Hipotenusa

Lado más largo de un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto

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Un triángulo rectángulo y su hipotenusa.

En geometría , una hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo , el lado opuesto al ángulo recto . La longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo se puede encontrar usando el teorema de Pitágoras , que establece que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados. Por ejemplo, si uno de los otros lados tiene una longitud de 3 (cuando está al cuadrado, 9) y el otro tiene una longitud de 4 (cuando está al cuadrado, 16), entonces sus cuadrados suman 25. La longitud de la hipotenusa es la raíz cuadrada de 25, es decir, 5.

Etimología

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La palabra hipotenusa se deriva de griego eta τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτείνουσα (sc. Γραμμή o πλευρά ), que significa "[lado] que subtiende el ángulo derecho" ( Apolodoro ), ^[1] ὑποτείνουσα hupoteinousa siendo el femenino participio presente activo del verbo ὑποτείνω hupo -teinō "estirar abajo, subtender", de τείνω teinō "estirar, extender". El participio nominalizado, ἡ ὑποτείνουσα , se usó para la hipotenusa de un triángulo en el siglo IV a. C. (atestiguado en Platón , Timeo54d). El término griego se prestó al latín tardío , como hypotēnūsa . ^{[2] [se necesita mejor fuente ]} La ortografía en -e , como hipotenusa , es de origen francés ( Estienne de La Roche 1520). ^[3]

Calculando la hipotenusa

La longitud de la hipotenusa se puede calcular usando la función de raíz cuadrada implícita en el teorema de Pitágoras . Usando la notación común que la longitud de las dos patas del triángulo (los lados perpendiculares entre sí) son una y b y la de la hipotenusa es c , tenemos

${\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

El teorema de Pitágoras, y por lo tanto esta longitud, también se puede derivar de la ley de los cosenos al observar que el ángulo opuesto a la hipotenusa es de 90 ° y observar que su coseno es 0:

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos 90^{\circ }=a^{2}+b^{2}\therefore c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

Muchos lenguajes informáticos admiten la función estándar ISO C hypot ( x , y ), que devuelve el valor anterior. La función está diseñada para no fallar donde el cálculo sencillo puede desbordar o subdesbordar y puede ser un poco más preciso y, a veces, significativamente más lento.

Algunas calculadoras científicas proporcionan una función para convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas polares . Esto da tanto la longitud de la hipotenusa como el ángulo que forma la hipotenusa con la línea base ( c ₁ arriba) al mismo tiempo cuando se dan x e y . El ángulo devuelto normalmente viene dado por atan2 ( y , x ).

Propiedades

En la figura, una es la hipotenusa y b y c son los catetos. La proyección ortográfica de b es my de c es n .

Proyecciones ortográficas :

• La longitud de la hipotenusa es igual a la suma de las longitudes de las proyecciones ortográficas de ambos catetos.
• El cuadrado de la longitud de un cateto es igual al producto de las longitudes de su proyección ortográfica en la hipotenusa por la longitud de este.

b² = a · m

c² = a · n

• Además, la longitud de un cateto b es la media proporcional entre las longitudes de su proyección my la hipotenusa a .

a / b = b / m

a / c = c / n

Razones trigonométricas

Por medio de razones trigonométricas , se puede obtener el valor de dos ángulos agudos y del triángulo rectángulo.${\displaystyle \alpha \,}$${\displaystyle \beta \,}$

Dada la longitud de la hipotenusa y de un cateto , la relación es:${\displaystyle c\,}$${\displaystyle b\,}$

${\displaystyle {\frac {b}{c}}=\sin(\beta )\,}$

La función inversa trigonométrica es:

${\displaystyle \beta \ =\arcsin \left({\frac {b}{c}}\right)\,}$

en el cual es el ángulo opuesto al cateto .${\displaystyle \beta \,}$${\displaystyle b\,}$

El ángulo adyacente del cateti es = 90 ° -${\displaystyle b\,}$${\displaystyle \alpha \,}$${\displaystyle \beta \,}$

También se puede obtener el valor del ángulo mediante la ecuación:${\displaystyle \beta \,}$

${\displaystyle \beta \ =\arccos \left({\frac {a}{c}}\right)\,}$

en el que se encuentra el otro cateto.${\displaystyle a\,}$

Ver también

• Cathetus
• Triángulo
• Diagonal espacial
• Número sin hipotenusa
• Geometría del taxi
• Trigonometría
• Triángulos rectángulos especiales
• Pitágoras

Notas

1. u (po / , tei / nw , pleura / . Liddell, Henry George ; Scott, Robert ; A Greek-English Lexicon en el Proyecto Perseus
2. "hipotenusa | Origen y significado de la hipotenusa por el diccionario de etimología en línea" . www.etymonline.com . Consultado el 14 de mayo de 2019 .
3. Estienne de La Roche, l'Arismetique (1520), fol. 221r (citado después de TLFi ).

Referencias

• Hipotenusa en la Enciclopedia de Matemáticas
• Weisstein, Eric W. "Hipotenusa" . MathWorld .

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