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Líneas a través de un punto P dado y asintóticas a la línea R
Un triángulo sumergido en un plano en forma de silla de montar (un paraboloide hiperbólico ), junto con dos líneas ultraparalelas divergentes.

En matemáticas , la geometría hiperbólica (también llamada geometría lobachevskiana o bolyai - geometría lobachevskiana ) es una geometría no euclidiana . El postulado paralelo de la geometría euclidiana se reemplaza por:

Para cualquier dado línea R y el punto P no en R , en el plano que contiene tanto la línea R y el punto P que hay al menos dos líneas distintas a través de P que no se intersecan R .
(compárese esto con el axioma de Playfair , la versión moderna de Euclides 's postulado paralelo )

La geometría del plano hiperbólico es también la geometría de las superficies de asiento y superficies pseudoesféricas , superficies con una curvatura gaussiana negativa constante .

Un uso moderno de la geometría hiperbólica es la teoría de la relatividad especial , particularmente el modelo de Minkowski y el espacio de girovector .

Cuando los geómetras se dieron cuenta por primera vez de que estaban trabajando con algo diferente a la geometría euclidiana estándar, describieron su geometría con muchos nombres diferentes; Felix Klein finalmente le dio al sujeto el nombre de geometría hiperbólica para incluirlo en la secuencia ahora rara vez utilizada geometría elíptica ( geometría esférica ), geometría parabólica ( geometría euclidiana ) y geometría hiperbólica. En la ex Unión Soviética , comúnmente se le llama geometría lobachevskiana, el nombre de uno de sus descubridores, el geómetra ruso Nikolai Lobachevsky .

Esta página trata principalmente sobre la geometría hiperbólica bidimensional (plana) y las diferencias y similitudes entre la geometría euclidiana e hiperbólica.

La geometría hiperbólica se puede ampliar a tres o más dimensiones; consulte el espacio hiperbólico para obtener más información sobre los casos tridimensionales y superiores.

Propiedades [ editar ]

Relación con la geometría euclidiana [ editar ]

Comparación de geometrías elípticas, euclidianas e hiperbólicas en dos dimensiones

La geometría hiperbólica está más estrechamente relacionada con la geometría euclidiana de lo que parece: la única diferencia axiomática es el postulado paralelo . Cuando el postulado paralelo se elimina de la geometría euclidiana, la geometría resultante es la geometría absoluta . Hay dos tipos de geometría absoluta, euclidiana e hiperbólica. Todos los teoremas de geometría absoluta, incluidas las primeras 28 proposiciones del libro uno de los elementos de Euclides , son válidos en geometría euclidiana e hiperbólica. Las proposiciones 27 y 28 del Libro Uno de los Elementos de Euclides prueban la existencia de líneas paralelas / que no se cruzan.

Esta diferencia también tiene muchas consecuencias: los conceptos que son equivalentes en geometría euclidiana no son equivalentes en geometría hiperbólica; es necesario introducir nuevos conceptos. Además, debido al ángulo de paralelismo , la geometría hiperbólica tiene una escala absoluta , una relación entre las medidas de distancia y ángulo.

Líneas [ editar ]

Las líneas simples en geometría hiperbólica tienen exactamente las mismas propiedades que las líneas rectas simples en geometría euclidiana. Por ejemplo, dos puntos definen de forma única una línea y los segmentos de línea se pueden extender infinitamente.

Dos líneas que se cruzan tienen las mismas propiedades que dos líneas que se cruzan en la geometría euclidiana. Por ejemplo, dos líneas distintas pueden cruzarse en no más de un punto, las líneas que se cruzan forman ángulos opuestos iguales y los ángulos adyacentes de las líneas que se cruzan son suplementarios .

Cuando se introduce una tercera línea, puede haber propiedades de las líneas que se cruzan que difieren de las que se cruzan en la geometría euclidiana. Por ejemplo, dadas dos líneas que se cruzan, hay infinitas líneas que no se cruzan con ninguna de las líneas dadas.

Todas estas propiedades son independientes del modelo utilizado, incluso si las líneas pueden verse radicalmente diferentes.

Líneas paralelas / sin intersección [ editar ]

Líneas a través de un punto dado P y asintótica a la línea R .

Las líneas que no se cruzan en la geometría hiperbólica también tienen propiedades que difieren de las líneas que no se cruzan en la geometría euclidiana :

Para cualquier línea R y cualquier punto P que no se encuentran en R , en el plano que contiene la línea R y el punto P que hay al menos dos líneas distintas a través de P que no se intersecan R .

Esto implica que no son a través de P un número infinito de líneas coplanares que no lo hacen de intersección R .

Estas líneas que no se cruzan se dividen en dos clases:

  • Dos de las líneas ( x y Y en el diagrama) están limitando paralelos (a veces llamados críticamente paralelos, horoparallel o simplemente paralelo): hay una en la dirección de cada uno de los puntos ideales en los "extremos" de R , asintóticamente se acerca R , acercándose siempre a R , pero nunca encontrándolo.
  • Todas las demás líneas que no se cruzan tienen un punto de distancia mínima y divergen de ambos lados de ese punto, y se denominan ultraparalelas , paralelas divergentes o, a veces, que no se cruzan.

