En matemáticas , las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones trigonométricas ordinarias , pero se definen utilizando la hipérbola en lugar del círculo . Así como los puntos (cos t , sin t ) forman un círculo con una unidad de radio , los puntos (cosh t , sinh t ) forman la mitad derecha de la hipérbola unitaria . Además, así como las derivadas de sin ( t ) y cos ( t ) son cos ( t ) y–Sin ( t ) , las derivadas de sinh ( t ) y cosh ( t ) son cosh ( t ) y + sinh ( t ) .
área del seno hiperbólico "arsinh" (también denotado "sinh −1 ", "asinh" oa veces "arcsinh") [10] [11] [12]
área coseno hiperbólico "arcosh" (también denotado "cosh −1 ", "acosh" o, a veces, "arccosh")
y así.
Un rayo a través de la hipérbola unitaria x 2 - y 2 = 1 en el punto (cosh a , sinh a ) , donde a es el doble del área entre el rayo, la hipérbola y el eje x . Para los puntos de la hipérbola debajo del eje x , el área se considera negativa (consulte la versión animada con comparación con las funciones trigonométricas (circulares)).
En el análisis complejo , las funciones hiperbólicas surgen como las partes imaginarias del seno y el coseno. El seno hiperbólico y el coseno hiperbólico son funciones completas . Como resultado, las otras funciones hiperbólicas son meromórficas en todo el plano complejo.
Las funciones hiperbólicas fueron introducidas en la década de 1760 de forma independiente por Vincenzo Riccati y Johann Heinrich Lambert . [14] Riccati utilizó Sc. y Cc. ( seno / cosino circulare ) para referirse a funciones circulares y Sh. y Ch. ( sinus / cosinus hyperbolico ) para referirse a funciones hiperbólicas. Lambert adoptó los nombres, pero alteró las abreviaturas a las que se usan hoy. [15] Las abreviaturas sh , ch , th , cth también se utilizan actualmente, dependiendo de las preferencias personales.
Definiciones
sinh , cosh y tanh
csch , sech y coth
Hay varias formas equivalentes de definir las funciones hiperbólicas.
Definiciones exponenciales
sinh x es la mitad de la diferencia de e x y e - x
Seno hiperbólico: la parte impar de la función exponencial, es decir,
Coseno hiperbólico: la parte par de la función exponencial, es decir,
Tangente hiperbólica:
Cotangente hiperbólica: para x ≠ 0 ,
Secante hiperbólica:
Cosecante hiperbólica: para x ≠ 0 ,
Definiciones de ecuaciones diferenciales
Las funciones hiperbólicas pueden definirse como soluciones de ecuaciones diferenciales : el seno y el coseno hiperbólicos son la única solución ( s , c ) del sistema
tal que s (0) = 0 y c (0) = 1 .
(Las condiciones iniciales son necesarios porque cada par de funciones de la forma resuelve las dos ecuaciones diferenciales.)
Sinh (x) y cosh (x) también son la única solución de la ecuación f ″ ( x ) = f ( x ) , tal que f (0) = 1 , f ′ (0) = 0 para el coseno hiperbólico, y f (0) = 0 , f ′ (0) = 1 para el seno hiperbólico.
Definiciones trigonométricas complejas
Las funciones hiperbólicas también se pueden deducir de funciones trigonométricas con argumentos complejos :
Seno hiperbólico: [2]
Coseno hiperbólico: [2]
Tangente hiperbólica:
Cotangente hiperbólica:
Secante hiperbólica:
Cosecante hiperbólica:
donde i es la unidad imaginaria con i 2 = −1 .
Las definiciones anteriores están relacionadas con las definiciones exponenciales a través de la fórmula de Euler (ver § Funciones hiperbólicas para números complejos a continuación).
Caracterizar propiedades
Coseno hiperbólico
Se puede demostrar que el área bajo la curva del coseno hiperbólico (en un intervalo finito) es siempre igual a la longitud del arco correspondiente a ese intervalo: [16]
Tangente hiperbólica
La tangente hiperbólica es la solución (única) de la ecuación diferencial f ′ = 1 - f 2 , con f (0) = 0 .
Relaciones útiles
Las funciones hiperbólicas satisfacen muchas identidades, todas de forma similar a las identidades trigonométricas . De hecho, la regla de Osborn [17] establece que se puede convertir cualquier identidad trigonométrica para, , o y en una identidad hiperbólica, expandiéndola completamente en términos de potencias integrales de senos y cosenos, cambiando seno a sinh y coseno a cosh, y cambiando el signo de cada término que contiene un producto de dos sinhs.
Funciones pares e impares:
Por eso:
Por tanto, cosh x y sech x son funciones pares ; las otras son funciones extrañas .
El seno y el coseno hiperbólicos satisfacen:
el último de los cuales es similar a la identidad trigonométrica pitagórica .
Uno tambien tiene
para las otras funciones.
Sumas de argumentos
particularmente
También:
Fórmulas de resta
Además: [18]
Fórmulas de medio argumento
donde sgn es la función de signo .
Si x ≠ 0 , entonces [19]
Fórmulas cuadradas
Desigualdades
La siguiente desigualdad es útil en estadística: [20]
Se puede demostrar comparando término por término la serie de Taylor de las dos funciones.
Funciones inversas como logaritmos
Derivados
Segundas derivadas
Cada una de las funciones sinh y cosh es igual a su segunda derivada , es decir:
Todas las funciones con esta propiedad son combinaciones lineales de sinh y cosh , en particular las funciones exponenciales y .
Integrales estándar
Las siguientes integrales se pueden demostrar mediante sustitución hiperbólica :
donde C es la constante de integración .
