Serie armónica (matemáticas)

Serie infinita de recíprocos de los enteros positivos

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Cálculo
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v t mi

En matemáticas , la serie armónica es la serie infinita divergente

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots .}$

Su nombre deriva del concepto de armónicos o armónicos en la música : las longitudes de onda de los armónicos de una cuerda vibrante son1/2, 1/3, 1/4, etc., de la longitud de onda fundamental de la cuerda . Cada término de la serie después del primero es la media armónica de los términos vecinos; la frase significado armónico también se deriva de la música.

Historia

La divergencia de la serie armónica fue probada por primera vez en el siglo XIV por Nicole Oresme , ^[1] pero este logro cayó en la oscuridad. Las pruebas fueron dadas en el siglo XVII por Pietro Mengoli ^[2] y por Johann Bernoulli , ^[3] esta última prueba publicada y popularizada por su hermano Jacob Bernoulli . ^{[4] [5]}

Históricamente, las secuencias armónicas han tenido cierta popularidad entre los arquitectos. Esto fue tan particularmente en el período barroco , cuando los arquitectos los usaron para establecer las proporciones de los planos de planta , de las elevaciones y para establecer relaciones armónicas entre los detalles arquitectónicos interiores y exteriores de iglesias y palacios. ^[6]

Divergencia

Hay varias pruebas conocidas de la divergencia de la serie armónica. Algunos de ellos se dan a continuación.

Prueba de comparación

Una forma de demostrar la divergencia es comparar la serie armónica con otra serie divergente, donde cada denominador se reemplaza con la siguiente potencia más grande de dos :

${\displaystyle {\begin{alignedat}{8}1&+{\frac {1}{2}}&&+{\frac {1}{3}}&&+{\frac {1}{4}}&&+{\frac {1}{5}}&&+{\frac {1}{6}}&&+{\frac {1}{7}}&&+{\frac {1}{8}}&&+{\frac {1}{9}}&&+\cdots \\[5pt]{}\geq 1&+{\frac {1}{2}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {4} }}}&&+{\frac {1}{4}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{8}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {16} }}}&&+\cdots \end{alignedat}}}$

Cada término de la serie armónica es mayor o igual que el término correspondiente de la segunda serie, por lo que la suma de la serie armónica debe ser mayor o igual que la suma de la segunda serie. Sin embargo, la suma de la segunda serie es infinita:

${\displaystyle {\begin{aligned}&1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{16}}\right)+\cdots \\[5pt]{}={}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots =\infty .\end{aligned}}}$

(Aquí, " " es simplemente una convención de notación para indicar que las sumas parciales de la serie crecen sin límite).${\displaystyle =\infty }$

De ello se deduce (mediante la prueba de comparación ) que la suma de la serie armónica también debe ser infinita. Más precisamente, la comparación anterior demuestra que

${\displaystyle \sum _{n=1}^{2^{k}}{\frac {1}{n}}\geq 1+{\frac {k}{2}}}$

para cada entero positivo k .

Esta prueba, propuesta por Nicole Oresme alrededor de 1350, es considerada por muchos en la comunidad matemática ^{[¿ por quién? ]} para ser un punto culminante de las matemáticas medievales . Todavía es una prueba estándar que se enseña en las clases de matemáticas en la actualidad. La prueba de condensación de Cauchy es una generalización de este argumento.

Prueba integral

Ilustración de la prueba integral.

Es posible probar que la serie armónica diverge comparando su suma con una integral impropia . Específicamente, considere la disposición de los rectángulos que se muestra en la figura de la derecha. Cada rectángulo tiene 1 unidad de ancho y1/norte unidades de alto, por lo que el área total del número infinito de rectángulos es la suma de la serie armónica:

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\text{area of}}\\{\text{rectangles}}\end{array}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots }$

Además, el área total bajo la curva y =1/Xde 1 a infinito viene dado por una integral impropia divergente :

${\displaystyle {\begin{array}{c}{\text{area under}}\\{\text{curve}}\end{array}}=\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,dx=\infty .}$

Dado que esta área está completamente contenida dentro de los rectángulos, el área total de los rectángulos también debe ser infinita. Más precisamente, los primeros rectángulos cubren completamente la región debajo de la curva para y así${\displaystyle k}$${\displaystyle 1\leq x\leq k+1}$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n}}>\int _{1}^{k+1}{\frac {1}{x}}\,dx=\ln(k+1).}$$

La generalización de este argumento se conoce como prueba integral .

