetro de escala y α es el parámetro de forma.

Estadísticas

Para una muestra aleatoria, la media armónica se calcula como se indicó anteriormente. Tanto la media como la varianza pueden ser infinitas (si incluye al menos un término de la forma 1/0).

Muestras de distribuciones de media y varianza

La media de la muestra m se distribuye asintóticamente normalmente con varianza s ² .

${\displaystyle s^{2}={\frac {m\left[\operatorname {E} \left({\frac {1}{x}}-1\right)\right]}{m^{2}n}}}$

La varianza de la media en sí es ^[18]

${\displaystyle \operatorname {Var} \left({\frac {1}{x}}\right)={\frac {m\left[\operatorname {E} \left({\frac {1}{x}}-1\right)\right]}{nm^{2}}}}$

donde m es la media aritmética de los recíprocos, x son las variables, n es el tamaño de la población y E es el operador de expectativa.

Método delta

Esta sección no cita ninguna fuente . Por favor, ayuda a mejorar esta sección mediante la adición de citas de fuentes confiables . El material no obtenido puede ser cuestionado y eliminado . ( Diciembre de 2019 ) ( Obtenga información sobre cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla )

Suponiendo que la varianza no es infinita y que el teorema del límite central se aplica a la muestra y luego usando el método delta , la varianza es

${\displaystyle \operatorname {Var} (H)={\frac {1}{n}}{\frac {s^{2}}{m^{4}}}}$

donde H es la media armónica, m es la media aritmética de los recíprocos

${\displaystyle m={\frac {1}{n}}\sum {\frac {1}{x}}.}$

s ² es la varianza de los recíprocos de los datos

${\displaystyle s^{2}=\operatorname {Var} \left({\frac {1}{x}}\right)}$

y n es el número de puntos de datos en la muestra.

Método Jackknife

Es posible un método de navaja para estimar la varianza si se conoce la media. ^[19] Este método es el habitual "eliminar 1" en lugar de la versión "eliminar m".

Este método primero requiere el cálculo de la media de la muestra ( m )

${\displaystyle m={\frac {n}{\sum {\frac {1}{x}}}}}$

donde x son los valores de la muestra.

Luego se calcula una serie de valor w _i donde

${\displaystyle w_{i}={\frac {n-1}{\sum _{j\neq i}{\frac {1}{x}}}}.}$

Entonces se toma la media ( h ) de w _i :

${\displaystyle h={\frac {1}{n}}\sum {w_{i}}}$

La varianza de la media es

${\displaystyle {\frac {n-1}{n}}\sum {(m-h)}^{2}.}$

Las pruebas de significancia y los intervalos de confianza para la media pueden luego estimarse con la prueba t .

Muestreo sesgado por tamaño

Suponga que una variable aleatoria tiene una distribución f ( x ). Suponga también que la probabilidad de que se elija una variante es proporcional a su valor. Esto se conoce como muestreo con sesgo de tamaño o basado en la longitud.

Sea μ la media de la población. Entonces, la función de densidad de probabilidad f * ( x ) de la población sesgada por tamaño es

${\displaystyle f^{*}(x)={\frac {xf(x)}{\mu }}}$

La expectativa de esta distribución de longitud sesgada E ^* ( x ) es ^[18]

${\displaystyle \operatorname {E} ^{*}(x)=\mu \left[1+{\frac {\sigma ^{2}}{\mu ^{2}}}\right]}$

donde σ ² es la varianza.

La expectativa de la media armónica es la misma que la de la versión sin polarización de longitud E ( x )

${\displaystyle E^{*}(x^{-1})=E(x)^{-1}}$

El problema del muestreo sesgado por la longitud surge en varias áreas, incluida la fabricación textil ^{[20], el} análisis de pedigrí ^[21] y el análisis de supervivencia ^[22]

Akman y col. han desarrollado una prueba para la detección de sesgos basados ​​en la longitud en las muestras. ^[23]

Variables cambiadas

Si X es una variable aleatoria positiva yq > 0 entonces para todo ε > 0 ^[24]

${\displaystyle \operatorname {Var} \left[{\frac {1}{(X+\epsilon )^{q}}}\right]<\operatorname {Var} \left({\frac {1}{X^{q}}}\right).}$

Momentos

Suponiendo que X y E ( X ) son> 0, entonces ^[24]

${\displaystyle \operatorname {E} \left[{\frac {1}{X}}\right]\geq {\frac {1}{\operatorname {E} (X)}}}$

Esto se sigue de la desigualdad de Jensen .