Expresiones de la serie de Taylor
Es posible expresar explícitamente la serie de Taylor en cero (o la serie de Laurent , si la función no está definida en cero) de las funciones anteriores.
Esta serie es convergente para cada valor complejo de x . Dado que la función sinh x es impar , solo los exponentes impares para x ocurren en su serie de Taylor.
Esta serie es convergente para cada valor complejo de x . Dado que la función cosh x es par , solo los exponentes pares para x ocurren en su serie de Taylor.
La suma de las series sinh y cosh es la expresión en serie infinita de la función exponencial .
Las siguientes series van seguidas de una descripción de un subconjunto de su dominio de convergencia , donde la serie es convergente y su suma es igual a la función.
dónde:
es el n- ésimo número de Bernoulli
es el n- ésimo número de Euler
Comparación con funciones circulares
El círculo y la hipérbola tangente en (1,1) muestran la geometría de funciones circulares en términos del área del sector circular u y funciones hiperbólicas dependiendo del área del sector hiperbólico u .
Las funciones hiperbólicas representan una expansión de la trigonometría más allá de las funciones circulares . Ambos tipos dependen de un argumento , ya sea un ángulo circular o un ángulo hiperbólico .
Dado que el área de un sector circular con radio r y ángulo u (en radianes) es r 2 u / 2, será igual a u cuando r = √ 2 . En el diagrama, dicho círculo es tangente a la hipérbola xy = 1 en (1,1). El sector amarillo representa un área y una magnitud de ángulo. De manera similar, los sectores amarillo y rojo juntos representan un área y una magnitud de ángulo hiperbólico .
Los catetos de los dos triángulos rectángulos con hipotenusa en el rayo que define los ángulos tienen una longitud √ 2 veces las funciones circular e hiperbólica.
El ángulo hiperbólico es una medida invariante con respecto al mapeo de compresión , al igual que el ángulo circular es invariante bajo rotación. [21]
La función de Gudermann da una relación directa entre las funciones circulares y las hiperbólicas que no involucra números complejos.
La gráfica de la función a cosh ( x / a ) es la catenaria , la curva formada por una cadena flexible uniforme, que cuelga libremente entre dos puntos fijos bajo gravedad uniforme.
Relación con la función exponencial
La descomposición de la función exponencial en sus partes pares e impares da las identidades
y
El primero es análogo a la fórmula de Euler.
Adicionalmente,
Funciones hiperbólicas para números complejos
Dado que la función exponencial se puede definir para cualquier argumento complejo , también podemos extender las definiciones de las funciones hiperbólicas a argumentos complejos. Las funciones sinh z y cosh z son entonces holomórficas .
Las relaciones con las funciones trigonométricas ordinarias vienen dadas por la fórmula de Euler para números complejos:
entonces:
Así, las funciones hiperbólicas son periódicas con respecto al componente imaginario, con período ( para tangente hiperbólica y cotangente).
Funciones hiperbólicas en el plano complejo
Ver también
e (constante matemática)
Teorema de círculos iguales , basado en sinh
Crecimiento hiperbólico
Funciones hiperbólicas inversas
Lista de integrales de funciones hiperbólicas
Espirales de Poinsot
Función sigmoidea
Tangente hiperbólica modificada de Soboleva
Funciones trigonométricas
Referencias
^ a b "Lista completa de símbolos de álgebra" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-25 . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
^ a b c dWeisstein, Eric W. "Funciones hiperbólicas" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
^ a b"Funciones hiperbólicas" . www.mathsisfun.com . Consultado el 29 de agosto de 2020 .
^ Diccionario conciso de Collins , p. 1520
^ Diccionario conciso de Collins , p. 1340
^ Diccionario conciso de Collins , p. 329
^ tanh
^Woodhouse, NMJ (2003), Relatividad especial , Londres: Springer, p. 71, ISBN 978-1-85233-426-0
^Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene A. , eds. (1972), Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas , Nueva York: Publicaciones de Dover , ISBN 978-0-486-61272-0
^ Algunos ejemplos de uso de arcsinh que se encuentran en Google Books .
^Niven, Ivan (1985). Números irracionales . 11 . Asociación Matemática de América. ISBN 9780883850381. JSTOR 10.4169 / j.ctt5hh8zn .
^ Robert E. Bradley, Lawrence A. D'Antonio, Charles Edward Sandifer. Euler a los 300: una apreciación. Asociación Matemática de América, 2007. Página 100.
^ Georg F. Becker. Funciones hiperbólicas. Read Books, 1931. Página xlviii.
^NP, Bali (2005). Cálculo Integral Dorado . Medios de cortafuegos. pag. 472. ISBN 81-7008-169-6.
^Osborn, G. (julio de 1902). "Mnemónico para fórmulas hiperbólicas" . La Gaceta Matemática . 2 (34): 189. doi : 10.2307 / 3602492 . JSTOR 3602492 .
^Martin, George E. (1986). Los fundamentos de la geometría y el plano no euclidiano (1ª ed. Corr.). Nueva York: Springer-Verlag. pag. 416. ISBN 3-540-90694-0.
^"Demuestra la identidad" . StackExchange (matemáticas) . Consultado el 24 de enero de 2016 .
^Audibert, Jean-Yves (2009). "Velocidades de aprendizaje rápido en inferencia estadística mediante agregación". The Annals of Statistics. pag. 1627. [1]
^ Mellen W. Haskell , "Sobre la introducción de la noción de funciones hiperbólicas", Boletín de la American Mathematical Society 1 : 6: 155–9, texto completo
enlaces externos
"Funciones hiperbólicas" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Funciones hiperbólicas en PlanetMath
GonioLab : Visualización del círculo unitario, funciones trigonométricas e hiperbólicas ( Java Web Start )
Calculadora basada en web de funciones hiperbólicas