Algunos geómetras simplemente usan la frase " líneas paralelas " para significar " líneas paralelas limitantes ", mientras que las líneas ultraparalelas significan simplemente que no se cruzan .

Estos paralelos limitantes forman un ángulo θ con PB ; este ángulo depende solo de la curvatura gaussiana del plano y la distancia PB y se llama ángulo de paralelismo .

Para las líneas ultraparalelas, el teorema de las ultraparalelas establece que hay una línea única en el plano hiperbólico que es perpendicular a cada par de líneas ultraparalelas.

Círculos y discos [ editar ]

En geometría hiperbólica, la circunferencia de un círculo de radio r es mayor que .

Sea , donde es la curvatura gaussiana del plano. En geometría hiperbólica, es negativo, por lo que la raíz cuadrada es un número positivo.

Entonces la circunferencia de un círculo de radio r es igual a:

Y el área del disco adjunto es:

Por lo tanto, en geometría hiperbólica, la relación entre la circunferencia de un círculo y su radio es siempre estrictamente mayor que , aunque se puede acercar arbitrariamente seleccionando un círculo lo suficientemente pequeño.

Si la curvatura gaussiana del plano es -1, entonces la curvatura geodésica de un círculo de radio r es: [1]

Hiperciclos y horociclos [ editar ]

Hiperciclo y pseudogon en el modelo de disco de Poincaré

En la geometría hiperbólica, no hay una línea cuyos puntos sean equidistantes de otra línea. En cambio, los puntos que tienen la misma distancia ortogonal de una línea dada se encuentran en una curva llamada hiperciclo .

Otra curva especial es el horociclo , una curva cuyos radios normales ( líneas perpendiculares ) se limitan todos paralelos entre sí (todos convergen asintóticamente en una dirección al mismo punto ideal , el centro del horociclo).

A través de cada par de puntos hay dos horociclos. Los centros de los horociclos son los puntos ideales de la bisectriz perpendicular del segmento de línea entre ellos.

Dados tres puntos distintos, todos se encuentran en una línea, hiperciclo , horociclo o círculo.

La longitud del segmento de línea es la longitud más corta entre dos puntos. La longitud del arco de un hiperciclo que conecta dos puntos es más larga que la del segmento de línea y más corta que la de un horociclo, que conecta los mismos dos puntos. La longitud de arco de ambos horociclos que conectan dos puntos es igual. La longitud del arco de un círculo entre dos puntos es mayor que la longitud del arco de un horociclo que conecta dos puntos.

Si la curvatura gaussiana del plano es -1, entonces la curvatura geodésica de un horociclo es 1 y la de un hiperciclo está entre 0 y 1. [1]

Triángulos [ editar ]

A diferencia de los triángulos euclidianos, donde los ángulos siempre suman π radianes (180 °, un ángulo recto ), en la geometría hiperbólica la suma de los ángulos de un triángulo hiperbólico es siempre estrictamente menor que π radianes (180 °, un ángulo recto ). La diferencia se conoce como defecto .

El área de un triángulo hiperbólico está dada por su defecto en radianes multiplicado por R 2 . Como consecuencia, todos los triángulos hiperbólicos tienen un área que es menor o igual que R 2 π. El área de un triángulo ideal hiperbólico en el que los tres ángulos son 0 ° es igual a este máximo.

Como en la geometría euclidiana , cada triángulo hiperbólico tiene un círculo . En geometría hiperbólica, si sus tres vértices se encuentran en un horociclo o hiperciclo , entonces el triángulo no tiene un círculo circunscrito .

Como en la geometría esférica y elíptica , en la geometría hiperbólica si dos triángulos son similares, deben ser congruentes.

Apeirogon regular [ editar ]

un apeirogon y un horociclo circunscrito en el modelo de disco de Poincaré

Un polígono especial en geometría hiperbólica es el apeirogon regular , un polígono uniforme con un número infinito de lados.

En la geometría euclidiana , la única forma de construir tal polígono es hacer que las longitudes de los lados tiendan a cero y el apeirogon sea indistinguible de un círculo, o hacer que los ángulos interiores tiendan a 180 grados y el apeirogon se acerque a una línea recta.

Sin embargo, en geometría hiperbólica, un apeirogon regular tiene lados de cualquier longitud (es decir, sigue siendo un polígono).

Las bisectrices laterales y de ángulo , según la longitud del lado y el ángulo entre los lados, serán paralelas limitantes o divergentes (ver líneas arriba ). Si las bisectrices son paralelas limitantes, el apeirogon puede estar inscrito y circunscrito por horociclos concéntricos .

Si las bisectrices divergen en paralelo, entonces se puede inscribir un pseudogon (claramente diferente de un apeirogon) en hiperciclos (todos los vértices están a la misma distancia de una línea, el eje y el punto medio de los segmentos laterales son todos equidistantes al mismo eje. )

Teselaciones [ editar ]

Revestimiento rombitriheptagonal del plano hiperbólico, visto en el modelo del disco de Poincaré

Al igual que el plano euclidiano, también es posible teselar el plano hiperbólico con polígonos regulares como caras .

