Equilibrio hidrostático

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En mecánica de fluidos , el equilibrio hidrostático o equilibrio hidrostático (también conocido como hidrostasia ) ^{[1] [2]} es la condición de un fluido o sólido plástico en reposo. Esto ocurre cuando fuerzas externas como la gravedad ^{[ cita requerida ]} se equilibran con una fuerza de gradiente de presión . ^[3] Por ejemplo, la fuerza del gradiente de presión evita que la gravedad colapse la atmósfera de la Tierra en una capa delgada y densa, mientras que la gravedad evita que la fuerza del gradiente de presión difunda la atmósfera en el espacio.

El equilibrio hidrostático es el criterio de distinción entre los planetas enanos y los cuerpos pequeños del Sistema Solar , y tiene otros roles en la astrofísica y la geología planetaria . Esta calificación significa que el objeto se redondea simétricamente en forma de elipsoide , donde cualquier característica irregular de la superficie se debe a una corteza sólida relativamente delgada . Además del Sol, hay una docena de objetos en equilibrio confirmados que existen en el Sistema Solar , con otros posibles.

Consideración matemática

Si el volumen de fluido resaltado no se acelera, las fuerzas hacia arriba deben ser iguales a las fuerzas hacia abajo.

Derivación de la suma de fuerzas

Más información: Equilibrio mecánico

Las leyes del movimiento de Newton establecen que un volumen de un fluido que no está en movimiento o que está en un estado de velocidad constante debe tener una fuerza neta cero sobre él. Esto significa que la suma de las fuerzas en una dirección dada debe oponerse a una suma igual de fuerzas en la dirección opuesta. Este equilibrio de fuerzas se denomina equilibrio hidrostático.

El fluido se puede dividir en una gran cantidad de elementos de volumen cuboides ; considerando un solo elemento, se puede derivar la acción del fluido.

Hay 3 fuerzas: la fuerza hacia abajo sobre la parte superior del paralelepípedo procedente de la presión, P, del fluido por encima de él, según la definición de presión ,

${\displaystyle F_{top}=-P_{top}\cdot A.}$

De manera similar, la fuerza sobre el elemento de volumen de la presión del fluido debajo que empuja hacia arriba es

${\displaystyle F_{bottom}=P_{bottom}\cdot A.}$

Finalmente, el peso del elemento de volumen provoca una fuerza hacia abajo. Si la densidad es ρ, el volumen es V yg la gravedad estándar , entonces:

${\displaystyle F_{weight}=-\rho \cdot g\cdot V.}$

El volumen de este cuboide es igual al área de la parte superior o inferior, multiplicado por la altura, la fórmula para encontrar el volumen de un cubo.

${\displaystyle F_{weight}=-\rho \cdot g\cdot A\cdot h}$

Al equilibrar estas fuerzas, la fuerza total sobre el fluido es

${\displaystyle \sum F=F_{bottom}+F_{top}+F_{weight}=P_{bottom}\cdot A-P_{top}\cdot A-\rho \cdot g\cdot A\cdot h.}$

Esta suma es igual a cero si la velocidad del fluido es constante. Dividiendo por A,

${\displaystyle 0=P_{bottom}-P_{top}-\rho \cdot g\cdot h.}$

O,

${\displaystyle P_{top}-P_{bottom}=-\rho \cdot g\cdot h.}$

P _arriba - P _abajo es un cambio en la presión y h es la altura del elemento de volumen - un cambio en la distancia sobre el suelo. Al decir que estos cambios son infinitesimalmente pequeños, la ecuación se puede escribir en forma diferencial .

${\displaystyle dP=-\rho \cdot g\cdot dh.}$

La densidad cambia con la presión y la gravedad cambia con la altura, por lo que la ecuación sería:

${\displaystyle dP=-\rho (P)\cdot g(h)\cdot dh.}$

Derivación de las ecuaciones de Navier-Stokes

Por último, observe que esta última ecuación se puede derivar resolviendo las ecuaciones tridimensionales de Navier-Stokes para la situación de equilibrio donde

${\displaystyle u=v={\frac {\partial p}{\partial x}}={\frac {\partial p}{\partial y}}=0.}$

Entonces, la única ecuación no trivial es la -ecuación, que ahora dice${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial z}}+\rho g=0.}$

Por lo tanto, el equilibrio hidrostático puede considerarse como una solución de equilibrio particularmente simple de las ecuaciones de Navier-Stokes.