Gurland ha demostrado que ^[25] para una distribución que solo toma valores positivos, para cualquier n > 0

${\displaystyle \operatorname {E} \left(X^{-1}\right)\geq {\frac {\operatorname {E} \left(X^{n-1}\right)}{\operatorname {E} \left(X^{n}\right)}}.}$

En algunas condiciones ^[26]

${\displaystyle \operatorname {E} (a+X)^{-n}\sim \operatorname {E} \left(a+X^{-n}\right)}$

donde ~ significa aproximadamente.

Propiedades de muestreo

Suponiendo que las variables ( x ) se extraen de una distribución logarítmica normal, existen varios estimadores posibles para H :

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}&={\frac {n}{\sum \left({\frac {1}{x}}\right)}}\\H_{2}&={\frac {\left(\exp \left[{\frac {1}{n}}\sum \log _{e}(x)\right]\right)^{2}}{{\frac {1}{n}}\sum (x)}}\\H_{3}&=\exp \left(m-{\frac {1}{2}}s^{2}\right)\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle m={\frac {1}{n}}\sum \log _{e}(x)}$

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{n}}\sum \left(\log _{e}(x)-m\right)^{2}}$

De estos, H ₃ es probablemente el mejor estimador para muestras de 25 o más. ^[27]

Estimadores de sesgo y varianza

Una aproximación de primer orden al sesgo y la varianza de H ₁ son ^[28]

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {bias} \left[H_{1}\right]&={\frac {HC_{v}}{n}}\\\operatorname {Var} \left[H_{1}\right]&={\frac {H^{2}C_{v}}{n}}\end{aligned}}}$

donde C _v es el coeficiente de variación.

De manera similar, una aproximación de primer orden al sesgo y la varianza de H ₃ son ^[28]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {H\log _{e}\left(1+C_{v}\right)}{2n}}\left[1+{\frac {1+C_{v}^{2}}{2}}\right]\\{\frac {H\log _{e}\left(1+C_{v}\right)}{n}}\left[1+{\frac {1+C_{v}^{2}}{4}}\right]\end{aligned}}}$

En experimentos numéricos, H ₃ es generalmente un estimador superior de la media armónica que H ₁ . ^[28] H ₂ produce estimaciones que son muy similares a H ₁ .

Notas

La Agencia de Protección Ambiental recomienda el uso de la media armónica al establecer los niveles máximos de toxinas en el agua. ^[29]

En los estudios de ingeniería geofísica de yacimientos , la media armónica se utiliza ampliamente. ^[30]

Ver también

• Media contraarmónica
• Media generalizada
• Número armónico
• Tasa (matemáticas)
• Media ponderada
• Suma paralela
• Significado geometrico
• Media geométrica ponderada
• Desigualdades HM-GM-AM-QM