Hay un número infinito de teselaciones uniformes basadas en los triángulos de Schwarz ( p q r ) donde 1 / p + 1 / q + 1 / r <1, donde p ,  q ,  r son cada uno de los órdenes de simetría de reflexión en tres puntos del triángulo de dominio fundamental , el grupo de simetría es un grupo de triángulo hiperbólico . También hay infinitos mosaicos uniformes que no se pueden generar a partir de triángulos de Schwarz, algunos, por ejemplo, requieren cuadriláteros como dominios fundamentales. [2]

Curvatura gaussiana estandarizada [ editar ]

Aunque la geometría hiperbólica se aplica a cualquier superficie con una curvatura gaussiana negativa constante , es habitual asumir una escala en la que la curvatura K es -1.

Esto da como resultado que algunas fórmulas se vuelvan más simples. Algunos ejemplos son:

  • El área de un triángulo es igual a su defecto angular en radianes .
  • El área de un sector horocíclico es igual a la longitud de su arco horocíclico.
  • Un arco de un horociclo de modo que una línea que es tangente en un extremo limita paralelamente al radio que pasa por el otro extremo tiene una longitud de 1. [3]
  • La relación de las longitudes de arco entre dos radios de dos horociclos concéntricos donde los horociclos están separados por una distancia de 1 es e  : 1. [3]

Sistemas de coordenadas de tipo cartesiano [ editar ]

En geometría hiperbólica, la suma de los ángulos de un cuadrilátero es siempre menor de 360 ​​grados, y los rectángulos hiperbólicos difieren mucho de los rectángulos euclidianos ya que no hay líneas equidistantes, por lo que un rectángulo euclidiano adecuado debería estar encerrado por dos líneas y dos hiperciclos. . Todos estos complican los sistemas de coordenadas.

Sin embargo, existen diferentes sistemas de coordenadas para la geometría del plano hiperbólico. Todos se basan en elegir un punto (el origen) en una línea dirigida elegida (el eje x ) y después de eso existen muchas opciones.

Las coordenadas Lobachevski x y y se encuentran al dejar caer una perpendicular a la x eje y. x será la etiqueta del pie de la perpendicular. y será la distancia a lo largo de la perpendicular del punto dado desde su pie (positivo en un lado y negativo en el otro).

Otro sistema de coordenadas mide la distancia desde el punto al horociclo a través del origen centrado alrededor y la longitud a lo largo de este horociclo. [4]

Otros sistemas de coordenadas usan el modelo de Klein o el modelo de disco de Poincaré que se describe a continuación, y toman las coordenadas euclidianas como hiperbólicas.

Distancia [ editar ]

Construya un sistema de coordenadas de tipo cartesiano de la siguiente manera. Elija una línea (el eje x ) en el plano hiperbólico (con una curvatura estandarizada de -1) y etiquete los puntos en ella por su distancia desde un punto de origen ( x = 0) en el eje x (positivo en un lado y negativo por el otro). Para cualquier punto en el plano, se puede definir las coordenadas x y y dejando caer una perpendicular a la x eje y. x será la etiqueta del pie de la perpendicular. y será la distancia a lo largo de la perpendicular del punto dado desde su pie (positivo en un lado y negativo en el otro). Entonces la distancia entre dos de esos puntos será [cita requerida ]

Esta fórmula se puede derivar de las fórmulas sobre triángulos hiperbólicos .

El tensor métrico correspondiente es: .

En este sistema de coordenadas, las líneas rectas son perpendiculares al eje x (con la ecuación x = una constante) o se describen mediante ecuaciones de la forma

donde A y B son parámetros reales que caracterizan la línea recta.

Historia [ editar ]

Desde la publicación de los Elementos de Euclides alrededor del año 300 a. C., muchos geómetras intentaron probar el postulado paralelo . Algunos intentaron probarlo asumiendo su negación y tratando de derivar una contradicción . Los más importantes fueron Proclo , Ibn al-Haytham (Alhacen), Omar Khayyám , [5] Nasīr al-Dīn al-Tūsī , Witelo , Gersonides , Alfonso , y más tarde Giovanni Gerolamo Saccheri , John Wallis , Johann Heinrich Lambert y Legendre . [6]Sus intentos estaban condenados al fracaso (como sabemos ahora, el postulado paralelo no se puede demostrar a partir de los otros postulados), pero sus esfuerzos condujeron al descubrimiento de la geometría hiperbólica.

