En matemáticas, un hexadecágono es un polígono de dieciséis lados . [1]
Hexadecágono regular | |
---|---|
Tipo | Polígono regular |
Aristas y vértices | dieciséis |
Símbolo de Schläfli | {16}, t {8}, tt {4} |
Diagrama de Coxeter | |
Grupo de simetría | Diedro (D 16 ), orden 2 × 16 |
Ángulo interno ( grados ) | 157,5 ° |
Polígono dual | Uno mismo |
Propiedades | Convexo , cíclico , equilátero , isogonal , isotoxal |
Hexadecágono regular
Un hexadecágono regular es un hexadecágono en el que todos los ángulos son iguales y todos los lados son congruentes. Su símbolo de Schläfli es {16} y se puede construir como un octágono truncado , t {8}, y un cuadrado truncado dos veces tt {4}. Un hexadecágono truncado, t {16}, es un triacontadigón , {32}.
Construcción
Como 16 = 2 4 (una potencia de dos ), un hexadecágono regular se puede construir usando brújula y regla : esto ya lo sabían los antiguos matemáticos griegos. [2]
Mediciones
Cada ángulo de un hexadecágono regular es de 157,5 grados y la medida del ángulo total de cualquier hexadecágono es de 2520 grados.
El área de un hexadecágono regular con una longitud de borde t es
Debido a que el hexadecágono tiene un número de lados que es una potencia de dos , su área se puede calcular en términos del circunradio R truncando la fórmula de Viète :
Dado que el área de la circunferencia es el hexadecágono regular ocupa aproximadamente el 97,45% de su circunferencia.
Simetría
Las 14 simetrías de un hexadecágono regular. Las líneas de reflejos son azules a través de los vértices, violetas a través de los bordes y las órdenes de giro se dan en el centro. Los vértices están coloreados por su posición de simetría. |
El hexadecágono regular tiene simetría Dih 16 , orden 32. Hay 4 subgrupos diedros: Dih 8 , Dih 4 , Dih 2 y Dih 1 , y 5 subgrupos cíclicos : Z 16 , Z 8 , Z 4 , Z 2 y Z 1 , el último no implica simetría.
En el hexadecágono regular, hay 14 simetrías distintas. John Conway etiqueta la simetría completa como r32 y ninguna simetría se etiqueta a1 . Las simetrías diédricas se dividen dependiendo de si pasan a través de vértices ( d para diagonales) o aristas ( p para perpendiculares). Las simetrías cíclicas en la columna central se etiquetan como g para sus órdenes de giro centrales. [3]
Los hexadecágonos de alta simetría más comunes son d16 , un hexadecágono isogonal construido por ocho espejos que puede alternar bordes largos y cortos, y p16 , un hexadecágono isotoxal construido con longitudes de borde iguales, pero vértices alternando dos ángulos internos diferentes. Estas dos formas son duales entre sí y tienen la mitad del orden de simetría del hexadecágono regular.
La simetría de cada subgrupo permite uno o más grados de libertad para las formas irregulares. Solo el subgrupo g16 no tiene grados de libertad, pero puede verse como bordes dirigidos .
Disección
Proyección de 16 cubos | 112 disección de rombos | |
---|---|---|
Regular | Isotoxal |
Coxeter afirma que cada zonogon (un 2 m -gon cuyos lados opuestos son paralelos y de igual longitud) se puede diseccionar en m ( m -1) / 2 paralelogramos. [4] En particular, esto es cierto para polígonos regulares con muchos lados uniformes, en cuyo caso los paralelogramos son todos rombos. Para el hexadecágono regular , m = 8, y se puede dividir en 28: 4 cuadrados y 3 conjuntos de 8 rombos. Esta descomposición se basa en una proyección poligonal de Petrie de un cubo de 8 , con 28 de 1792 caras. La lista OEIS : A006245 enumera el número de soluciones como 1232944, incluidas rotaciones de hasta 16 veces y formas quirales en reflexión.
8 cubos |
Inclinar hexadecágono
{8} # {} | { 8 ⁄ 3 } # {} | { 8 ⁄ 5 } # {} |
---|---|---|
Un hexadecágono sesgado regular se ve como bordes en zigzag de un antiprisma octagonal , un antiprisma octagrammico y un antiprisma cruzado octagrammico . |
Un hexadecágono sesgado es un polígono sesgado con 24 vértices y aristas, pero que no existe en el mismo plano. El interior de tal hexadecágono no está generalmente definido. Un hexadecágono en zig-zag sesgado tiene vértices que alternan entre dos planos paralelos.
Un hexadecágono de sesgo regular es transitivo a vértices con longitudes de arista iguales. En 3 dimensiones será un hexadecágono sesgado en zig-zag y se puede ver en los vértices y aristas laterales de un antiprisma octagonal con la misma simetría D 8d , [2 + , 16], orden 32. El antiprisma octagrammico , s { 2,16 / 3} y el antiprisma cruzado octagrammico , s {2,16 / 5} también tienen octágonos sesgados regulares.