Tasa de divergencia

La serie armónica diverge muy lentamente. Por ejemplo, la suma de los primeros 10 ⁴³ términos es menor que 100. ^[7] Esto se debe a que las sumas parciales de la serie tienen un crecimiento logarítmico . En particular,

${\displaystyle \sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n}}=\ln k+\gamma +\varepsilon _{k}\leq (\ln k)+1}$

donde γ es la constante de Euler-Mascheroni y ε _k ~1/2 kque se acerca a 0 cuando k llega al infinito. Leonhard Euler demostró tanto esto como el hecho más sorprendente de que la suma que incluye solo los recíprocos de los números primos también diverge, es decir, ^[8]

${\displaystyle \sum _{p{\text{ prime }}}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+\cdots =\infty .}$

Sumas parciales

Artículo principal: Número armónico

Los primeros treinta números armónicos

norte	Suma parcial de la serie armónica, H n
	expresado como una fracción		decimal	tamano relativo
1	1		~ 1	1
2	3	/ 2	~ 1,5	1.5
3	11	/ 6	~ 1.83333	1.83333
4	25	/ 12	~ 2.08333	2.08333
5	137	/ 60	~ 2.28333	2.28333
6	49	/ 20	~ 2,45	2.45
7	363	/ 140	~ 2.59286	2.59286
8	761	/ 280	~ 2.71786	2.71786
9	7 129	/2 520	~ 2.82897	2.82897
10	7 381	/2 520	~ 2.92897	2.92897
11	83 711	/27 720	~ 3.01988	3.01988
12	86 021	/27 720	~ 3.10321	3.10321
13	1 145 993	/360 360	~ 3.18013	3.18013
14	1 171 733	/360 360	~ 3.25156	3.25156
15	1 195 757	/360 360	~ 3.31823	3.31823
dieciséis	2 436 559	/720 720	~ 3.38073	3.38073
17	42 142 223	/12 252 240	~ 3.43955	3.43955
18	14 274 301	/4 084 080	~ 3.49511	3.49511
19	275 295 799	/77 597 520	~ 3.54774	3.54774
20	55 835 135	/15 519 504	~ 3.59774	3.59774
21	18 858 053	/5 173 168	~ 3.64536	3.64536
22	19 093 197	/5 173 168	~ 3.69081	3.69081
23	444 316 699	/118 982 864	~ 3.73429	3.73429
24	1 347 822 955	/356 948 592	~ 3.77596	3.77596
25	34 052 522 467	/8 923 714 800	~ 3.81596	3.81596
26	34 395 742 267	/8 923 714 800	~ 3.85442	3.85442
27	312 536 252 003	/80 313 433 200	~ 3.89146	3.89146
28	315 404 588 903	/80 313 433 200	~ 3.92717	3.92717
29	9 227 046 511 387	/2 329 089 562 800	~ 3.96165	3.96165
30	9 304 682 830 147	/2 329 089 562 800	~ 3.99499	3.99499

Las sumas parciales finitas de las series armónicas divergentes,

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}$

se llaman números armónicos .

La diferencia entre H _n e ln n converge a la constante de Euler-Mascheroni . La diferencia entre dos números armónicos cualesquiera nunca es un número entero. Ningún número armónico es entero, excepto H ₁ = 1 . ^{[9] : pág. 24 [10] : Thm. 1}

Serie relacionada

Serie armónica alterna

Ver también: Teorema de la serie de Riemann § Cambiar la suma

Las primeras catorce sumas parciales de la serie armónica alterna (segmentos de línea negra) que se muestran convergiendo al logaritmo natural de 2 (línea roja).

Las series

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots }$

se conoce como la serie armónica alterna . Esta serie converge mediante la prueba de series alternas . En particular, la suma es igual al logaritmo natural de 2 :

${\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2.}$

La serie armónica alterna, aunque condicionalmente convergente , no es absolutamente convergente : si los términos de la serie se reordenan sistemáticamente, en general la suma se vuelve diferente y, dependiendo del reordenamiento, posiblemente incluso infinita.