Los teoremas de Alhacen, Khayyam y al-Tūsī sobre cuadriláteros , incluido el cuadrilátero Ibn al-Haytham-Lambert y el cuadrilátero Khayyam-Saccheri , fueron los primeros teoremas sobre geometría hiperbólica. Sus trabajos sobre geometría hiperbólica tuvieron una influencia considerable en su desarrollo entre los geómetras europeos posteriores, incluidos Witelo, Gersonides, Alfonso, John Wallis y Saccheri. [7]

En el siglo XVIII, Johann Heinrich Lambert introdujo las funciones hiperbólicas [8] y calculó el área de un triángulo hiperbólico . [9]

Desarrollos del siglo XIX [ editar ]

En el siglo XIX, la geometría hiperbólica fue explorada extensamente por Nikolai Ivanovich Lobachevsky , János Bolyai , Carl Friedrich Gauss y Franz Taurinus . A diferencia de sus predecesores, que solo querían eliminar el postulado paralelo de los axiomas de la geometría euclidiana, estos autores se dieron cuenta de que habían descubierto una nueva geometría. [10] [11] Gauss escribió en una carta de 1824 a Franz Taurinus que lo había construido, pero Gauss no publicó su trabajo. Gauss lo llamó " geometría no euclidiana " [12].provocando que varios autores modernos continúen considerando como sinónimos "geometría no euclidiana" y "geometría hiperbólica". Taurinus publicó resultados sobre trigonometría hiperbólica en 1826, argumentó que la geometría hiperbólica es autoconsistente, pero aún cree en el papel especial de la geometría euclidiana. El sistema completo de geometría hiperbólica fue publicado por Lobachevsky en 1829/1830, mientras que Bolyai lo descubrió de forma independiente y lo publicó en 1832.

En 1868, Eugenio Beltrami proporcionó modelos (ver más abajo) de geometría hiperbólica, y usó esto para demostrar que la geometría hiperbólica era consistente si y solo si la geometría euclidiana lo era.

El término "geometría hiperbólica" fue introducido por Felix Klein en 1871. [13] Klein siguió una iniciativa de Arthur Cayley de utilizar las transformaciones de la geometría proyectiva para producir isometrías . La idea utilizó una sección cónica o cuádrica para definir una región, y utilizó una relación cruzada para definir una métrica . Las transformaciones proyectivas que dejan estable la sección cónica o cuádrica son las isometrías. "Klein demostró que si el absoluto de Cayley es una curva real, entonces la parte del plano proyectivo en su interior es isométrica al plano hiperbólico ..."[14]

Para más historia, consulte el artículo sobre geometría no euclidiana y las referencias de Coxeter [15] y Milnor . [dieciséis]

Consecuencias filosóficas [ editar ]

El descubrimiento de la geometría hiperbólica tuvo importantes consecuencias filosóficas . Antes de su descubrimiento, muchos filósofos (por ejemplo, Hobbes y Spinoza ) veían el rigor filosófico en términos del "método geométrico", refiriéndose al método de razonamiento utilizado en los Elementos de Euclides .

Kant en la Crítica de la razón pura llegó a la conclusión de que el espacio (en la geometría euclidiana ) y el tiempo no son descubiertos por los humanos como características objetivas del mundo, sino que forman parte de un marco sistemático ineludible para organizar nuestras experiencias. [17]

Se dice que Gauss no publicó nada sobre geometría hiperbólica por temor al "alboroto de los beocios ", que arruinaría su condición de princeps mathematicorum (latín, "el príncipe de los matemáticos"). [18] El "alboroto de los beocios" vino y se fue, y dio un ímpetu a grandes mejoras en el rigor matemático , la filosofía analítica y la lógica . La geometría hiperbólica finalmente demostró ser consistente y, por lo tanto, es otra geometría válida.

Geometría del universo (solo dimensiones espaciales) [ editar ]

Debido a que la geometría euclidiana, hiperbólica y elíptica son todas coherentes, surge la pregunta: ¿cuál es la geometría real del espacio, y si es hiperbólica o elíptica, cuál es su curvatura?

Lobachevsky ya había intentado medir la curvatura del universo midiendo el paralaje de Sirio y tratando a Sirio como el punto ideal de un ángulo de paralelismo . Se dio cuenta de que sus medidas no eran lo suficientemente precisas para dar una respuesta definitiva, pero llegó a la conclusión de que si la geometría del universo es hiperbólica, entonces la longitud absoluta es al menos un millón de veces el diámetro de la órbita terrestre (2 000 000  AU , 10 parsec ). [19] Algunos argumentan que sus medidas fueron metodológicamente defectuosas. [20]

Henri Poincaré , con su experimento mental del mundo de la esfera , llegó a la conclusión de que la experiencia cotidiana no descarta necesariamente otras geometrías.

La conjetura de la geometrización da una lista completa de ocho posibilidades para la geometría fundamental de nuestro espacio. El problema para determinar cuál se aplica es que, para llegar a una respuesta definitiva, necesitamos poder observar formas extremadamente grandes, mucho más grandes que cualquier cosa en la Tierra o quizás incluso en nuestra galaxia. [21]

Geometría del universo (relatividad especial) [ editar ]

La relatividad especial coloca el espacio y el tiempo en pie de igualdad, de modo que uno considera la geometría de un espacio-tiempo unificado en lugar de considerar el espacio y el tiempo por separado. [22] [23] La geometría de Minkowski reemplaza la geometría galileana (que es el espacio euclidiano tridimensional con el tiempo de la relatividad galileana ). [24]

En relatividad, en lugar de considerar geometrías euclidianas, elípticas e hiperbólicas, las geometrías apropiadas a considerar son el espacio de Minkowski , el espacio de Sitter y el espacio anti-de Sitter , [25] [26] correspondientes a curvatura cero, positiva y negativa respectivamente.

