Silogismo hipotético

Reglas de transformación
Cálculo proposicional
Reglas de inferencia
Introducción  / eliminación de implicaciones ( modus ponens ) Introducción  / eliminación bicondicional Introducción  / eliminación de conjunción Introducción  / eliminación de disyunción Silogismo disyuntivo  / hipotético Dilema constructivo  / destructivo Absorción  / modus tollens  / modus ponendo tollens
Reglas de reemplazo
Asociatividad Conmutatividad Distributividad Doble negación Leyes de de Morgan Transposición Implicación material Exportación Tautología Introducción a la negación
Lógica de predicados
Generalización  / instanciación universal Generalización existencial  / instanciación
v t mi

En la lógica clásica , el silogismo hipotético es una forma de argumento válida que es un silogismo que tiene un enunciado condicional para una o ambas de sus premisas .

Un ejemplo en inglés :

Si no me despierto, no puedo ir a trabajar.

Si no puedo ir a trabajar, no me pagarán.

Por lo tanto, si no me despierto, no me pagarán.

El término se originó con Theophrastus . ^[1]

Lógica proposicional

En la lógica de proposiciones , silogismo hipotético es el nombre de un válido regla de inferencia (a menudo abreviado del SA y a veces también llamado el argumento cadena , regla de la cadena , o el principio de transitividad de implicación ). La regla puede establecerse:

${\displaystyle {\frac {P\to Q,Q\to R}{\therefore P\to R}}}$

donde la regla es que siempre que aparecen instancias de " " y " " en las líneas de una prueba , " " se pueden colocar en una línea posterior.${\displaystyle P\to Q}$${\displaystyle Q\to R}$${\displaystyle P\to R}$

El silogismo hipotético está estrechamente relacionado y es similar al silogismo disyuntivo , ya que también es un tipo de silogismo y también el nombre de una regla de inferencia.

Aplicabilidad

La regla del silogismo hipotético se mantiene en la lógica clásica , la lógica intuicionista , la mayoría de los sistemas de lógica de relevancia y muchos otros sistemas de lógica. Sin embargo, no se cumple en todas las lógicas, incluida, por ejemplo, la lógica no monótona , la lógica probabilística y la lógica predeterminada . La razón de esto es que estas lógicas describen un razonamiento derrotable , y los condicionales que aparecen en contextos del mundo real generalmente permiten excepciones, supuestos predeterminados, condiciones ceteris paribus o simplemente incertidumbre simple.

Un ejemplo, derivado de Adams , ^[2]

(1) Si Jones gana la elección, Smith se retirará después de la elección.

(2) Si Smith muere antes de la elección, Jones ganará la elección.

(3) Si Smith muere antes de la elección, Smith se retirará después de la elección.

Claramente, (3) no se sigue de (1) y (2). (1) es verdadera por defecto, pero no se cumple en las circunstancias excepcionales de la muerte de Smith. En la práctica, los condicionales del mundo real siempre tienden a involucrar supuestos o contextos predeterminados, y puede ser inviable o incluso imposible especificar todas las circunstancias excepcionales en las que podrían no ser verdaderas. Por razones similares, la regla del silogismo hipotético no se aplica a los condicionales contrafactuales .

Notación formal

La regla de inferencia del silogismo hipotético puede escribirse en notación secuencial , lo que equivale a una especialización de la regla de corte:

${\displaystyle {\frac {P\vdash Q\quad Q\vdash R}{P\vdash R}}}$

donde es un símbolo metalogico y un significado que es una consecuencia sintáctica de en algún sistema lógico ;${\displaystyle \vdash }$${\displaystyle A\vdash B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

y expresado como una tautología funcional de verdad o teorema de lógica proposicional :

${\displaystyle ((P\to Q)\land (Q\to R))\to (P\to R)}$

donde , y son proposiciones expresadas en cierto sistema formal .${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle R}$

Prueba ^[3]

Paso	Proposición	Derivación
1	${\displaystyle P\to Q}$	Dado
2	${\displaystyle Q\to R}$	Dado
3	${\displaystyle P}$	Supuesto de prueba condicional
4	${\displaystyle Q}$	Modus ponens (1,3)
5	${\displaystyle R}$	Modus ponens (2,4)
6	${\displaystyle P\to R}$	Prueba condicional (3-5)

Formas alternativas

Una forma alternativa de silogismo hipotético, más útil para los sistemas clásicos de cálculo proposicional con implicación y negación (es decir, sin el símbolo de conjunción), es la siguiente:

(HS1) ${\displaystyle (Q\to R)\to ((P\to Q)\to (P\to R))}$

Otra forma más es:

(HS2) ${\displaystyle (P\to Q)\to ((Q\to R)\to (P\to R))}$

Prueba

A continuación se da un ejemplo de las demostraciones de estos teoremas en tales sistemas. Usamos dos de los tres axiomas usados ​​en uno de los sistemas populares descritos por Jan Łukasiewicz . Las pruebas se basan en dos de los tres axiomas de este sistema:

(A1) ${\displaystyle \phi \to \left(\psi \to \phi \right)}$

(A2) ${\displaystyle \left(\phi \to \left(\psi \rightarrow \xi \right)\right)\to \left(\left(\phi \to \psi \right)\to \left(\phi \to \xi \right)\right)}$

La prueba del (HS1) es la siguiente:

(1)       (instancia de (A1))${\displaystyle ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r)))\to ((q\to r)\to ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))))}$

(2)       (instancia de (A2))${\displaystyle (p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))}$

(3)       (de (1) y (2) por modus ponens )${\displaystyle (q\to r)\to ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r)))}$

(4)       (instancia de (A2))${\displaystyle ((q\to r)\to ((p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))))\to (((q\to r)\to (p\to (q\to r)))\to ((q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r))))}$

(5)       (de (3) y (4) por modus ponens )${\displaystyle ((q\to r)\to (p\to (q\to r)))\to ((q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r)))}$

(6)       (instancia de (A1))${\displaystyle (q\to r)\to (p\to (q\to r))}$

(7) (de (5) y (6) por modus ponens )${\displaystyle (q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r))}$

La prueba del (HS2) se da aquí .

Como metateorema

Siempre que tengamos dos teoremas de la forma y , podemos probar mediante los siguientes pasos:${\displaystyle T_{1}=(Q\to R)}$${\displaystyle T_{2}=(P\to Q)}$${\displaystyle (P\to R)}$

(1)       (ejemplo del teorema demostrado anteriormente)${\displaystyle (Q\to R)\to ((P\to Q)\to (P\to R)))}$

(2)       (instancia de (T1))${\displaystyle Q\to R}$

(3)       (de (1) y (2) por modus ponens)${\displaystyle (P\to Q)\to (P\to R)}$

(4)       (instancia de (T2))${\displaystyle P\to Q}$

(5)       (de (3) y (4) por modus ponens)${\displaystyle P\to R}$

Ver también

• Modus ponens
• Modus tollens
• Afirmando el consecuente
• Negando el antecedente
• Relación transitiva

Referencias

1. "Historia de la lógica: Teofrasto de Ereso" en Encyclopædia Britannica Online .
2. Adams, Ernest W. (1975). La lógica de los condicionales . Dordrecht: Reidel. pag. 22.
3. https://math.stackexchange.com/questions/1135157/when-proving-the-hypothetical-syllogism-inference-rule-why-must-you-assume-that

Enlaces externos

• Índice de filosofía: silogismo hipotético