En matemáticas , las coordenadas hiperbólicas son un método para ubicar puntos en el cuadrante I del plano cartesiano.
- .
Las coordenadas hiperbólicas toman valores en el plano hiperbólico definido como:
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Estas coordenadas en HP son útiles para estudiar comparaciones logarítmicas de proporción directa en Q y medir desviaciones de proporción directa.
Para en llevar
y
- .
El parámetro u es el ángulo hiperbólico a ( x, y ) y v es la media geométrica de x e y .
El mapeo inverso es
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La función es un mapeo continuo , pero no una función analítica .
Métrica de cuadrante alternativo
Dado que HP lleva la estructura espacial métrica del modelo de semiplano de Poincaré de geometría hiperbólica , la correspondencia biyectivatrae esta estructura para Q . Puede captarse utilizando la noción de movimientos hiperbólicos . Dado que las geodésicas en HP son semicírculos con centros en el límite, las geodésicas en Q se obtienen de la correspondencia y resultan ser rayos del origen o curvas en forma de pétalo que salen y vuelven a entrar en el origen. Y el movimiento hiperbólico de HP dada por una izquierda-derecha corresponde a un desplazamiento de la cartografía de aterrizaje aplicado a Q .
Desde hipérbolas en Q corresponden a líneas paralelas a los límites de HP , son horociclo en la geometría métrica de Q .
Si sólo se tiene en cuenta la topología euclidiana del plano y la topología heredada por Q , entonces las líneas que delimitan Q parecen cerca de Q . La comprensión del espacio métrico HP muestra que el conjunto abierto Q solo tiene el origen como límite cuando se ve a través de la correspondencia. De hecho, considere los rayos del origen en Q y sus imágenes, rayos verticales del límite R de HP . Cualquier punto en HP está a una distancia infinita del punto p al pie de la perpendicular a R , pero una secuencia de puntos en esta perpendicular puede tender en la dirección de p . La secuencia correspondiente en Q tiende a lo largo de un rayo hacia el origen. El antiguo límite euclidiano de Q ya no es relevante.
Aplicaciones en ciencias físicas
Las variables físicas fundamentales a veces se relacionan mediante ecuaciones de la forma k = xy . Por ejemplo, V = IR ( ley de Ohm ), P = VI ( energía eléctrica ), PV = k T ( ley de los gases ideales ) y f λ = v (relación de longitud de onda , frecuencia y velocidad en el medio de onda). Cuando k es constante, las otras variables se encuentran en una hipérbola, que es un horociclo en el cuadrante Q apropiado .
Por ejemplo, en termodinámica, el proceso isotérmico sigue explícitamente la trayectoria hiperbólica y el trabajo puede interpretarse como un cambio de ángulo hiperbólico. De manera similar, una masa M dada de gas con volumen cambiante tendrá densidad variable δ = M / V , y la ley del gas ideal se puede escribir P = k T δ de modo que un proceso isobárico traza una hipérbola en el cuadrante de temperatura absoluta y gas. densidad.
Para las coordenadas hiperbólicas en la teoría de la relatividad, consulte la sección Historia .
Aplicaciones estadísticas
- El estudio comparativo de la densidad de población en el cuadrante comienza con la selección de una nación, región o área urbana de referencia cuya población y área se toman como punto (1,1).
- El análisis de la representación electa de las regiones en una democracia representativa comienza con la selección de un estándar de comparación: un grupo representado particular, cuya magnitud y magnitud de lista (de representantes) se ubica en (1,1) en el cuadrante.
Aplicaciones económicas
Hay muchas aplicaciones naturales de las coordenadas hiperbólicas en economía :
- Análisis de la fluctuación del tipo de cambio de moneda : La unidad de moneda establece . La moneda del precio corresponde a. Para encontramos , un ángulo hiperbólico positivo. Por una fluctuación, toma un nuevo precio.Entonces el cambio en u es:La cuantificación de la fluctuación del tipo de cambio a través de un ángulo hiperbólico proporciona una medida objetiva, simétrica y coherente . La cantidad es la longitud del desplazamiento de izquierda a derecha en la vista de movimiento hiperbólico de la fluctuación de la moneda.
- Análisis de inflación o deflación de precios de una canasta de bienes de consumo .
- Cuantificación del cambio de cuota de mercado en duopolio .
- Divisiones de acciones corporativas versus recompra de acciones.
Historia
La media geométrica es un concepto antiguo, pero el ángulo hiperbólico fue desarrollado en esta configuración por Gregoire de Saint-Vincent . Intentaba realizar una cuadratura con respecto a la hipérbola rectangular y = 1 / x . Ese desafío era un problema pendiente desde que Arquímedes realizó la cuadratura de la parábola . La curva pasa por (1,1) donde está opuesta al origen (matemáticas) en un cuadrado unitario . Los otros puntos de la curva se pueden ver como rectángulos que tienen la misma área que este cuadrado. Dicho rectángulo se puede obtener aplicando un mapeo de compresión al cuadrado. Otra forma de ver estas asignaciones es mediante sectores hiperbólicos . A partir de (1,1) el sector hiperbólico de área unitaria termina en (e, 1 / e), donde e es 2.71828…, según el desarrollo de Leonhard Euler en Introducción al análisis del infinito (1748).
Tomando (e, 1 / e) como el vértice del rectángulo de área unitaria, y aplicando nuevamente la compresión que lo hizo desde el cuadrado unitario, se obtiene Generalmente n exprime los rendimientos AA de Sarasa señaló una observación similar de G. de Saint Vincent, que a medida que aumentaban las abscisas en una serie geométrica , la suma de las áreas contra la hipérbola aumentaba en las series aritméticas , y esta propiedad correspondía al logaritmo ya utilizado para reducir las multiplicaciones. a las adiciones. El trabajo de Euler hizo del logaritmo natural una herramienta matemática estándar y elevó las matemáticas al ámbito de las funciones trascendentales . Las coordenadas hiperbólicas se forman en la imagen original de G. de Saint-Vincent, que proporcionó la cuadratura de la hipérbola y trascendió los límites de las funciones algebraicas .
En la relatividad especial, el foco está en la hipersuperficie tridimensional en el futuro del espacio-tiempo, donde llegan varias velocidades después de un tiempo adecuado dado . Scott Walter [1] explica que en noviembre de 1907 Hermann Minkowski aludió a una conocida geometría hiperbólica tridimensional mientras hablaba con la Sociedad Matemática de Gotinga, pero no a una de cuatro dimensiones. [2] En homenaje a Wolfgang Rindler , autor de un libro de texto estándar de introducción a nivel universitario sobre la relatividad, las coordenadas hiperbólicas del espacio-tiempo se denominan coordenadas de Rindler .
Referencias
- ^ Walter (1999) página 6
- ^ Walter (1999) página 8
- David Betounes (2001) Ecuaciones diferenciales: teoría y aplicaciones , página 254, Springer-TELOS, ISBN 0-387-95140-7 .
- Scott Walter (1999). "El estilo no euclidiano de la relatividad minkowskiana" . Capítulo 4 en: Jeremy J. Gray (ed.), The Symbolic Universe: Geometry and Physics 1890-1930 , págs. 91-127. Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 0-19-850088-2 .