La geometría hiperbólica entra en la relatividad especial a través de la rapidez , que representa la velocidad , y se expresa mediante un ángulo hiperbólico . El estudio de esta geometría de velocidad se ha denominado geometría cinemática . El espacio de velocidades relativistas tiene una geometría hiperbólica tridimensional, donde la función de distancia se determina a partir de las velocidades relativas de puntos "cercanos" (velocidades). [27]

Realizaciones físicas del plano hiperbólico [ editar ]

El plano hiperbólico es un plano en el que cada punto es un punto de silla . Existen varias pseudoesferas en el espacio euclidiano que tienen un área finita de curvatura gaussiana negativa constante.

Según el teorema de Hilbert , no es posible sumergir isométricamente un plano hiperbólico completo (una superficie regular completa de curvatura gaussiana negativa constante ) en un espacio euclidiano tridimensional.

En el espacio euclidiano existen otros modelos útiles de geometría hiperbólica, en los que no se conserva la métrica. Un modelo de papel particularmente conocido basado en la pseudoesfera se debe a William Thurston .

Una colección de planos hiperbólicos tejidos a ganchillo, a imitación de un arrecife de coral, del Institute For Figuring
Un coral con geometría similar en la Gran Barrera de Coral

Se ha utilizado el arte del crochet (ver Matemáticas y artes de la fibra § Tejido y crochet ) para demostrar planos hiperbólicos, siendo el primero realizado por Daina Taimiņa . [28]

En 2000, Keith Henderson demostró un modelo de papel rápido de hacer denominado " balón de fútbol hiperbólico " (más precisamente, un mosaico triangular truncado de orden 7 ). [29] [30]

Jeff Weeks ha puesto a disposición instrucciones sobre cómo hacer una colcha hiperbólica, diseñada por Helaman Ferguson , [31] . [32]

Modelos del plano hiperbólico [ editar ]

Existen diferentes superficies pseudoesféricas que tienen para un área grande una curvatura gaussiana negativa constante, siendo la pseudoesfera la más conocida de ellas.

Pero es más fácil hacer geometría hiperbólica en otros modelos.

Maqueta de disco de Poincaré con alicatado truncado triheptagonal
Líneas a través de un punto dado y paralelas a una línea dada, ilustradas en el modelo de disco de Poincaré

Hay cuatro modelos que se utilizan comúnmente para la geometría hiperbólica: el modelo de Klein , el modelo de disco de Poincaré , el modelo de medio plano de Poincaré y el modelo de Lorentz o hiperboloide . Estos modelos definen un plano hiperbólico que satisface los axiomas de una geometría hiperbólica. A pesar de sus nombres, los tres primeros mencionados anteriormente fueron presentados como modelos de espacio hiperbólico por Beltrami , no por Poincaré o Klein . Todos estos modelos son ampliables a más dimensiones.

El modelo Beltrami-Klein [ editar ]

El modelo de Beltrami-Klein , también conocido como modelo de disco proyectivo, modelo de disco de Klein y modelo de Klein , lleva el nombre de Eugenio Beltrami y Felix Klein .

Para las dos dimensiones, este modelo usa el interior del círculo unitario para el plano hiperbólico completo , y las cuerdas de este círculo son las líneas hiperbólicas.

Para dimensiones más altas, este modelo usa el interior de la bola unitaria , y las cuerdas de esta bola n son las líneas hiperbólicas.

  • Este modelo tiene la ventaja de que las líneas son rectas, pero la desventaja de que los ángulos están distorsionados (el mapeo no es conforme ), y además los círculos no se representan como círculos.
  • La distancia en este modelo es la mitad del logaritmo de la relación cruzada , que fue introducido por Arthur Cayley en geometría proyectiva .

El modelo del disco de Poincaré [ editar ]

El modelo de disco de Poincaré , también conocido como modelo de disco conforme, también emplea el interior del círculo unitario , pero las líneas están representadas por arcos de círculos que son ortogonales al círculo límite, más los diámetros del círculo límite.

  • Este modelo conserva los ángulos y, por lo tanto, es conforme . Todas las isometrías dentro de este modelo son, por tanto, transformaciones de Möbius .
  • Los círculos completamente dentro del disco siguen siendo círculos, aunque el centro euclidiano del círculo está más cerca del centro del disco que el centro hiperbólico del círculo.
  • Las horociclos son círculos dentro del disco que son tangentes al círculo límite, menos el punto de contacto.
  • Los hiperciclos son cuerdas abiertas y arcos circulares dentro del disco que terminan en el círculo límite en ángulos no ortogonales.

