Esfera de colina

La esfera de Hill o esfera de Roche de un cuerpo astronómico es la región en la que domina la atracción de satélites . La capa exterior de esa región constituye una superficie de velocidad cero . Para ser retenida por un planeta , una luna debe tener una órbita que se encuentre dentro de la esfera Hill del planeta. Esa luna, a su vez, tendría su propia esfera Hill. Cualquier objeto dentro de esa distancia tendería a convertirse en un satélite de la luna, en lugar del planeta en sí. Una vista simple de la extensión del Sistema Solar es la esfera Hill del Sol con respecto a las estrellas locales y lanúcleo galáctico . ^[1]

Una gráfica de contorno del potencial efectivo de un sistema de dos cuerpos debido a la gravedad y la inercia en un punto en el tiempo. Las esferas de Hill son las regiones circulares que rodean las dos grandes masas.

En términos más precisos, la esfera de Hill se aproxima a la esfera de influencia gravitacional de un cuerpo más pequeño frente a las perturbaciones de un cuerpo más masivo. Fue definido por el astrónomo estadounidense George William Hill , basado en el trabajo del astrónomo francés Édouard Roche . Por esta razón, también se la conoce como la "esfera de Roche" (no confundir con el límite de Roche o Lóbulo de Roche ).

En el ejemplo de la derecha, la esfera de la Colina de la Tierra se extiende entre los puntos lagrangianos L ₁ y L ₂ , que se encuentran a lo largo de la línea de centros de los dos cuerpos (la Tierra y el Sol). La región de influencia del segundo cuerpo es más corta en esa dirección, por lo que actúa como factor limitante para el tamaño de la esfera de Hill. Más allá de esa distancia, un tercer objeto en órbita alrededor del segundo (por ejemplo, la Luna) pasaría al menos parte de su órbita fuera de la esfera de Hill, y sería perturbado progresivamente por las fuerzas de marea del cuerpo central (por ejemplo, el Sol), eventualmente terminando orbitando este último.

Fórmula y ejemplos

Comparación de las esferas de Hill y los límites de Roche del sistema Sol-Tierra-Luna (no a escala) con regiones sombreadas que denotan órbitas estables de satélites de cada cuerpo

Si la masa del cuerpo más pequeño (por ejemplo, la Tierra) es ${\displaystyle m}$, y orbita un cuerpo más pesado (por ejemplo, el Sol) de masa ${\displaystyle M}$con un semi-eje mayor ${\displaystyle a}$y una excentricidad de${\displaystyle e}$, luego el radio ${\displaystyle r_{\mathrm {H} }}$de la esfera Hill del cuerpo más pequeño, calculada en el pericentro , es aproximadamente ^[2]

${\displaystyle r_{\mathrm {H} }\approx a(1-e){\sqrt[{3}]{\frac {m}{3M}}}.}$

Cuando la excentricidad es insignificante (el caso más favorable para la estabilidad orbital), esto se convierte en

${\displaystyle r_{\mathrm {H} }\approx a{\sqrt[{3}]{\frac {m}{3M}}}.}$

En el ejemplo Tierra-Sol, la Tierra (5,97 × 10 ²⁴ kg) orbita al Sol (1,99 × 10 ³⁰ kg) a una distancia de 149,6 millones de km, o una unidad astronómica (AU). La esfera de Hill para la Tierra se extiende por lo tanto hasta aproximadamente 1,5 millones de km (0,01 AU). La órbita de la Luna, a una distancia de 0,384 millones de kilómetros de la Tierra, se encuentra cómodamente dentro de la esfera de influencia gravitacional de la Tierra y, por lo tanto, no corre el riesgo de ser arrastrada a una órbita independiente alrededor del Sol. Todos los satélites estables de la Tierra (los que se encuentran dentro de la esfera Hill de la Tierra) deben tener un período orbital inferior a siete meses.

La fórmula anterior (ignorando la excentricidad) se puede reformular de la siguiente manera:

${\displaystyle 3{\frac {r_{\mathrm {H} }^{3}}{a^{3}}}\approx {\frac {m}{M}}.}$

Esto expresa la relación en términos del volumen de la esfera de Hill comparado con el volumen de la órbita del segundo cuerpo alrededor del primero; específicamente, la relación de las masas es tres veces la relación del volumen de estas dos esferas.