La fórmula de la serie armónica alterna es un caso especial de la serie Mercator , la serie de Taylor para el logaritmo natural.

Se puede derivar una serie relacionada de la serie de Taylor para el arcangente :

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}.}$

Esto se conoce como la serie Leibniz .

Serie armónica general

La serie armónica general tiene la forma

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{an+b}},}$

donde a ≠ 0 y b son números reales, yB/a no es cero o un número entero negativo.

Por la prueba de comparación de límites con la serie armónica, todas las series armónicas generales también divergen.

p -series

Una generalización de la serie armónica es el p -series (o serie hyperharmonic ), definido como

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}$

para cualquier número real p . Cuando p = 1 , la serie p es la serie armónica, que diverge. La prueba integral o la prueba de condensación de Cauchy muestran que la serie p converge para todo p > 1 (en cuyo caso se denomina serie sobrearmónica ) y diverge para todo p ≤ 1 . Si p > 1 entonces la suma de la serie p es ζ ( p ) , es decir, la función zeta de Riemann evaluada en p .

El problema de encontrar la suma para p = 2 se llama problema de Basilea ; Leonhard Euler demostró que esπ ²/6. El valor de la suma para p = 3 se llama constante de Apéry , ya que Roger Apéry demostró que es un número irracional .

ln-series

En cuanto a los p -series es el de la serie ln , definidos como

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(\ln n)^{p}}}}$

para cualquier número real positivo p . La prueba integral puede demostrar que esto diverge para p ≤ 1 pero converge para todo p > 1 .

φ -serie

Para cualquier función convexa de valor real φ tal que

${\displaystyle \limsup _{u\to 0^{+}}{\frac {\varphi \left({\frac {u}{2}}\right)}{\varphi (u)}}<{\frac {1}{2}},}$

las series

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varphi \left({\frac {1}{n}}\right)}$

es convergente. ^{[ cita requerida ]}

Serie armónica aleatoria

La serie armónica aleatoria

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}},}$

donde s _n son variables aleatorias independientes distribuidas de manera idéntica que toman los valores +1 y −1 con igual probabilidad1/2, es un ejemplo bien conocido en la teoría de la probabilidad de una serie de variables aleatorias que converge con la probabilidad 1 . El hecho de esta convergencia es una consecuencia fácil del teorema de las tres series de Kolmogorov o de la desigualdad máxima de Kolmogorov estrechamente relacionada . Byron Schmuland de la Universidad de Alberta examinó ^[11] las propiedades de la serie armónica aleatoria y mostró que la serie convergente es una variable aleatoria con algunas propiedades interesantes. En particular, la función de densidad de probabilidad de esta variable aleatoria evaluada en +2 o en −2 toma el valor0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 764 ..., que difiere de1/8por menos de 10 ⁻⁴² . El artículo de Schmuland explica por qué esta probabilidad está tan cerca, pero no exactamente,1/8. El valor exacto de esta probabilidad viene dado por la integral del producto coseno infinito C ₂ ^[12] dividida por π .

Serie armónica empobrecida

Artículo principal: serie Kempner

La serie armónica empobrecido donde todos los términos en los que los dígitos 9 aparece en cualquier parte en el denominador se retiran se puede demostrar a converger al valor 22,92067 66,192 64,150 34,816 ... . ^[13] De hecho, cuando se eliminan todos los términos que contienen una determinada cadena de dígitos (en cualquier base ), la serie converge. ^[14]

Aplicaciones

Las series armónicas pueden ser contrario a la intuición de los estudiantes que encuentran primero, porque se trata de una serie divergentes a pesar de que el límite de la n º período como n tiende a infinito es cero. La divergencia de la serie armónica es también la fuente de algunas paradojas aparentes . Un ejemplo de esto es el " gusano en la goma elástica ". ^[15] Suponga que un gusano se arrastra a lo largo de una banda elástica infinitamente elástica de un metro al mismo tiempo que la banda elástica se estira uniformemente. Si el gusano viaja 1 centímetro por minuto y la banda se estira 1 metro por minuto, ¿llegará el gusano alguna vez al final de la banda elástica? La respuesta, en contra de la intuición, es "sí", porque despuésn minutos, la relación entre la distancia recorrida por el gusano y la longitud total de la goma elástica es

${\displaystyle {\frac {1}{100}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}$

(De hecho, la proporción real es un poco menor que esta suma ya que la banda se expande continuamente).

