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El camino azul en esta imagen es un ejemplo de trayectoria hiperbólica.
Se representa una trayectoria hiperbólica en el cuadrante inferior derecho de este diagrama, donde el pozo de potencial gravitacional de la masa central muestra energía potencial y la energía cinética de la trayectoria hiperbólica se muestra en rojo. La altura de la energía cinética disminuye a medida que disminuye la velocidad y aumenta la distancia de acuerdo con las leyes de Kepler. La parte de la energía cinética que permanece por encima de la energía total cero es la asociada con el exceso de velocidad hiperbólica.

En astrodinámica o mecánica celeste , una trayectoria hiperbólica es la trayectoria de cualquier objeto alrededor de un cuerpo central con una velocidad más que suficiente para escapar de la atracción gravitacional del objeto central. El nombre deriva del hecho de que, según la teoría newtoniana, dicha órbita tiene la forma de una hipérbola . En términos más técnicos, esto se puede expresar con la condición de que la excentricidad orbital sea ​​mayor que uno.

Bajo suposiciones simplistas, un cuerpo que viaja a lo largo de esta trayectoria se deslizará hacia el infinito, instalándose en un exceso de velocidad final en relación con el cuerpo central. De manera similar a las trayectorias parabólicas , todas las trayectorias hiperbólicas son también trayectorias de escape . La energía específica de una órbita de trayectoria hiperbólica es positiva.

Los sobrevuelos planetarios, utilizados para tirachinas gravitacionales , se pueden describir dentro de la esfera de influencia del planeta mediante trayectorias hiperbólicas.

Parámetros que describen una trayectoria hiperbólica [ editar ]

Como una órbita elíptica, una trayectoria hiperbólica para un sistema dado se puede definir (ignorando la orientación) por su semi eje mayor y la excentricidad. Sin embargo, con una órbita hiperbólica, otros parámetros pueden ser más útiles para comprender el movimiento de un cuerpo. La siguiente tabla enumera los principales parámetros que describen la trayectoria del cuerpo siguiendo una trayectoria hiperbólica alrededor de otro bajo supuestos estándar y la fórmula que los conecta.

Semieje mayor, energía y exceso de velocidad hiperbólico [ editar ]

El semieje mayor ( ) no es inmediatamente visible con una trayectoria hiperbólica, pero se puede construir ya que es la distancia desde la periapsis hasta el punto donde se cruzan las dos asíntotas. Por lo general, por convención, es negativo mantener varias ecuaciones consistentes con las órbitas elípticas.

El semieje mayor está directamente vinculado a la energía orbital específica ( ) o energía característica de la órbita, y a la velocidad a la que el cuerpo alcanza cuando la distancia tiende al infinito, el exceso de velocidad hiperbólico ( ).

o

donde: es el parámetro gravitacional estándar y es la energía característica, comúnmente utilizada en la planificación de misiones interplanetarias

Tenga en cuenta que la energía total es positiva en el caso de una trayectoria hiperbólica (mientras que es negativa para una órbita elíptica).

Excentricidad y ángulo entre aproximación y salida [ editar ]

Con una trayectoria hiperbólica la excentricidad orbital ( ) es mayor que 1. La excentricidad está directamente relacionada con el ángulo entre las asíntotas. Con una excentricidad de poco más de 1, la hipérbola tiene una forma de "v" aguda. En las asíntotas están en ángulos rectos. Con las asíntotas separadas por más de 120 °, y la distancia de periapsis es mayor que el semieje mayor. A medida que aumenta la excentricidad, el movimiento se aproxima a una línea recta.

El ángulo entre la dirección de la periapsis y una asíntota del cuerpo central es la verdadera anomalía, ya que la distancia tiende al infinito ( ), por lo que es el ángulo externo entre las direcciones de aproximación y salida (entre las asíntotas). Luego

o

Parámetro de impacto y distancia de aproximación más cercana [ editar ]

Trayectorias hiperbólicas seguidas por objetos que se acercan al objeto central (punto pequeño) con la misma velocidad en exceso hiperbólica (y semi-eje mayor (= 1)) y desde la misma dirección pero con diferentes parámetros de impacto y excentricidades. De hecho, la línea amarilla pasa alrededor del punto central, acercándose a él de cerca.

El parámetro de impacto es la distancia por la cual un cuerpo, si continuara en un camino imperturbable, perdería el cuerpo central en su aproximación más cercana . Con cuerpos que experimentan fuerzas gravitacionales y siguen trayectorias hiperbólicas, es igual al eje semi-menor de la hipérbola.