Derivación de la relatividad general

Conectando el tensor de impulso de energía para un fluido perfecto

${\displaystyle T^{\mu \nu }=(\rho c^{-2}+P)u^{\mu }u^{\nu }+Pg^{\mu \nu }}$

en las ecuaciones de campo de Einstein

${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}(T_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }T)}$

y usando la condición de conservación

${\displaystyle \nabla _{\mu }T^{\mu \nu }=0}$

se puede derivar la ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff para la estructura de una estrella relativista estática y esféricamente simétrica en coordenadas isotrópicas:

${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {GM(r)\rho (r)}{r^{2}}}\left(1+{\frac {P(r)}{\rho (r)c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4\pi r^{3}P(r)}{M(r)c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2GM(r)}{rc^{2}}}\right)^{-1}}$

En la práctica, Ρ y ρ están relacionados por una ecuación de estado de la forma f ( Ρ , ρ ) = 0, con f específico de la composición de la estrella. M ( r ) es una foliación de esferas ponderadas por la densidad de masa ρ ( r ), con la esfera más grande de radio r :

${\displaystyle M(r)=4\pi \int _{0}^{r}dr'r'^{2}\rho (r').}$

Según el procedimiento estándar al tomar el límite no relativista, dejamos c → ∞, de modo que el factor

${\displaystyle \left(1+{\frac {P(r)}{\rho (r)c^{2}}}\right)\left(1+{\frac {4\pi r^{3}P(r)}{M(r)c^{2}}}\right)\left(1-{\frac {2GM(r)}{rc^{2}}}\right)^{-1}\rightarrow 1}$

Por lo tanto, en el límite no relativista, la ecuación de Tolman-Oppenheimer-Volkoff se reduce al equilibrio hidrostático de Newton:

${\displaystyle {\frac {dP}{dr}}=-{\frac {GM(r)\rho (r)}{r^{2}}}=-g(r)\,\rho (r)\longrightarrow dP=-\rho (h)\,g(h)\,dh}$

(hemos hecho el cambio de notación trivial h = ry hemos usado f ( Ρ , ρ ) = 0 para expresar ρ en términos de P ). ^[4] Se puede calcular una ecuación similar para estrellas giratorias, axialmente simétricas, que en su forma independiente de calibre dice:

${\displaystyle {\frac {\partial _{i}P}{P+\rho }}-\partial _{i}\ln u^{t}+u_{t}u^{\phi }\partial _{i}{\frac {u_{\phi }}{u_{t}}}=0}$

A diferencia de la ecuación de equilibrio TOV, estas son dos ecuaciones (por ejemplo, si, como es habitual cuando se tratan estrellas, uno elige coordenadas esféricas como coordenadas base , el índice i corre para las coordenadas r y ).${\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )}$${\displaystyle \theta }$

Aplicaciones

Fluidos

El equilibrio hidrostático pertenece a la hidrostática y los principios de equilibrio de fluidos . Una balanza hidrostática es una balanza particular para pesar sustancias en agua. El equilibrio hidrostático permite descubrir sus densidades específicas . Este equilibrio es estrictamente aplicable cuando un fluido ideal está en flujo laminar horizontal estable y cuando cualquier fluido está en reposo o en movimiento vertical a velocidad constante. También puede ser una aproximación satisfactoria cuando las velocidades de flujo son lo suficientemente bajas como para que la aceleración sea insignificante.

Astrofísica

En cualquier capa dada de una estrella , existe un equilibrio hidrostático entre la presión térmica hacia afuera desde abajo y el peso del material que está arriba presionando hacia adentro. El campo gravitacional isotrópico comprime la estrella en la forma más compacta posible. Una estrella giratoria en equilibrio hidrostático es un esferoide achatado hasta una cierta velocidad angular (crítica). Un ejemplo extremo de este fenómeno es la estrella Vega , que tiene un período de rotación de 12,5 horas. En consecuencia, Vega es aproximadamente un 20% más grande en el ecuador que en los polos. Una estrella con una velocidad angular por encima de la velocidad angular crítica se convierte en un elipsoide de Jacobi (escaleno) , y con una rotación aún más rápida ya no es elipsoidal sinopiriforme u oviforme , con otras formas más allá de eso, aunque las formas más allá del escaleno no son estables. ^[5]

Si la estrella tiene un objeto compañero masivo cercano, las fuerzas de la marea también entran en juego, distorsionando la estrella en una forma escaleno cuando la rotación sola la convertiría en un esferoide. Un ejemplo de esto es Beta Lyrae .