Debido a que la serie se vuelve arbitrariamente grande a medida que n se hace más grande, eventualmente esta relación debe exceder 1, lo que implica que el gusano llega al final de la liga. Sin embargo, el valor de n en el que esto ocurre debe ser extremadamente grande: aproximadamente e ¹⁰⁰ , un número superior a 10 ⁴³ minutos (10 ³⁷ años). Aunque la serie armónica diverge, lo hace muy lentamente.

Otro problema que involucra a la serie armónica es el problema del Jeep , que (en una forma) pregunta cuánto combustible total se requiere para que un jeep con una capacidad limitada de transporte de combustible cruce un desierto, posiblemente dejando gotas de combustible a lo largo de la ruta. La distancia que se puede recorrer con una determinada cantidad de combustible está relacionada con las sumas parciales de la serie armónica, que crecen logarítmicamente. Y así, el combustible requerido aumenta exponencialmente con la distancia deseada.

El problema del apilamiento de bloques: los bloques alineados de acuerdo con la serie armónica unen divisiones de cualquier ancho.

Otro ejemplo es el problema del apilamiento de bloques : dada una colección de dominós idénticos, es claramente posible apilarlos en el borde de una mesa para que cuelguen sobre el borde de la mesa sin caerse. El resultado contrario a la intuición es que uno puede apilarlos de tal manera que el voladizo sea arbitrariamente grande, siempre que haya suficientes fichas de dominó. ^{[15] [16]}

Un ejemplo más sencillo, en cambio, es el nadador que sigue sumando más velocidad al tocar las paredes de la piscina. El nadador comienza a cruzar una piscina de 10 metros a una velocidad de 2 m / s, y con cada cruce, se agregan otros 2 m / s a ​​la velocidad. En teoría, la velocidad del nadador es ilimitada, pero el número de cruces de piscina necesarios para alcanzar esa velocidad se vuelve muy grande; por ejemplo, para llegar a la velocidad de la luz (ignorando la relatividad especial ), el nadador necesita cruzar la piscina 150 millones de veces. Contrariamente a este gran número, el tiempo necesario para alcanzar una velocidad determinada depende de la suma de la serie en cualquier número dado de cruces de grupos (iteraciones):

${\displaystyle {\frac {10}{2}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}$

El cálculo de la suma (iterativamente) muestra que para llegar a la velocidad de la luz el tiempo requerido es de solo 97 segundos. Al continuar más allá de este punto (superando la velocidad de la luz, de nuevo ignorando la relatividad especial ), el tiempo necesario para cruzar la piscina se acercará a cero a medida que el número de iteraciones se vuelva muy grande, y aunque el tiempo necesario para cruzar la piscina parece ser menor. tienden a cero (en un número infinito de iteraciones), la suma de las iteraciones (tiempo necesario para los cruces totales del grupo) seguirá divergiendo a un ritmo muy lento.

Ver también

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con la serie Armónica (matemáticas) .

• Función eta de Dirichlet
• Progresión armónica
• Lista de sumas de recíprocos

Referencias

1. Oresme, Nicole (c. 1360). Quaestiones super Geometriam Euclidis [ Preguntas sobre la geometría de Euclides ].
2. Mengoli, Pietro (1650). "Praefatio [Prefacio]" . Novae quadraturae arithmeticae, seu De addede fraccionum [ Nueva cuadratura aritmética (es decir, integración), o Sobre la adición de fracciones ]. Bolonia: Giacomo Monti.
   La prueba de Mengoli es por contradicción:

   Sea S la suma de la serie. Agrupa los términos de la serie en tripletes: S = 1 + (1/2 + 1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7) + (1/8 + 1/9 + 1/10) +… Ya que para x > 1 ,1/x - 1 + 1/X + 1/x + 1 > 3/X, luego S > 1 +3/3 + 3/6 + 3/9 +… = 1 + 1 + 1/2 + 1/3+… = 1 + S , que es falso para cualquier S finito . Por tanto, la serie diverge.

