En matemáticas , una función homogénea es aquella con comportamiento de escala multiplicativa : si todos sus argumentos se multiplican por un factor , entonces su valor se multiplica por alguna potencia de este factor.
Por ejemplo, una homogénea valor real- función de dos variables x y y es una función de valor real que satisfaga la condiciónpara alguna constante k y todos los números reales α. La constante k se llama grado de homogeneidad .
Más en general, si ƒ : V → W es una función entre dos espacios vectoriales sobre un campo F , y k es un número entero , entonces ƒ se dice que es homogénea de grado k si
( 1 )
para todo α ∈ F y v ∈ V distintos de cero . Cuando los espacios vectoriales involucrados están por encima de los números reales , a menudo se usa una forma ligeramente menos general de homogeneidad, requiriendo solo que ( 1 ) se mantenga para todo α> 0.
También se pueden definir funciones homogéneas para espacios vectoriales con el origen eliminado, hecho que se utiliza en la definición de roldanas en el espacio proyectivo en geometría algebraica . De manera más general, si S ⊂ V es cualquier subconjunto que es invariante bajo la multiplicación escalar por elementos del campo (un "cono"), entonces una función homogénea de S a W todavía se puede definir por ( 1 ).
Ejemplos de
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Ejemplo 1
La función es homogéneo de grado 2:
Por ejemplo, suponga que x = 2, y = 4 y t = 5. Entonces
- , y
- .
Funciones lineales
Cualquier mapa lineal ƒ : V → W es homogéneo de grado 1 ya que por la definición de linealidad
para todos α ∈ F y v ∈ V .
De manera similar, cualquier función multilineal ƒ : V 1 × V 2 × ⋯ × V n → W es homogénea de grado n ya que según la definición de multilinealidad
para todo α ∈ F y v 1 ∈ V 1 , v 2 ∈ V 2 , ..., v n ∈ V n .
De ello se deduce que la n -ésima diferencia de una función ƒ : X → Y entre dos espacios de Banach X e Y es homogénea de grado n .
Polinomios homogéneos
Monomios en n variables definen funciones homogénea ƒ : F n → F . Por ejemplo,
es homogéneo de grado 10 ya que
El grado es la suma de los exponentes de las variables; en este ejemplo, 10 = 5 + 2 + 3 .
Un polinomio homogéneo es un polinomio formado por una suma de monomios del mismo grado. Por ejemplo,
es un polinomio homogéneo de grado 5. Los polinomios homogéneos también definen funciones homogéneas.
Dado un polinomio homogéneo de grado k , es posible obtener una función homogénea de grado 1 elevando a la potencia 1 / k . Entonces, por ejemplo, para cada k la siguiente función es homogénea de grado 1:
Mínimo máximo
Para cada juego de pesas , las siguientes funciones son homogéneas de grado 1:
Polarización
Una función multilineal g : V × V × ⋯ × V → F desde el n -ésimo producto cartesiano de V consigo mismo al campo subyacente F da lugar a una función homogénea ƒ : V → F evaluando en la diagonal:
La función resultante ƒ es un polinomio en el espacio vectorial V .
A la inversa, si F tiene característica cero, entonces dado un polinomio homogéneo ƒ de grado n en V , la polarización de ƒ es una función multilineal g : V × V × ⋯ × V → F en el n producto cartesiano-ésima de V . La polarización está definida por:
Estas dos construcciones, una de un polinomio homogéneo de una forma multilineal y la otra de una forma multilineal de un polinomio homogéneo, son mutuamente inversas entre sí. En dimensiones finitas, establecen un isomorfismo de espacios vectoriales graduadas de la álgebra simétrica de V * a la álgebra de polinomios homogéneos en V .
Funciones racionales
Las funciones racionales formadas como la proporción de dos polinomios homogéneos son funciones homogéneas del cono afín recortado por el lugar geométrico cero del denominador. Por lo tanto, si f es homogénea de grado m y g es homogénea de grado n , entonces f / g es homogénea de grado m - n lejos de los ceros de g .
No ejemplos
Logaritmos
El logaritmo natural escala aditivamente y por lo tanto no es homogéneo.
Esto se puede demostrar con los siguientes ejemplos: , , y . Esto se debe a que no hay k tal que.
Funciones afines
Funciones afines (la función es un ejemplo) no escala en general multiplicativamente.
Homogeneidad positiva
En el caso especial de los espacios vectoriales sobre los números reales , la noción de homogeneidad positiva a menudo juega un papel más importante que la homogeneidad en el sentido anterior.
Sea X (resp. Y ) un espacio vectorial sobre un campo (resp. ), dónde y normalmente serán (o posiblemente solo contendrán) los números reales o números complejos . Sea f : X → Y un mapa. [nota 1] Definimos [nota 2] la siguiente terminología:
- Homogeneidad positiva estricta : f ( rx ) = rf ( x ) para todo x ∈ X y todo real positivo r > 0 .
- Homogeneidad no negativa : f ( rx ) = rf ( x ) para todo x ∈ X y todo r real no negativo ≥ 0 .