El equilibrio hidrostático también es importante para el medio intragrupo , donde restringe la cantidad de líquido que puede estar presente en el núcleo de un grupo de galaxias .

También podemos utilizar el principio de equilibrio hidrostático para estimar la velocidad de dispersión de la materia oscura en cúmulos de galaxias. Solo la materia bariónica (o, más bien, sus colisiones) emite radiación de rayos X. La luminosidad absoluta de rayos X por unidad de volumen toma la forma donde y son la temperatura y la densidad de la materia bariónica, y es alguna función de la temperatura y las constantes fundamentales. La densidad bariónica satisface la ecuación anterior :${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}=\Lambda (T_{B})\rho _{B}^{2}}$${\displaystyle T_{B}}$${\displaystyle \rho _{B}}$${\displaystyle \Lambda (T)}$${\displaystyle dP=-\rho gdr}$

${\displaystyle p_{B}(r+dr)-p_{B}(r)=-dr{\frac {\rho _{B}(r)G}{r^{2}}}\int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,\rho _{M}(r)\,dr.}$

La integral es una medida de la masa total del grupo, siendo la distancia adecuada al centro del grupo. Usando la ley de los gases ideales ( es la constante de Boltzmann y es una masa característica de las partículas de gas bariónico) y reordenando, llegamos a${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p_{B}=kT_{B}\rho _{B}/m_{B}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle m_{B}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{B}(r)\rho _{B}(r)}{m_{B}}}\right)=-{\frac {\rho _{B}(r)G}{r^{2}}}\int _{0}^{r}4\pi r^{2}\,\rho _{M}(r)\,dr.}$

Multiplicar y diferenciar con respecto a los rendimientos${\displaystyle r^{2}/\rho _{B}(r)}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left[{\frac {r^{2}}{\rho _{B}(r)}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{B}(r)\rho _{B}(r)}{m_{B}}}\right)\right]=-4\pi Gr^{2}\rho _{M}(r).}$

Si asumimos que las partículas frías de materia oscura tienen una distribución de velocidad isotrópica, entonces la misma derivación se aplica a estas partículas y su densidad satisface la ecuación diferencial no lineal.${\displaystyle \rho _{D}=\rho _{M}-\rho _{B}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\left[{\frac {r^{2}}{\rho _{D}(r)}}{\frac {d}{dr}}\left({\frac {kT_{D}(r)\rho _{D}(r)}{m_{D}}}\right)\right]=-4\pi Gr^{2}\rho _{M}(r).}$

Con datos perfectos de rayos X y distancia, podríamos calcular la densidad de bariones en cada punto del cúmulo y, por lo tanto, la densidad de materia oscura. Entonces podríamos calcular la velocidad de dispersión de la materia oscura, que viene dada por ${\displaystyle \sigma _{D}^{2}}$

${\displaystyle \sigma _{D}^{2}={\frac {kT_{D}}{m_{D}}}.}$

La relación de densidad central depende del corrimiento al rojo del grupo y viene dada por${\displaystyle \rho _{B}(0)/\rho _{M}(0)}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle \rho _{B}(0)/\rho _{M}(0)\propto (1+z)^{2}\left({\frac {\theta }{s}}\right)^{3/2}}$

donde es el ancho angular del grupo y la distancia adecuada al grupo. Los valores de la relación varían de .11 a .14 para varias encuestas. ^[6]${\displaystyle \theta }$${\displaystyle s}$