En la situación de una nave espacial o cometa acercándose a un planeta, el parámetro de impacto y el exceso de velocidad se conocerán con precisión. Si se conoce el cuerpo central, ahora se puede encontrar la trayectoria, incluido qué tan cerca estará el cuerpo que se aproxima en la periapsis. Si este es menor que el radio del planeta, se debe esperar un impacto. La distancia de aproximación más cercana, o distancia de periapsis, viene dada por:

Entonces, si un cometa que se acerca a la Tierra (radio efectivo ~ 6400 km) con una velocidad de 12.5 km / s (la velocidad de aproximación mínima aproximada de un cuerpo proveniente del Sistema Solar exterior ) es para evitar una colisión con la Tierra, el parámetro de impacto necesitará ser al menos 8600 km, o un 34% más que el radio de la Tierra. Un cuerpo que se acerque a Júpiter (radio de 70000 km) desde el Sistema Solar exterior con una velocidad de 5,5 km / s, necesitará que el parámetro de impacto sea de al menos 770.000 km u 11 veces el radio de Júpiter para evitar la colisión.

Si no se conoce la masa del cuerpo central, su parámetro gravitacional estándar y, por tanto, su masa, se puede determinar mediante la deflexión del cuerpo más pequeño junto con el parámetro de impacto y la velocidad de aproximación. Debido a que normalmente todas estas variables se pueden determinar con precisión, el sobrevuelo de una nave espacial proporcionará una buena estimación de la masa de un cuerpo.

donde es el ángulo en el que el cuerpo más pequeño se desvía de una línea recta en su curso.

Ecuaciones de movimiento [ editar ]

Posición [ editar ]

En una trayectoria hiperbólica, la verdadera anomalía está vinculada a la distancia entre los cuerpos en órbita ( ) por la ecuación de la órbita :

La relación entre la anomalía verdadera θ y la anomalía excéntrica E (alternativamente la anomalía hiperbólica H ) es: [2]

    o         o  

La anomalía excéntrica E está relacionada con la anomalía media M mediante la ecuación de Kepler :

La anomalía media es proporcional al tiempo.

donde μ es un parámetro gravitacional y a es el semieje mayor de la órbita.

Ángulo de la trayectoria de vuelo [ editar ]

El ángulo de la trayectoria de vuelo (φ) es el ángulo entre la dirección de la velocidad y la perpendicular a la dirección radial, por lo que es cero en la periapsis y tiende a 90 grados en el infinito.

Velocidad [ editar ]

Bajo supuestos estándar, la velocidad orbital ( ) de un cuerpo que viaja a lo largo de una trayectoria hiperbólica se puede calcular a partir de la ecuación vis-viva como:

dónde:

  • es el parámetro gravitacional estándar ,
  • es la distancia radial del cuerpo en órbita al cuerpo central ,
  • es el semieje mayor (negativo) .

Bajo supuestos estándar, en cualquier posición de la órbita se cumple la siguiente relación para la velocidad orbital ( ), la velocidad de escape local ( ) y el exceso de velocidad hiperbólica ( ):

Tenga en cuenta que esto significa que un delta- v adicional relativamente pequeño por encima del necesario para acelerar a la velocidad de escape da como resultado una velocidad relativamente grande en el infinito. Por ejemplo, en un lugar donde la velocidad de escape es de 11,2 km / s, la adición de 0,4 km / s produce un exceso de velocidad hiperbólica de 3,02 km / s.

Este es un ejemplo del efecto Oberth . Lo contrario también es cierto: un cuerpo no necesita ser desacelerado mucho en comparación con su exceso de velocidad hiperbólica (por ejemplo, por la resistencia atmosférica cerca de la periapsis) para que la velocidad caiga por debajo de la velocidad de escape y, por lo tanto, para que el cuerpo sea capturado.

Trayectoria hiperbólica radial [ editar ]

Una trayectoria hiperbólica radial es una trayectoria no periódica en línea recta donde la velocidad relativa de los dos objetos siempre excede la velocidad de escape . Hay dos casos: los cuerpos se alejan o se acercan. Ésta es una órbita hiperbólica con eje semi-menor = 0 y excentricidad = 1. Aunque la excentricidad es 1, esta no es una órbita parabólica.

Problema relativista de dos cuerpos [ editar ]

En el contexto del problema de los dos cuerpos en la relatividad general , las trayectorias de los objetos con suficiente energía para escapar de la atracción gravitacional del otro, ya no tienen la forma de una hipérbola. No obstante, el término "trayectoria hiperbólica" todavía se utiliza para describir órbitas de este tipo.

Ver también [ editar ]

  • Orbita
  • Ecuación orbital
  • Órbita de Kepler
  • Lista de órbitas
  • Sobrevuelo planetario
  • Asteroide hiperbólico
  • Cometa hiperbólico

Referencias [ editar ]

  • Vallado, David A. (2007). Fundamentos de astrodinámica y aplicaciones, tercera edición . Hawthorne, CA .: Hawthorne Press. ISBN 978-1-881883-14-2.
  1. ^ "Copia archivada" . Archivado desde el original el 4 de febrero de 2012 . Consultado el 28 de febrero de 2012 .CS1 maint: archived copy as title (link)
  2. ^ Peet, Matthew M. (13 de junio de 2019). "Dinámica y control de la nave espacial" (PDF) .

Enlaces externos [ editar ]

  • Trayectorias
  • Órbitas
  • Hiperbólico