Polígonos de Petrie
El hexadecágono regular es el polígono de Petrie para muchos politopos de dimensiones superiores, que se muestran en estas proyecciones ortogonales oblicuas , que incluyen:
A 15 | B 8 | D 9 | 2B 2 (4D) | |||
---|---|---|---|---|---|---|
15 simplex | 8-ortoplex | 8 cubos | 6 11 | 1 61 | 8-8 duopirámide | 8-8 duoprisma |
Figuras relacionadas
Un hexadecagrama es un polígono de estrella de 16 lados, representado por el símbolo {16 / n}. Hay tres polígonos de estrellas regulares , {16/3}, {16/5}, {16/7}, que utilizan los mismos vértices, pero se conectan cada tercer, quinto o séptimo puntos. También hay tres compuestos: {16/2} se reduce a 2 {8} como dos octágonos , {16/4} se reduce a 4 {4} como cuatro cuadrados y {16/6} se reduce a 2 {8/3 } como dos octagramos , y finalmente {16/8} se reduce a 8 {2} como ocho digones .
Hexadecágonos compuestos y en estrella | ||||
---|---|---|---|---|
Formulario | Polígono convexo | Compuesto | Polígono estrella | Compuesto |
Imagen | {16/1} o {16} | {16/2} o 2 {8} | {16/3} | {16/4} o 4 {4} |
Angulo interior | 157,5 ° | 135 ° | 112,5 ° | 90 ° |
Formulario | Polígono estrella | Compuesto | Polígono estrella | Compuesto |
Imagen | {16/5} | {16/6} o 2 {8/3} | {16/7} | {16/8} u 8 {2} |
Angulo interior | 67,5 ° | 45 ° | 22,5 ° | 0 ° |
Los truncamientos más profundos del octágono y octagrama regulares pueden producir formas de hexadecagrama intermedio isogonal ( transitivo de vértice ) con vértices igualmente espaciados y dos longitudes de borde. [5]
Un octágono truncado es un hexadecágono, t {8} = {16}. Un octágono casi truncado, invertido como {8/7}, es un hexadecagrama: t {8/7} = {16/7}. Un octagrama truncado {8/3} es un hexadecagrama: t {8/3} = {16/3} y un octagrama cuasitruncado, invertido como {8/5}, es un hexadecagrama: t {8/5} = {16 / 5}.
Truncamientos isogonales de octágono y octagrama | ||||
---|---|---|---|---|
Cuasirregular | Isogonal | Cuasirregular | ||
t {8} = {16} | t {8/7} = {16/7} | |||
t {8/3} = {16/3} | t {8/5} = {16/5} |
En arte
A principios del siglo XVI, Rafael fue el primero en construir una imagen en perspectiva de un hexadecágono regular: la torre en su cuadro Las bodas de la Virgen tiene 16 lados, elaborada en una torre de ocho lados en un cuadro anterior de Pietro Perugino . [6]
Los hexadecagramas ( polígonos de estrellas de 16 lados ) están incluidos en los patrones de Girih en la Alhambra . [7]
Otros
En Filipinas, en los carnavales locales (peryahan), las ruedas de la fortuna con un máximo de 16 asientos o góndolas son un lugar común.
En la Ciudad de México, el 'Parque del ejecutivo' es un pequeño parque hexadecagonal, rodeado por una carretera de circunvalación hexadecagonal, así como por 16 carreteras que corren radialmente hacia afuera, creando hexadecágonos más grandes en el proceso. Vista de Google Maps
Hexadecágonos irregulares
Una estrella octogonal puede verse como un hexadecágono cóncavo:
Ver también
- Red de líneas de rumbo
Referencias
- ^ Weisstein, Eric W. (2002). Enciclopedia Concisa de Matemáticas CRC, Segunda Edición . Prensa CRC. pag. 1365. ISBN 9781420035223.
- ^ Koshy, Thomas (2007), Teoría elemental de números con aplicaciones (2ª ed.), Academic Press, p. 142, ISBN 9780080547091.
- ^ John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss , (2008) Las simetrías de las cosas, ISBN 978-1-56881-220-5 (Capítulo 20, Símbolos de Schaefli generalizados, Tipos de simetría de un polígono págs. 275-278)
- ^ Coxeter , Recreaciones y ensayos matemáticos, decimotercera edición, p.141
- ^ El lado más ligero de las matemáticas: Actas de la conferencia conmemorativa de Eugène Strens sobre matemáticas recreativas y su historia, (1994), Metamorfosis de polígonos , Branko Grünbaum
- ^ Speiser, David (2011), "Arquitectura, matemáticas y teología en las pinturas de Raphael", en Williams, Kim (ed.), Crossroads: History of Science, History of Art. Ensayos de David Speiser, vol. II , Springer, págs. 29–39, doi : 10.1007 / 978-3-0348-0139-3_3. Publicado originalmente en Nexus III: Architecture and Mathematics , Kim Williams , ed. (Ospedaletto, Pisa: Pacini Editore, 2000), págs. 147-156.
- ^ Hankin, E. Hanbury (mayo de 1925), "Ejemplos de métodos para dibujar patrones geométricos arabescos", The Mathematical Gazette , 12 (176): 370–373, doi : 10.2307 / 3604213.
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Hexadecágono" . MathWorld .