3. Bernoulli, Johann (1742). "Corolario III de De seriebus varia " . Opera Omnia . Lausana y Basilea: Marc-Michel Bousquet & Co. vol. 4, pág. 8.
   La prueba de Johann Bernoulli también es por contradicción. Utiliza una suma telescópica para representar cada término.1/norte como

   ${\displaystyle {\frac {1}{n}}={\Big (}{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}{\Big )}+{\Big (}{\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+2}}{\Big )}+{\Big (}{\frac {1}{n+2}}-{\frac {1}{n+3}}{\Big )},\&c.}$${\displaystyle ={\frac {1}{n(n+1)}}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}+{\frac {1}{(n+2)(n+3)}},\&c.}$

   Al cambiar el orden de la suma en la serie doble correspondiente se obtiene, en notación moderna

   ${\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {1}{k(k+1)}}=\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{k(k+1)}}}$${\displaystyle =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k}{k(k+1)}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k+1}}=S-1}$.

4. Bernoulli, Jacob (1689). Propositiones arithmeticae de seriebus infinitis earumque summa finita [ Proposiciones aritméticas sobre series infinitas y sus sumas finitas ]. Basilea: J. Conrad.
5. Bernoulli, Jacob (1713). Ars conjectandi, opus posthumum. Accedit Tractatus de seriebus infinitis [ Teoría de la inferencia, obra póstuma. Con el Tratado de series infinitas… ]. Basilea: Thurneysen. págs. 250-251.
   Desde p. 250, prop. dieciséis:

   " XVI. Summa serei infinita harmonicè progressionalium,1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5&C. est infinita. Id primus deprehendit Frater: ... "

   [dieciséis. La suma de una serie infinita de progresión armónica,1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5+…, Es infinito. Mi hermano descubrió esto por primera vez ...]

6. Hersey, George L. Arquitectura y geometría en la época del barroco . págs. 11-12, 37-51.
7. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A082912 (La suma de un ( n ) términos de la serie armónica es> 10 n )" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
8. Euler, Leonhard (1737). "Observaciones de Variae circa series infinitas" [Varias observaciones sobre series infinitas]. Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae . 9 : 160-188.
9. Julian Havil, Gamma: Explorando la constante de Euler , Princeton University Press, 2009.
10. Thomas J. Osler, "Sumas parciales de series que no pueden ser un número entero", The Mathematical Gazette 96, noviembre de 2012, 515-519. https://www.jstor.org/stable/24496876?seq=1#page_scan_tab_contents
11. Schmuland, Byron (mayo de 2003). "Serie armónica aleatoria" (PDF) . American Mathematical Monthly . 110 (5): 407–416. doi : 10.2307 / 3647827 . JSTOR 3647827 .  
12. Weisstein, Eric W. "Producto de coseno infinito integral" . MathWorld . Consultado el 9 de noviembre de 2020 .
13. Robert Baillie (mayo de 1979). "Sumas de recíprocos de enteros que faltan un dígito dado". The American Mathematical Monthly . 86 (5): 372–374. doi : 10.1080 / 00029890.1979.11994810 . JSTOR 2321096 . 
14. Thomas Schmelzer y Robert Baillie (junio de 2008). "Sumando una serie curiosa, lentamente convergente". The American Mathematical Monthly . 115 (6): 545–540. JSTOR 27642532 . 
15. Graham, Ronald ; Knuth, Donald E .; Patashnik, Oren (1989), Concrete Mathematics (2.a ed.), Addison-Wesley , págs. 258-264, ISBN 978-0-201-55802-9
16. Sharp, RT (1954). "Problema 52: dominó sobresaliente" (PDF) . Diario Pi Mu Epsilon . 1 (10): 411–412.

Enlaces externos

• "Serie armónica" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "La serie armónica diverge una y otra vez" (PDF) . La revisión AMATYC . 27 : 31–43. 2006.
• Weisstein, Eric W. "Serie armónica" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Problema de apilamiento de libros" . MathWorld .
• Hudelson, Matt (1 de octubre de 2010). "Prueba sin palabras: la serie de armónicos alternos suma a ln 2" (PDF) . Revista de Matemáticas . 83 (4): 294. doi : 10.4169 / 002557010X521831 . S2CID  119484945 .