- Una función de valor real no negativo con esta propiedad se puede caracterizar como funcional de Minkowski .
- Esta propiedad se utiliza en la definición de una función sublineal .
- Homogeneidad positiva : generalmente se define como "homogeneidad no negativa", pero también se define con frecuencia como "homogeneidad positiva estricta".
- Esta distinción suele ser [nota 3] irrelevante porque para una función valorada en un espacio o campo vectorial, la homogeneidad no negativa es lo mismo que la homogeneidad positiva estricta: estas nociones son idénticas. Vea esta nota al pie de [prueba 1] para una prueba.
- Homogeneidad real : f ( rx ) = r f ( x ) para todo x ∈ X y todo r real .
- Esta propiedad se utiliza en la definición de un funcional lineal real .
- Homogeneidad : f ( sx ) = s f ( x ) para todo x ∈ X y todo
- Se enfatiza que esta definición depende del campo escalar subyacente el dominio X .
- Esta propiedad se utiliza en la definición de funcionales lineales y mapas lineales .
- Homogeneidad conjugada : f ( sx ) = s f ( x ) para todo x ∈ X y todo
- Si entonces s denota típicamente el conjugado complejo de s . Pero de manera más general, s podría ser la imagen de s bajo algún automorfismo distinguido de.
- Junto con la aditividad , esta propiedad se asume en la definición de un mapa antilineal . También se supone que una de las dos coordenadas de una forma sesquilínea tiene esta propiedad (como el producto interno de un espacio de Hilbert ).
Todas las definiciones anteriores se pueden generalizar reemplazando la igualdad f ( rx ) = r f ( x ) con f ( rx ) = | r | f ( x ) en cuyo caso anteponemos esa definición con la palabra " absoluto " o " absolutamente ". Por ejemplo,
- Homogeneidad real absoluta : f ( rx ) = | r | f ( x ) para todo x ∈ X y todo r real .
- Homogeneidad absoluta : f ( sx ) = | s | f ( x ) para todo x ∈ X y todo
- Esta propiedad se utiliza en la definición de seminorma y norma .
Si k es un número real fijo, las definiciones anteriores se pueden generalizar aún más reemplazando la igualdad f ( rx ) = r f ( x ) con f ( rx ) = r k f ( x ) (o con f ( rx ) = | r | k f ( x ) para condiciones que utilizan el valor absoluto), en cuyo caso decimos que la homogeneidad es " de grado k " (tenga en cuenta en particular que todas las definiciones anteriores son " de grado 1 "). Por ejemplo,
- Homogeneidad no negativa de grado k : f ( rx ) = r k f ( x ) para todo x ∈ X y todo r real ≥ 0 .
- Homogeneidad real de grado k : f ( rx ) = r k f ( x ) para todo x ∈ X y todo r real .
- Homogeneidad real absoluta de grado k : f ( rx ) = | r | k f ( x ) para todo x ∈ X y todo r real .
- Homogeneidad absoluta de grado k : f ( sx ) = | s | k f ( x ) para todo x ∈ X y todo
Una función continua (distinta de cero) que es homogénea de grado k en se extiende continuamente a si y solo si k > 0 .
Generalizaciones
Las definiciones dadas anteriormente se especializan en la siguiente noción más general de homogeneidad en la que X puede ser cualquier conjunto (en lugar de un espacio vectorial) y los números reales pueden reemplazarse por la noción más general de un monoide .
Monoides y acciones de monoides
Un monoide es un par ( M , ⋅ ) que consta de un conjunto M y un operador asociativo M × M → M donde hay algún elemento en S llamado elemento identidad , que denotaremos por 1 ∈ M , tal que 1 ⋅ m = m = m ⋅ 1 para todos m ∈ m .
- Notación : Si ( M , ⋅ ) es un monoide con elemento de identidad 1 ∈ M y si m ∈ M , entonces dejaremos m 0 ≝ 1 , m 1 ≝ m , m 2 ≝ m ⋅ m , y más generalmente para cualquier positivo enteros k , sea m k el producto de k instancias de m ; es decir, m k ≝ m ⋅ ( m k - 1 ) .
- Notación : Es una práctica común (por ejemplo, en álgebra o cálculo) denotar la operación de multiplicación de un monoide ( M , ⋅ ) por yuxtaposición, lo que significa que podemos escribir mn en lugar de m ⋅ n . Esto nos permite ni siquiera tener que asignar un símbolo a la operación de multiplicación de un monoide. Además, cuando usamos esta notación de yuxtaposición, asumiremos automáticamente que el elemento de identidad del monoide se denota con 1 .
Sea M un monoide con elemento identidad 1 ∈ M cuya operación se denota por yuxtaposición y sea X un conjunto. Una acción monoide de M sobre X es un mapa M × X → X , que también denotaremos por yuxtaposición, tal que 1 x = x = x 1 y ( mn ) x = m ( nx ) para todo x ∈ X y todo m , n ∈ m .
