En matemáticas , hay hasta isomorfismo exactamente dos factores hiperfinitos de tipo II que actúan separadamente ; uno infinito y uno finito. Murray y von Neumann demostraron que hasta el isomorfismo existe un álgebra de von Neumann única que es un factor de tipo II 1 y también hiperfinito ; se llama factor hiperfinito de tipo II 1 . Hay un número incontable de otros factores de tipo II 1 . Connes demostró que el infinito también es único.
Construcciones
- El álgebra de grupo de von Neumann de un grupo discreto con la propiedad de clase de conjugación infinita es un factor de tipo II 1 , y si el grupo es susceptible y contable, el factor es hiperfinito. Hay muchos grupos con estas propiedades, ya que cualquier grupo finito local es susceptible. Por ejemplo, el álgebra de grupo de von Neumann del grupo simétrico infinito de todas las permutaciones de un conjunto infinito contable que fija todos menos un número finito de elementos da el factor hiperfinito de tipo II 1 .
- El factor hiperfinito de tipo II 1 también surge de la construcción del espacio de medida de grupo para acciones ergódicas de conservación de medidas libres de grupos susceptibles de contabilización en espacios de probabilidad.
- El producto tensorial infinito de un número contable de factores de tipo I n con respecto a sus estados traciales es el factor hiperfinito de tipo II 1 . Cuando n = 2, a esto también se le llama álgebra de Clifford de un espacio de Hilbert infinito separable.
- Si p es cualquier proyección finita distinta de cero en un álgebra A hiperfinita de von Neumann de tipo II, entonces pAp es el factor hiperfinito de tipo II 1 . De manera equivalente, el grupo fundamental de A es el grupo de números reales positivos . Esto a menudo puede ser difícil de ver directamente. Sin embargo, es obvio cuando A es el producto tensorial infinito de factores de tipo I n , donde n recorre todos los enteros mayores que 1 infinitamente muchas veces: simplemente tome p equivalente a un producto tensorial infinito de proyecciones p n en las que el tracial el estado es o .
Propiedades
El hyperfinite II 1 factor de R es el único factor de dimensional infinito más pequeño en el siguiente sentido: está contenida en cualquier otro factor dimensional infinito, y cualquier factor de dimensión infinita contenida en R es isomorfo a R .
El grupo de automorfismo externo de R es un grupo simple infinito con muchas clases de conjugación contables, indexadas por pares que consisten en un entero positivo py una raíz p- ésima compleja de 1.
Las proyecciones del factor hiperfinito II 1 forman una geometría continua .
El factor infinito hiperfinito de tipo II
Si bien existen otros factores de tipo II ∞ , existe uno hiperfinito único, hasta el isomorfismo. Consiste en esas matrices cuadradas infinitas con entradas en el factor hiperfinito de tipo II 1 que definen operadores acotados .
Ver también
Referencias
- A. Connes, Clasificación de factores inyectivos The Annals of Mathematics 2nd Ser., Vol. 104, núm. 1 (julio de 1976), págs. 73-115
- FJ Murray, J. von Neumann, Sobre anillos de operadores IV Ann. de Matemáticas. (2), 44 (1943) págs. 716–808. Esto muestra que todos los factores aproximadamente finitos de tipo II 1 son isomorfos.