En la teoría de anillos , una rama del álgebra abstracta , un ideal de un anillo es un subconjunto especial de sus elementos. Los ideales generalizan ciertos subconjuntos de números enteros , como los números pares o los múltiplos de 3. La suma y resta de números pares preserva la uniformidad, y multiplicar un número par por cualquier otro entero da como resultado otro número par; estas propiedades de cierre y absorción son las propiedades definitorias de un ideal. Un ideal puede usarse para construir un anillo cociente de una manera similar a cómo, en la teoría de grupos , un subgrupo normalse puede utilizar para construir un grupo cociente .
Entre los enteros, los ideales se corresponden uno por uno con los enteros no negativos : en este anillo, todo ideal es un ideal principal que consta de los múltiplos de un solo número no negativo. Sin embargo, en otros anillos, los ideales pueden no corresponder directamente a los elementos del anillo, y ciertas propiedades de los números enteros, cuando se generalizan a los anillos, se adhieren más naturalmente a los ideales que a los elementos del anillo. Por ejemplo, los ideales primos de un anillo son análogos a los números primos , y el teorema del resto chino se puede generalizar a los ideales. Existe una versión de factorización prima única para los ideales de un dominio de Dedekind (un tipo de anillo importante en la teoría de números ).
El concepto relacionado, pero distinto, de un ideal en la teoría del orden se deriva de la noción de ideal en la teoría del anillo. Un ideal fraccionario es una generalización de un ideal, y los ideales habituales a veces se denominan ideales integrales para mayor claridad.
Historia
Ernst Kummer inventó el concepto de números ideales para que sirvan como factores "faltantes" en los anillos numéricos en los que falla la factorización única; aquí la palabra "ideal" tiene el sentido de existir sólo en la imaginación, en analogía con los objetos "ideales" en geometría, como los puntos en el infinito. [1] En 1876, Richard Dedekind reemplazó el concepto indefinido de Kummer por conjuntos concretos de números, conjuntos que llamó ideales, en la tercera edición del libro de Dirichlet Vorlesungen über Zahlentheorie , al que Dedekind había añadido muchos suplementos. [1] [2] [3] Más tarde, la noción se extendió más allá de los anillos numéricos hasta la configuración de anillos polinomiales y otros anillos conmutativos por David Hilbert y especialmente Emmy Noether .
Definiciones y motivación
Por un anillo arbitrario , dejar ser su grupo aditivo . Un subconjuntose llama un ideal de izquierda de si es un subgrupo aditivo de que "absorbe la multiplicación de la izquierda por elementos de "; es decir, es un ideal de izquierda si satisface las dos condiciones siguientes:
- es un subgrupo de
- Para cada y cada , el producto es en .
Un ideal correcto se define con la condición " rx ∈ I " reemplazada por " xr ∈ I " . Un ideal de dos caras es un ideal de izquierda que también es un ideal de derecha y, a veces, simplemente se llama ideal. En el lenguaje de los módulos , las definiciones significan que un ideal izquierdo (o derecho, bilateral) de R es precisamente un submódulo izquierdo (o derecho, bi-) R - de R cuando R se considera un módulo R . Cuando R es un anillo conmutativo, las definiciones de ideal izquierdo, derecho y bilateral coinciden, y el término ideal se usa solo.
Para comprender el concepto de ideal, consideremos cómo surgen los ideales en la construcción de anillos de "elementos módulo". Para ser concretos, veamos el anillo ℤ n de números enteros módulo un entero dado n ∈ ℤ (tenga en cuenta que ℤ es un anillo conmutativo). La observación clave aquí es que obtenemos ℤ n tomando la línea entera ℤ y envolviéndola alrededor de sí misma para que se identifiquen varios enteros. Al hacerlo, debemos satisfacer dos requisitos: 1) n debe identificarse con 0 ya que n es congruente con 0 módulo n , y 2) la estructura resultante debe ser nuevamente un anillo. El segundo requisito nos obliga a realizar identificaciones adicionales (es decir, determina la forma precisa en que debemos envolver ℤ alrededor de sí mismo). La noción de ideal surge cuando hacemos la pregunta:
¿Cuál es el conjunto exacto de números enteros que nos vemos obligados a identificar con 0?
La respuesta es, como era de esperar, el conjunto n ℤ = { nm | m ∈ ℤ} de todos los enteros congruentes con 0 módulo n . Es decir, debemos envolver ℤ alrededor de sí mismo infinitamente muchas veces para que los enteros ..., n ⋅ (−2) , n ⋅ (−1) , n ⋅ (+1) , n ⋅ (+2) , .. .todos se alinearán con 0. Si miramos qué propiedades debe satisfacer este conjunto para asegurar que ℤ n es un anillo, entonces llegamos a la definición de un ideal. De hecho, se puede verificar directamente que n ℤ es un ideal de ℤ.
Observación. También es necesario realizar identificaciones con elementos distintos de 0. Por ejemplo, los elementos de 1 + n ℤ deben identificarse con 1, los elementos de 2 + n ℤ deben identificarse con 2, y así sucesivamente. Aquellos, sin embargo, están determinados únicamente por n ℤ ya que ℤ es un grupo aditivo.
Podemos hacer una construcción similar en cualquier anillo conmutativo R : comenzar con un x ∈ R arbitrario , y luego identificar con 0 todos los elementos del ideal xR = { xr : r ∈ R }. Resulta que el ideal xR es el ideal más pequeño que contiene x , llamado ideal generado por x . De manera más general, podemos comenzar con un subconjunto arbitrario S ⊆ R , y luego identificar con 0 todos los elementos del ideal generado por S : el ideal más pequeño ( S ) tal que S ⊆ ( S ) . El anillo que obtenemos tras la identificación depende solo del ideal ( S ) y no del conjunto S con el que partimos. Es decir, si ( S ) = ( T ) , entonces los anillos resultantes serán los mismos.
