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Sumas de los divisores, en varillas de Cuisenaire , de los primeros seis números muy abundantes

En matemáticas , un número muy abundante es un número natural con la propiedad de que la suma de sus divisores (incluido él mismo) es mayor que la suma de los divisores de cualquier número natural más pequeño.

Pillai  ( 1943 ) introdujo por primera vez números muy abundantes y varias clases similares de números , y Alaoglu y Erdős  ( 1944 ) realizaron los primeros trabajos sobre el tema . Alaoglu y Erdős tabulados todos los números muy abundantes hasta 10 4 , y mostraron que el número de muy abundantes números menores que cualquier N es al menos proporcional a log 2 N .

Definición formal y ejemplos [ editar ]

Formalmente, un número natural n se llama altamente abundante si y solo si para todos los números naturales m < n ,

donde σ denota la función de suma de divisores . Los primeros números muy abundantes son

1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 16 , 18 , 20 , 24 , 30 , 36 , 42 , 48 , 60 , ... (secuencia A002093 en la OEIS ).

Por ejemplo, 5 no es muy abundante porque σ (5) = 5 + 1 = 6 es más pequeño que σ (4) = 4 + 2 + 1 = 7, mientras que 8 es muy abundante porque σ (8) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 es mayor que todos los valores anteriores de σ.

Los únicos números impares muy abundantes son 1 y 3. [1]

Relaciones con otros conjuntos de números [ editar ]

Diagrama de Euler de números abundantes , primitivos abundantes , altamente abundantes , sobreabundantes , colosalmente abundantes , altamente compuestos , superiores altamente compuestos , extraños y perfectos por debajo de 100 en relación con los números deficientes y compuestos.

Aunque los primeros ocho factoriales son muy abundantes, no todos los factoriales son muy abundantes. Por ejemplo,

σ (9!) = σ (362880) = 1481040,

pero hay un número más pequeño con una mayor suma de divisores,

σ (360360) = 1572480,

¡así que 9! no es muy abundante.

Alaoglu y Erdős señalaron que todos los números sobreabundantes son muy abundantes y preguntaron si hay infinitos números muy abundantes que no son sobreabundantes. Esta pregunta fue respondida afirmativamente por Jean-Louis Nicolas  ( 1969 ).

A pesar de la terminología, no todos los números muy abundantes son números abundantes . En particular, ninguno de los primeros siete números altamente abundantes (1, 2, 3, 4, 6, 8 y 10) es abundante. Junto con 16, el noveno número muy abundante, estos son los únicos números muy abundantes que no son abundantes.

7200 es el número poderoso más grande que también es muy abundante: todos los números más grandes y muy abundantes tienen un factor primo que los divide solo una vez. Por lo tanto, 7200 es también el número más grande y muy abundante con una suma impar de divisores. [2]

Notas [ editar ]

  1. ^ Véase Alaoglu y Erdős (1944) , p. 466. Alaoglu y Erdős afirman con más fuerza que todos los números muy abundantes superiores a 210 son divisibles por 4, pero esto no es cierto: 630 es muy abundante y no es divisible por 4. (De hecho, 630 es el único contraejemplo ; números más grandes y abundantes son divisibles por 12.)
  2. ^ Alaoglu y Erdős (1944) , págs. 464–466.

Referencias [ editar ]

  • Alaoglu, L .; Erdős, P. (1944). "En números muy compuestos y similares" (PDF) . Transacciones de la American Mathematical Society . 56 (3): 448–469. doi : 10.2307 / 1990319 . JSTOR  1990319 . Señor  0011087 .
  • Nicolas, Jean-Louis (1969). "Ordre maximal d'un élément du groupe S n des permutations et" números altamente compuestos " " . Toro. Soc. Matemáticas. Francia . 97 : 129-191. Señor  0254130 .
  • Pillai, SS (1943). "Números muy abundantes". Toro. Calcuta Math. Soc . 35 : 141-156. Señor  0010560 .