El modelo de semiplano de Poincaré [ editar ]

El modelo de semiplano de Poincaré toma la mitad del plano euclidiano, delimitado por una línea B del plano, como modelo del plano hiperbólico. La línea B no está incluida en el modelo.

El plano euclidiano puede tomarse como un plano con el sistema de coordenadas cartesianas y el eje x se toma como la línea B y el semiplano es la mitad superior ( y > 0) de este plano.

  • Líneas hiperbólicas son entonces o bien medio-círculos ortogonal a B o rayos perpendicular a B .
  • La longitud de un intervalo en un rayo está dada por una medida logarítmica, por lo que es invariante bajo una transformación homotética.
  • Al igual que el modelo de disco de Poincaré, este modelo conserva los ángulos y, por lo tanto, es conforme . Todas las isometrías dentro de este modelo son, por tanto, transformaciones de Möbius del plano.
  • El modelo de semiplano es el límite del modelo de disco de Poincaré, cuyo límite es tangente a B en el mismo punto mientras que el radio del modelo de disco llega al infinito.

El modelo hiperboloide [ editar ]

El modelo hiperboloide o modelo de Lorentz emplea un hiperboloide bidimensional de revolución (de dos hojas, pero usando una) incrustado en el espacio tridimensional de Minkowski . Este modelo generalmente se le atribuye a Poincaré, pero Reynolds [33] dice que Wilhelm Killing usó este modelo en 1885.

  • Este modelo tiene una aplicación directa a la relatividad especial , ya que el 3-espacio de Minkowski es un modelo para el espacio-tiempo , suprimiendo una dimensión espacial. Uno puede tomar el hiperboloide para representar los eventos que varios observadores en movimiento, que irradian hacia afuera en un plano espacial desde un solo punto, alcanzarán en un tiempo apropiado fijo .
  • La distancia hiperbólica entre dos puntos del hiperboloide se puede identificar con la rapidez relativa entre los dos observadores correspondientes.
  • El modelo se generaliza directamente a una dimensión adicional, donde la geometría hiperbólica tridimensional se relaciona con el espacio 4 de Minkowski.

El modelo hemisférico [ editar ]

El modelo hemisférico no se utiliza a menudo como modelo por sí mismo, pero funciona como una herramienta útil para visualizar transformaciones entre los otros modelos.

El modelo de hemisferio usa la mitad superior de la esfera unitaria :

Las líneas hiperbólicas son semicírculos ortogonales al límite del hemisferio.

El modelo de hemisferio es parte de una esfera de Riemann , y diferentes proyecciones dan diferentes modelos del plano hiperbólico:

  • La proyección estereográfica desde el plano proyecta los puntos correspondientes en el modelo del disco de Poincaré
  • La proyección estereográfica desde la superficie proyecta los puntos correspondientes en el modelo hiperboloide
  • La proyección estereográfica desde el plano proyecta los puntos correspondientes en el modelo de semiplano de Poincaré
  • La proyección ortográfica sobre un plano proyecta los puntos correspondientes en el modelo de Beltrami-Klein .
  • La proyección central desde el centro de la esfera hacia el plano proyecta los puntos correspondientes en el modelo de Gans.

Ver más: Conexión entre los modelos (abajo)

El modelo de Gans [ editar ]

En 1966, David Gans propuso un modelo hiperboloide aplanado en la revista American Mathematical Monthly . [34] Es una proyección ortográfica del modelo hiperboloide en el plano xy. Este modelo no se usa tan ampliamente como otros modelos, pero sin embargo es bastante útil en la comprensión de la geometría hiperbólica.

  • A diferencia de los modelos de Klein o Poincaré, este modelo utiliza todo el plano euclidiano .
  • Las líneas de este modelo se representan como ramas de una hipérbola . [35]

El modelo de la banda [ editar ]

El modelo de bandas emplea una parte del plano euclidiano entre dos líneas paralelas. [36] La distancia se conserva a lo largo de una línea que pasa por el medio de la banda. Suponiendo que la banda está dada por , la métrica está dada por .

Conexión entre los modelos [ editar ]

Los modelos de disco de Poincaré, hemisférico e hiperboloide están relacionados por proyección estereográfica de -1. El modelo de Beltrami-Klein es una proyección ortográfica del modelo hemisférico. Modelo de semiplano de Poincaré aquí proyectado desde el modelo hemisférico por rayos del extremo izquierdo del modelo de disco de Poincaré.

Todos los modelos describen esencialmente la misma estructura. La diferencia entre ellos es que representan diferentes gráficos de coordenadas establecidos en el mismo espacio métrico , es decir, el plano hiperbólico. El rasgo característico del propio plano hiperbólico es que tiene una curvatura gaussiana negativa constante , que es indiferente al diagrama de coordenadas utilizado. Las geodésicas son igualmente invariantes: es decir, las geodésicas se asignan a las geodésicas bajo transformación de coordenadas. La geometría hiperbólica generalmente se introduce en términos de las geodésicas y sus intersecciones en el plano hiperbólico. [37]

Una vez que elegimos un gráfico de coordenadas (uno de los "modelos"), siempre podemos incrustarlo en un espacio euclidiano de la misma dimensión, pero la incrustación claramente no es isométrica (ya que la curvatura del espacio euclidiano es 0). El espacio hiperbólico se puede representar mediante infinitos gráficos diferentes; pero las incrustaciones en el espacio euclidiano debido a estos cuatro gráficos específicos muestran algunas características interesantes.