Referencias

1. Si AC = una y BC = b . OC = AM de una y b , y el radio r = QO = OG.
   Usando el teorema de Pitágoras , QC² = QO² + OC² ∴ QC = √ QO² + OC² = QM .
   Usando el teorema de Pitágoras, OC² = OG² + GC² ∴ GC = √ OC² - OG² = GM .
   Usando triángulos similares ,HC/GC = GC/jefe ∴ HC = GC²/jefe= HM .
2. Da-Feng Xia, Sen-Lin Xu y Feng Qi, "Una prueba de las desigualdades de media aritmética media-media geométrica-media armónica", Colección de informes de investigación de RGMIA, vol. 2, no. 1, 1999, http://ajmaa.org/RGMIA/papers/v2n1/v2n1-10.pdf
3. * Análisis estadístico , Ya-lun Chou, Holt International, 1969, ISBN  0030730953
4. Mitchell, Douglas W., "Más sobre diferenciales y medios no aritméticos", The Mathematical Gazette 88, marzo de 2004, 142-144.
5. Desigualdades propuestas en " Crux Mathematicorum " , "Copia archivada" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 15 de octubre de 2014 . Consultado el 9 de septiembre de 2014 . .
6. "Promedio: cómo calcular el promedio, fórmula, promedio ponderado" . learningpundits.com . Archivado desde el original el 29 de diciembre de 2017 . Consultado el 8 de mayo de 2018 .
7. "Masa efectiva en semiconductores" . ecee.colorado.edu . Archivado desde el original el 20 de octubre de 2017 . Consultado el 8 de mayo de 2018 .
8. Hecht, Eugene (2002). Óptica (4ª ed.). Addison Wesley . pag. 168. ISBN 978-0805385663.
9. "Opiniones de equidad: errores y omisiones comunes". El Manual de Valoración Empresarial y Análisis de la Propiedad Intelectual . McGraw Hill. 2004. ISBN 0-07-142967-0.
10. Agrrawal, Pankaj; Borgman, Richard; Clark, John M .; Fuerte, Robert (2010). "Uso de la media armónica de precio-beneficio para mejorar las estimaciones de valoración de la empresa". Revista de Educación Financiera . 36 (3-4): 98-110. JSTOR 41948650 . SSRN 2621087 .  
11. Posamentier, Alfred S .; Salkind, Charles T. (1996). Problemas desafiantes en geometría (Segunda ed.). Dover. pag. 172 . ISBN 0-486-69154-3.
12. Voles, Roger, "Soluciones enteras de", Mathematical Gazette 83, julio de 1999, 269-271.${\displaystyle a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}}$
13. Richinick, Jennifer, "El teorema de Pitágoras al revés", Mathematical Gazette 92, julio de 2008, 313–; 317.
14. Van Rijsbergen, CJ (1979). Recuperación de información (2ª ed.). Butterworth. Archivado desde el original el 6 de abril de 2005.
15. Aitchison J, Brown JAC (1969). La distribución logarítmica normal con especial referencia a sus usos en economía. Cambridge University Press, Nueva York
16. Rossman LA (1990) Diseñar flujos de corriente basados ​​en medios armónicos. J Hydr Eng ASCE 116 (7) 946–950
17. Johnson NL, Kotz S, Balakrishnan N (1994) Distribuciones univariadas continuas Vol 1. Serie de Wiley en probabilidad y estadística.
18. Zelen M (1972) Muestreo con sesgo de longitud y problemas biomédicos. En: Reunión de la Sociedad Biométrica, Dallas, Texas
19. Lam FC (1985) Estimación de la varianza para semividas medias armónicas. J Pharm Sci 74 (2) 229-231
20. Cox DR (1969) Algunos problemas de muestreo en tecnología. En: Nuevos desarrollos en muestreo por encuestas. UL Johnson, H Smith eds. Nueva York: Wiley Interscience
21. Davidov O, Zelen M (2001) Muestreo de referencia, antecedentes familiares y riesgo relativo: el papel del muestreo con sesgo de longitud. Bioestadístico 2 (2): 173-181 doi : 10.1093 / bioestadística / 2.2.173
22. Zelen M, Feinleib M (1969) Sobre la teoría del cribado de enfermedades crónicas. Biometrika 56: 601-614
23. Akman O, Gamage J, Jannot J, Juliano S, Thurman A, Whitman D (2007) Una prueba simple para la detección de muestreo con sesgo de longitud. J Biostatos 1 (2) 189-195
24. Véase Chuen-Teck, Chen J (2008) Funciones convexas de variables aleatorias. J Matemáticas de aplicación puras y desiguales 9 (3) Arte 80
25. Gurland J (1967) Una desigualdad satisfecha por la expectativa del recíproco de una variable aleatoria. El estadístico estadounidense. 21 (2) 24
26. Sung SH (2010) sobre momentos inversos para una clase de variables aleatorias no negativas. J Inequal Aplic doi : 10.1155 / 2010/823767
27. Stedinger JR (1980) Ajuste de distribuciones logarítmicas normales a datos hidrológicos. Res. De recursos hídricos 16 (3) 481–490
28. Limbrunner JF, Vogel RM, Brown LC (2000) Estimación de la media armónica de una variable logarítmica normal. J Hydrol Eng 5 (1) 59-66 "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 11 de junio de 2010 . Consultado el 16 de septiembre de 2012 .
29. EPA (1991) Documento de soporte técnico para el control de tóxicos basado en la calidad del agua. EPA / 505 / 2-90-001. Oficina de Agua
30. Muskat M (1937) El flujo de fluidos homogéneos a través de medios porosos. McGraw-Hill, Nueva York

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Media armónica" . MathWorld .
• Promedios, medios aritméticos y armónicos al cortar el nudo