Derivación

La expresión para el radio de Hill se puede encontrar equiparando las fuerzas gravitacionales y centrífugas que actúan sobre una partícula de prueba (de masa mucho menor que ${\displaystyle m}$) orbitando el cuerpo secundario. Suponga que la distancia entre masas${\displaystyle M}$ y ${\displaystyle m}$ es ${\displaystyle r}$, y que la partícula de prueba orbita a una distancia ${\displaystyle r_{\mathrm {H} }}$de la secundaria. Cuando la partícula de prueba está en la línea que conecta el cuerpo primario y secundario, el equilibrio de fuerza requiere que

${\displaystyle {\frac {Gm}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {GM}{(r-r_{\mathrm {H} })^{2}}}+\Omega ^{2}(r-r_{\mathrm {H} })=0,}$

dónde ${\displaystyle G}$ es la constante gravitacional y ${\displaystyle \Omega ={\sqrt {\frac {GM}{r^{3}}}}}$es la velocidad angular ( kepleriana ) del secundario con respecto al primario (suponiendo que${\displaystyle m\ll M}$). La ecuación anterior también se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {m}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)^{-2}+{\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)=0,}$

que, a través de una expansión binomial al orden principal en ${\displaystyle r_{\mathrm {H} }/r}$, Se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {m}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {M}{r^{2}}}\left(1+2{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)+{\frac {M}{r^{2}}}\left(1-{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)={\frac {m}{r_{\mathrm {H} }^{2}}}-{\frac {M}{r^{2}}}\left(3{\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\right)\approx 0.}$

Por lo tanto, la relación establecida anteriormente

${\displaystyle {\frac {r_{\mathrm {H} }}{r}}\approx {\sqrt[{3}]{\frac {m}{3M}}}.}$

Si la órbita del secundario con respecto al primario es elíptica, el radio de Hill es máximo en el apocentro , donde${\displaystyle r}$es más grande y mínima en el pericentro de la órbita. Por lo tanto, a los efectos de la estabilidad de las partículas de prueba (por ejemplo, de satélites pequeños), se debe considerar el radio de Hill en la distancia del pericentro. ^[2] Al orden de liderazgo en${\displaystyle r_{\mathrm {H} }/r}$, el radio de Hill arriba también representa la distancia del punto Lagrangiano L ₁ desde el secundario.

Una forma rápida de estimar el radio de la esfera de Hill proviene de reemplazar la masa por la densidad en la ecuación anterior:

${\displaystyle {\frac {r_{\mathrm {H} }}{R_{\mathrm {secondary} }}}\approx {\frac {a}{R_{\mathrm {primary} }}}{\sqrt[{3}]{\frac {\rho _{\mathrm {secondary} }}{3\rho _{\mathrm {primary} }}}}\approx {\frac {a}{R_{\mathrm {primary} }}},}$

dónde ${\displaystyle \rho _{\mathrm {second} }}$ y ${\displaystyle \rho _{\mathrm {primary} }}$ son las densidades medias de los cuerpos primario y secundario, y ${\displaystyle R_{\mathrm {secondary} }}$ y ${\displaystyle R_{\mathrm {primary} }}$son sus radios. La segunda aproximación se justifica por el hecho de que, para la mayoría de los casos en el Sistema Solar,${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\frac {\rho _{\mathrm {secondary} }}{3\rho _{\mathrm {primary} }}}}}$pasa a estar cerca de uno. (El sistema Tierra-Luna es la mayor excepción, y esta aproximación está dentro del 20% para la mayoría de los satélites de Saturno). Esto también es conveniente, porque muchos astrónomos planetarios trabajan y recuerdan distancias en unidades de radios planetarios.

Verdadera región de estabilidad

La esfera de Hill es solo una aproximación, y otras fuerzas (como la presión de radiación o el efecto Yarkovsky ) pueden eventualmente perturbar un objeto fuera de la esfera. Este tercer objeto también debe tener una masa lo suficientemente pequeña como para que no presente complicaciones adicionales por su propia gravedad. Los cálculos numéricos detallados muestran que las órbitas en o justo dentro de la esfera de Hill no son estables a largo plazo; parece que existen órbitas de satélites estables sólo dentro de 1/2 a 1/3 del radio de Hill. La región de estabilidad para las órbitas retrógradas a una gran distancia del primario es más grande que la región para las órbitas progradas a una gran distancia del primario. Se pensaba que esto explicaba la preponderancia de lunas retrógradas alrededor de Júpiter; sin embargo, Saturno tiene una mezcla más uniforme de lunas retrógradas / progradas, por lo que las razones son más complicadas. ^[3]