Homogeneidad
Deje que M sea un monoide con elemento neutro 1 ∈ M , deje X e Y sean conjuntos, y supongamos que en ambos X e Y acciones monoides no están definidos de M . Sea k un entero no negativo y sea f : X → Y un mapa. Entonces decimos que f es homogénea de grado k sobre M si para todo x ∈ X y m ∈ M ,
- f ( mx ) = metro k f ( x ) .
Si además hay una función M → M , denotada por m ↦ | m | , llamado valor absoluto entonces decimos que f es absolutamente homogénea de grado k sobre M si para todo x ∈ X y m ∈ M ,
- f ( mx ) = | m | k f ( x ) .
Si decimos que una función es homogénea sobre M (resp. Absolutamente homogénea sobre M ) entonces queremos decir que es homogénea de grado 1 sobre M (resp. Absolutamente homogénea de grado 1 sobre M ).
De manera más general, tenga en cuenta que es posible que los símbolos m k se definan para m ∈ M siendo k algo diferente a un número entero (por ejemplo, si M son los números reales y k es un número real distinto de cero, entonces m k está definido aunque k no es un número entero). En este caso, decimos que f es homogénea de grado k sobre M si se cumple la misma igualdad:
- f ( mx ) = m k f ( x ) para cada x ∈ X y m ∈ M .
La noción de ser absolutamente homogéneo de grado k sobre M se generaliza de manera similar.
Teorema de la función homogénea de Euler
Las funciones positivamente homogéneas continuamente diferenciables se caracterizan por el siguiente teorema:
Teorema de la función homogénea de Euler. - Supongamos que la funciónes continuamente diferenciable . Entonces f es positivamente homogénea de grado k si y solo si
Prueba |
---|
Este resultado sigue a la vez al diferenciar ambos lados de la ecuación f (α y ) = α k f ( y ) con respecto a α , aplicando la regla de la cadena y eligiendo que α sea 1 . Lo contrario se prueba mediante la integración. Específicamente, deje. Desde, Por lo tanto, . Esto implica. Por lo tanto,: f es positivamente homogénea de grado k . |
Como consecuencia, suponga que es diferenciable y homogéneo de grado k . Entonces sus derivadas parciales de primer orden son homogéneos de grado k - 1 . El resultado se sigue del teorema de Euler al conmutar el operador con la derivada parcial.
Se puede especializar el teorema al caso de una función de una sola variable real ( n = 1 ), en cuyo caso la función satisface la ecuación diferencial ordinaria
Esta ecuación se puede resolver utilizando un enfoque de factor integrador , con solución, donde c = f (1) .
Distribuciones homogéneas
Una función continua ƒ en es homogéneo de grado k si y solo si
para todas las funciones de prueba compatibles de forma compacta ; y t real distinto de cero . De manera equivalente, haciendo un cambio de variable y = tx , ƒ es homogénea de grado k si y solo si
para todas las t y todas las funciones de prueba. La última pantalla permite definir la homogeneidad de las distribuciones . Una distribución S es homogénea de grado k si
para todas las funciones de prueba y t reales distintas de cero. Aquí, los paréntesis angulares indican el emparejamiento entre distribuciones y funciones de prueba, yes el mapeo de la división escalar por el número real t .
Aplicación a ecuaciones diferenciales
La sustitución v = y / x convierte la ecuación diferencial ordinaria
donde I y J son funciones homogéneas del mismo grado, en la ecuación diferencial separable
Ver también
- Función de producción
- Función del centro del triángulo
- Función elíptica de Weierstrass
Notas
- ^ Tenga en cuenta en particular que si entonces cada -la función valorada en X también es-valorado.
- ^ Para que una propiedad como la homogeneidad real esté bien definida, los campos y ambos deben contener los números reales. Por supuesto, automáticamente haremos cualquier suposición sobre y son necesarios para que los productos escalares siguientes estén bien definidos.
- ^ Tenga en cuenta que a vecesel codominio de f es el conjunto de números reales extendidos (que permite ± ∞ ), en cuyo caso la multiplicación 0 ⋅ f ( x ) no estará definida siempre que f ( x ) = ± ∞ . En este caso, las condiciones " r > 0 " y " r ≥ 0 " no necesariamente se pueden usar indistintamente.
- ^ Suponga que f es estrictamente positivamente homogénea y se valora en un espacio vectorial o en un campo. Entonces f (0) = f (2 ⋅ 0) = 2 f (0) por lo que restar f (0) de ambos lados muestra que f (0) = 0 . Escribiendo r ≝ 0 , para todo x ∈ X tenemos f ( r x ) = f (0) = 0 = 0 f ( x ) = r f ( x ) , lo que muestra que f es homogénea no negativa.
Referencias
- Blatter, Christian (1979). "20. Mehrdimensionale Differentialrechnung, Aufgaben, 1.". Analysis II (2ª ed.) (En alemán). Springer Verlag. pag. 188. ISBN 3-540-09484-9.
enlaces externos
- "Función homogénea" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Eric Weisstein. "Teorema de la función homogénea de Euler" . MathWorld .