Dado que los cuatro modelos describen el mismo espacio métrico, cada uno se puede transformar en el otro.

Ver, por ejemplo:

  • la relación del modelo de Beltrami-Klein con el modelo hiperboloide ,
  • la relación del modelo de Beltrami-Klein con el modelo de disco de Poincaré ,
  • y la relación del modelo de disco de Poincaré con el modelo hiperboloide .

Isometrías del plano hiperbólico [ editar ]

Cada isometría ( transformación o movimiento ) del plano hiperbólico a sí mismo se puede realizar como la composición de como máximo tres reflejos . En el espacio hiperbólico n- dimensional, se pueden requerir hasta n +1 reflexiones. (Estos también son válidos para las geometrías euclidiana y esférica, pero la clasificación a continuación es diferente).

Todas las isometrías del plano hiperbólico se pueden clasificar en estas clases:

  • Conservación de la orientación
    • la isometría de identidad : nada se mueve; cero reflejos; cero grados de libertad .
    • inversión a través de un punto (media vuelta) : dos reflejos a través de líneas mutuamente perpendiculares que pasan por el punto dado, es decir, una rotación de 180 grados alrededor del punto; dos grados de libertad .
    • rotación alrededor de un punto normal: dos reflexiones a través de líneas que pasan por el punto dado (incluye la inversión como un caso especial); los puntos se mueven en círculos alrededor del centro; tres grados de libertad.
    • "rotación" alrededor de un punto ideal (horolación): dos reflejos a través de líneas que conducen al punto ideal; los puntos se mueven a lo largo de horociclos centrados en el punto ideal; dos grados de libertad.
    • traslación a lo largo de una línea recta: dos reflejos a través de líneas perpendiculares a la línea dada; los puntos de la línea dada se mueven a lo largo de hiperciclos; tres grados de libertad.
  • Inversión de orientación
    • reflejo a través de una línea, un reflejo; dos grados de libertad.
    • reflexión combinada a través de una línea y traslación a lo largo de la misma línea: el desplazamiento de reflexión y traducción; se requieren tres reflexiones; tres grados de libertad. [ cita requerida ]

Geometría hiperbólica en el arte [ editar ]

Los famosos grabados de MC Escher Circle Limit III y Circle Limit IV ilustran bastante bien el modelo de disco conforme ( modelo de disco de Poincaré ). Las líneas blancas en III no son del todo geodésicas (son hiperciclos ), pero están cerca de ellas. También es posible ver claramente la curvatura negativa del plano hiperbólico, a través de su efecto sobre la suma de ángulos en triángulos y cuadrados.

Por ejemplo, en Circle Limit III cada vértice pertenece a tres triángulos y tres cuadrados. En el plano euclidiano, sus ángulos sumarían 450 °; es decir, un círculo y un cuarto. A partir de esto, vemos que la suma de los ángulos de un triángulo en el plano hiperbólico debe ser menor que 180 °. Otra propiedad visible es el crecimiento exponencial . En Circle Limit III , por ejemplo, se puede ver que el número de peces dentro de una distancia de n desde el centro aumenta exponencialmente. Los peces tienen un área hiperbólica igual, por lo que el área de una bola de radio n debe aumentar exponencialmente en n .

El arte del crochet se ha utilizado para demostrar planos hiperbólicos (en la foto de arriba), siendo el primero realizado por Daina Taimiņa , [28] cuyo libro Crocheting Adventures with Hyperbolic Planes ganó el Premio Librero / Diagrama 2009 al Título más extraño del año . [38]

HyperRogue es un juego roguelike ambientado en varios aspectos del plano hiperbólico .

Dimensiones superiores [ editar ]

La geometría hiperbólica no se limita a 2 dimensiones; existe una geometría hiperbólica para cada mayor número de dimensiones.

Estructura homogénea [ editar ]

El espacio hiperbólico de dimensión n es un caso especial de un espacio simétrico de Riemann de tipo no compacto, ya que es isomorfo al cociente

El grupo ortogonal O (1, n ) actúa mediante transformaciones que preservan la norma en el espacio de Minkowski R 1, n , y actúa de manera transitiva sobre el hiperboloide de dos hojas de los vectores de norma 1. Las líneas temporales (es decir, aquellas con tangentes de norma positiva) a través del origen pasan por puntos antípodas en el hiperboloide, por lo que el espacio de tales líneas produce un modelo de n- espacio hiperbólico . El estabilizador de cualquier línea en particular es isomorfo al producto de los grupos ortogonales O ( n ) y O (1), donde O ( n) actúa sobre el espacio tangente de un punto en el hiperboloide, y O (1) refleja la línea que pasa por el origen. Muchos de los conceptos elementales en geometría hiperbólica se pueden describir en términos algebraicos lineales : las trayectorias geodésicas se describen mediante intersecciones con planos a través del origen, los ángulos diedros entre hiperplanos se pueden describir mediante productos internos de vectores normales y los grupos de reflexión hiperbólica se pueden dar explícitamente realizaciones matriciales.