Más ejemplos

Un astronauta no podría haber orbitado el Transbordador Espacial (con una masa de 104 toneladas ), donde la órbita estaba a 300 km por encima de la Tierra, porque su esfera Hill a esa altitud tenía solo 120 cm de radio, mucho más pequeña que el propio transbordador. Una esfera de este tamaño y masa sería más densa que el plomo. De hecho, en cualquier órbita terrestre baja , un cuerpo esférico debe ser más denso que el plomo para encajar dentro de su propia esfera de Hill, o de lo contrario será incapaz de soportar una órbita. Sin embargo, un satélite geoestacionario esférico solo necesitaría tener más del 6% de la densidad del agua para soportar satélites propios. ^{[ cita requerida ]}

Dentro del Sistema Solar , el planeta con el radio de colina más grande es Neptuno , con 116 millones de km, o 0,775 au; su gran distancia del Sol compensa ampliamente su pequeña masa en relación con Júpiter (cuyo radio de colina mide 53 millones de km). Un asteroide del cinturón de asteroides tendrá una esfera Hill que puede alcanzar los 220.000 km (por 1 Ceres ), disminuyendo rápidamente al disminuir la masa. La esfera Hill de 66391 Moshup , un asteroide que cruza Mercurio y tiene una luna (llamada Squannit), mide 22 km de radio. ^[4]

Un típico " Júpiter caliente " extrasolar , HD 209458 b , ^[5] tiene un radio de esfera de Hill de 593.000 km, aproximadamente ocho veces su radio físico de aproximadamente 71.000 km. Incluso el planeta extrasolar más pequeño y cercano, CoRoT-7b , ^[6] todavía tiene un radio de esfera Hill (61.000 km), seis veces su radio físico (aproximadamente 10.000 km). Por lo tanto, estos planetas podrían tener pequeñas lunas cercanas, aunque no dentro de sus respectivos límites de Roche . ^{[ cita requerida ]}

Sistema solar

La siguiente tabla y el gráfico logarítmico muestran el radio de las esferas Hill de algunos cuerpos del Sistema Solar calculado con la primera fórmula indicada anteriormente (incluida la excentricidad orbital), utilizando valores obtenidos de las efemérides JPL DE405 y del sitio web de Exploración del Sistema Solar de la NASA. ^[7]

Radio de las esferas de la colina de algunos cuerpos del sistema solar

Cuerpo Millones de km au Radios corporales Mercurio 0.1753 0,0012 71,9 Venus 1.0042 0,0067 165,9 tierra 1,4714 0,0098 230,7 Marte 0,9827 0,0066 289,3 Júpiter 50.5736 0.3381 707,4 Saturno 61.6340 0.4120 1022,7 Urano 66.7831 0,4464 2613.1 Neptuno 115.0307 0,7689 4644,6 Ceres 0,2048 0,0014 433,0 Plutón 5.9921 0.0401 5048.1 Eris 8.1176 0.0543 6979,9

Ver también

• Red de transporte interplanetario
• problema de n -body
• Esfera de influencia (astrodinámica)
• Esfera de influencia (agujero negro)
• Roche Lobe

Referencias

1. Chebotarev, GA (marzo de 1965). "Sobre los límites dinámicos del sistema solar". Astronomía soviética . 8 : 787. Bibcode : 1965SvA ..... 8..787C .
2. DP Hamilton y JA Burns (1992). "Zonas de estabilidad orbital sobre asteroides. II - Los efectos desestabilizadores de las órbitas excéntricas y de la radiación solar". Ícaro . 96 (1): 43–64. Código Bibliográfico : 1992Icar ... 96 ... 43H . doi : 10.1016 / 0019-1035 (92) 90005-R .
3. Astakhov, Sergey A .; Burbanks, Andrew D .; Wiggins, Stephen y Farrelly, David (2003). "Captura de lunas irregulares asistida por el caos". Naturaleza . 423 (6937): 264–267. Código Bibliográfico : 2003Natur.423..264A . doi : 10.1038 / nature01622 . PMID  12748635 .
4. Johnston, Robert (20 de octubre de 2019). "(66391) Moshup y Squannit" . Archivo de Johnston . Consultado el 30 de marzo de 2017 .
5. HD 209458 b
6. CoRoT-7 b
7. "Exploración del sistema solar de la NASA" . NASA . Consultado el 22 de diciembre de 2020 .

enlaces externos

• ¿Puede un astronauta orbitar el transbordador espacial?
• La luna que subió una colina, pero bajó un planeta