Geología planetaria

El concepto de equilibrio hidrostático también se ha vuelto importante para determinar si un objeto astronómico es un planeta , un planeta enano o un cuerpo pequeño del Sistema Solar . Según la definición de planeta adoptada por la Unión Astronómica Internacional en 2006, una característica definitoria de los planetas y los planetas enanos es que son objetos que tienen suficiente gravedad para superar su propia rigidez y asumir el equilibrio hidrostático. Tal cuerpo a menudo tendrá el interior diferenciado y la geología de un mundo (un planemo ), aunque cuerpos casi hidrostáticos o anteriormente hidrostáticos como el proto-planeta 4 Vestatambién pueden diferenciarse y algunos cuerpos hidrostáticos (notablemente Calisto) no se han diferenciado completamente desde su formación. A menudo, la forma de equilibrio es un esferoide achatado , como es el caso de la Tierra. Sin embargo, en los casos de lunas en órbita sincrónica, las fuerzas de marea casi unidireccionales crean un elipsoide escaleno . Además, el supuesto planeta enano Haumea es escaleno debido a su rápida rotación, aunque es posible que actualmente no esté en equilibrio.

Anteriormente se creía que los objetos helados necesitaban menos masa para alcanzar el equilibrio hidrostático que los objetos rocosos. El objeto más pequeño que parece tener una forma de equilibrio es la luna helada Mimas a 396 km, mientras que el objeto más grande que se sabe que tiene una forma obviamente fuera de equilibrio es el asteroide rocoso Juno a 247 km (320 × 267 × 200 km). Sin embargo, Mimas no está realmente en equilibrio hidrostático para su rotación actual. El cuerpo más pequeño que se ha confirmado que está en equilibrio hidrostático es el planeta enano Ceres , que está helado, a 945 km, mientras que el cuerpo más grande conocido que tiene una desviación notable del equilibrio hidrostático es Jápeto (luna), que está hecho principalmente de hielo permeable y casi sin roca. ^[7]A 1.469 km la luna no es esférica ni elipsoide. En cambio, tiene una extraña forma de nuez debido a su cresta ecuatorial única. ^[8] Así, Jápeto es el objeto más grande que no está en equilibrio hidrostático, a pesar de su tamaño. Algunos cuerpos helados pueden estar en equilibrio, al menos en parte, debido a un océano subsuperficial, que no es la definición de equilibrio utilizada por la IAU (gravedad que supera las fuerzas internas de los cuerpos rígidos).

Los cuerpos sólidos tienen superficies irregulares, pero las irregularidades locales pueden ser consistentes con el equilibrio global. Por ejemplo, la base masiva de la montaña más alta de la Tierra, Mauna Kea , ha deformado y deprimido el nivel de la corteza circundante, de modo que la distribución general de la masa se acerca al equilibrio.

Modelado atmosférico

Más información: Modelo atmosférico

En la atmósfera, la presión del aire disminuye al aumentar la altitud. Esta diferencia de presión provoca una fuerza ascendente llamada fuerza de gradiente de presión . La fuerza de la gravedad equilibra esto, manteniendo la atmósfera unida a la Tierra y manteniendo las diferencias de presión con la altitud.

Ver también

• Lista de objetos del Sistema Solar en equilibrio hidrostático
• Estática
• Experimento de dos globos

Notas

1. [1]
2. [2]
3. Blanco (2008). pág. 63, 66.
4. Zee, A. (2013). La gravedad de Einstein en pocas palabras . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 451–454. ISBN 9780691145587.
5. "Galería: la forma del planeta tierra" . Josleys.com . Consultado el 15 de junio de 2014 .
6. Weinberg, Steven (2008). Cosmología . Nueva York: Oxford University Press. págs. 70–71. ISBN 978-0-19-852682-7.
7. http://www.ciclops.org/media/sp/2011/6794_16344_0.pdf
8. Castillo-Rogez, JC; Matson, DL; Sotin, C .; Johnson, TV; Lunine, JI; Thomas, PC (2007). "Geofísica de Jápeto: velocidad de rotación, forma y cresta ecuatorial". Ícaro . 190 (1): 179–202. Código Bibcode : 2007Icar..190..179C . doi : 10.1016 / j.icarus.2007.02.018 .

Referencias

• Blanco, Frank M. (2008). "Distribución de presión en un fluido". Mecánica de fluidos . Nueva York: McGraw-Hill. págs. 63-107. ISBN 978-0-07-128645-9.

Enlaces externos

• Strobel, Nick. (Mayo de 2001). Notas de astronomía de Nick Strobel.
• Demostración en YouTube del profesor Richard Pogge, Departamento de Astronomía de la Universidad Estatal de Ohio