En pequeñas dimensiones, hay isomorfismos excepcionales de grupos de Lie que producen formas adicionales de considerar las simetrías de los espacios hiperbólicos. Por ejemplo, en la dimensión 2, los isomorfismos SO + (1, 2) ≅ PSL (2, R ) ≅ PSU (1, 1) permiten interpretar el modelo del semiplano superior como el cociente SL (2, R ) / SO (2) y el modelo de disco de Poincaré como cociente SU (1, 1) / U (1) . En ambos casos, los grupos de simetría actúan mediante transformaciones lineales fraccionarias, ya que ambos grupos son los estabilizadores que conservan la orientación en PGL (2, C )de los respectivos subespacios de la esfera de Riemann. La transformación de Cayley no solo lleva un modelo del plano hiperbólico al otro, sino que se da cuenta del isomorfismo de los grupos de simetría como conjugación en un grupo más grande. En la dimensión 3, la acción lineal fraccional de PGL (2, C ) sobre la esfera de Riemann se identifica con la acción sobre el límite conforme del espacio hiperbólico 3 inducida por el isomorfismo O + (1, 3) ≅ PGL (2, C ). Esto permite estudiar las isometrías del espacio tridimensional hiperbólico considerando las propiedades espectrales de matrices complejas representativas. Por ejemplo, las transformaciones parabólicas se conjugan con traslaciones rígidas en el modelo de semiespacio superior, y son exactamente aquellas transformaciones que se pueden representar mediante matrices triangulares superiores unipotentes .

Ver también [ editar ]

  • Construcciones en geometría hiperbólica
  • Colector hiperbólico de 3
  • Colector hiperbólico
  • Conjunto hiperbólico
  • Transformación de Hjelmslev
  • Árbol hiperbólico
  • Grupo kleiniano
  • Cuadrilátero de lambert
  • Universo abierto
  • Métrica de Poincaré
  • Cuadrilátero de Saccheri
  • Geometría sistólica
  • Azulejos uniformes en plano hiperbólico
  • espacio δ-hiperbólico
  • Modelo de banda

Notas [ editar ]

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    "Tres científicos, Ibn al-Haytham, Khayyam y al-Tūsī, habían hecho la contribución más considerable a esta rama de la geometría cuya importancia llegó a ser completamente reconocida solo en el siglo XIX. En esencia, sus proposiciones sobre las propiedades de los cuadrángulos que ellos considerando que algunos de los ángulos de estas figuras eran agudos o obtusos, encarnaban los primeros teoremas de las geometrías hiperbólica y elíptica. Sus otras propuestas mostraban que varios enunciados geométricos eran equivalentes al postulado euclidiano V.Es extremadamente importante que estos los eruditos establecieron la conexión mutua entre este postulado y la suma de los ángulos de un triángulo y un cuadrilátero.Con sus trabajos sobre la teoría de las líneas paralelas, los matemáticos árabes influyeron directamente en las investigaciones relevantes de sus homólogos europeos. El primer intento europeo de probar el postulado en líneas paralelas, realizado por Witelo, los científicos polacos del siglo XIII, mientras revisaba la teoría de Ibn al-Haytham.Libro de Óptica ( Kitab al-Manazir ) - fue indudablemente inspirado por fuentes árabes. Las pruebas presentadas en el siglo XIV por el erudito judío Levi ben Gerson , que vivía en el sur de Francia, y por el mencionado Alfonso de España, lindan directamente con la manifestación de Ibn al-Haytham. Arriba, hemos demostrado que la Exposición de Euclides de Pseudo-Tusi había estimulado los estudios de J. Wallis y G. Saccheri sobre la teoría de las líneas paralelas ".

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Referencias [ editar ]

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Enlaces externos [ editar ]

  • Javascript freeware para crear bocetos en el modelo de disco de Poincaré de geometría hiperbólica Universidad de Nuevo México
  • "La canción de la geometría hiperbólica" Un breve video musical sobre los conceptos básicos de la geometría hiperbólica disponible en YouTube.
  • "Geometría de Lobachevskii" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
  • Weisstein, Eric W. "Espacio Gauss-Bolyai-Lobachevsky" . MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. "Geometría hiperbólica" . MathWorld .
  • Más sobre geometría hiperbólica, incluidas películas y ecuaciones para la conversión entre los diferentes modelos Universidad de Illinois en Urbana-Champaign
  • Diagramas hiperbólicos de Voronoi simplificados, Frank Nielsen
  • Stothers, Wilson (2000). "Geometría hiperbólica" . Universidad de Glasgow . Cite journal requires |journal= (help), sitio web educativo interactivo.
  • Teselaciones planas hiperbólicas
  • Modelos del plano hiperbólico