Por lo tanto, un ideal I de un conmutativos anillo R capturas canónicamente la información necesaria para obtener el anillo de elementos de R módulo un subconjunto dado S ⊆ R . Los elementos de I , por definición, son aquellos que son congruentes con cero, es decir, identificados con cero en el anillo resultante. El anillo resultante se llama el cociente de R por I y se denota R / I . Intuitivamente, la definición de un ideal postula dos condiciones naturales necesarias para que I contenga todos los elementos designados como "ceros" por R / I :
- I es un subgrupo aditivo de R : el cero 0 de R es un "cero" 0 ∈ I , y si x 1 ∈ I y x 2 ∈ I son "ceros", entonces x 1 - x 2 ∈ I es un "cero " también.
- Cualquier r ∈ R multiplicado por un "cero" x ∈ I es un rx ∈ I "cero" .
Resulta que las condiciones anteriores son también suficientes para I para contener todos los "ceros" necesarios: no hay otros elementos tienen que ser designado como "cero" con el fin de forma R / I . (De hecho, ningún otro elemento debe designarse como "cero" si queremos hacer la menor cantidad de identificaciones).
Observación. La construcción anterior todavía funciona utilizando ideales de dos caras incluso si R no es necesariamente conmutativo.
Ejemplos y propiedades
En aras de la brevedad, algunos resultados se expresan solo para los ideales de izquierda, pero generalmente también son válidos para los ideales de derecha con cambios de notación apropiados.
- En un anillo R , el conjunto R en sí mismo forma un ideal bilateral de R llamado ideal unitario . A menudo también se denota por ya que es precisamente el ideal bilateral generado (ver más abajo) por la unidad . Además, el conjuntoque consiste solo en la identidad aditiva 0 R forma un ideal de dos lados llamado el ideal cero y se denota por. [nota 1] Todo ideal (izquierdo, derecho o bilateral) contiene el ideal cero y está contenido en el ideal unitario.
- Un ideal (izquierdo, derecho o bilateral) que no es el ideal unitario se denomina ideal adecuado (ya que es un subconjunto adecuado ). [4] Nota: un ideal de izquierda es apropiado si y solo si no contiene un elemento unitario, ya que si es un elemento unitario, entonces para cada . Por lo general, hay muchos ideales adecuados. De hecho, si R es un campo sesgado , entoncesson sus únicos ideales y viceversa: es decir, un anillo distinto de cero R es un campo de sesgo sison los únicos ideales de izquierda (o derecha). (Prueba: si es un elemento distinto de cero, entonces el principal ideal izquierdo (ver más abajo) es distinto de cero y por lo tanto ; es decir, para algunos distintos de cero . Igualmente, para algunos distintos de cero . Luego.)
- Los enteros pares forman un ideal en el ringde todos los enteros; generalmente se denota por. Esto se debe a que la suma de los números enteros pares es par, y el producto de cualquier número entero con un número entero par también es par. De manera similar, el conjunto de todos los enteros divisibles por un entero fijo n es un ideal denotado.
- El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales que son divisibles por el polinomio x 2 + 1 es un ideal en el anillo de todos los polinomios.
- El conjunto de todas las n- por- n matrices cuya última fila es cero forma un ideal recto en el anillo de todas las n- por- n matrices. No es un ideal de izquierda. El conjunto de todas las matrices n- por- n cuya última columna es cero forma un ideal izquierdo pero no un ideal derecho.
- El anillo de todas las funciones continuas f de a bajo multiplicación puntual contiene el ideal de todas las funciones continuas f tales que f (1) = 0. Otro ideal enviene dada por aquellas funciones que desaparecen para argumentos suficientemente grandes, es decir, aquellas funciones continuas f para las que existe un número L > 0 tal que f ( x ) = 0 siempre que | x | > L .
- Un anillo se llama anillo simple si es distinto de cero y no tiene ideales de dos caras que no sean. Por lo tanto, un campo sesgado es simple y un anillo conmutativo simple es un campo. El anillo de matriz sobre un campo sesgado es un anillo simple.
- Si es un homomorfismo de anillo , entonces el núcleo es un ideal de dos caras de . Por definición,, y así si no es el anillo cero (entonces ), luego es un ideal adecuado. De manera más general, para cada I ideal izquierdo de S , la preimagenes un ideal de izquierda. Si I es un ideal de izquierda de R , entonces es un ideal de izquierda del subanillo de S : a menos que f sea sobreyectiva,no es necesario que sea un ideal de S ; ver también # Extensión y contracción de un ideal a continuación.
- Correspondencia ideal : dado un homomorfismo de anillo suprayectivo, hay una correspondencia biyectiva que preserva el orden entre los ideales de la izquierda (o la derecha, bilateral) de que contiene el núcleo de y los ideales de izquierda (o derecha, de dos caras) de : la correspondencia viene dada por y la preimagen . Además, para los anillos conmutativos, esta correspondencia biyectiva se restringe a los ideales primarios, los ideales máximos y los ideales radicales (consulte la sección Tipos de ideales para conocer las definiciones de estos ideales).
- (Para aquellos que conocen los módulos) Si M es un módulo R izquierdo yun subconjunto, luego el aniquilador de S es un ideal de izquierda. Ideales dadosde un anillo conmutativo R , el R -aniquilador dees un ideal de R llamado cociente ideal de por y se denota por ; es un ejemplo de idealizador en álgebra conmutativa.
- Dejar ser una cadena ascendente de ideales de izquierda en un anillo R ; es decir, es un conjunto totalmente ordenado y para cada . Entonces el sindicatoes un ideal a izquierda de R . (Nota: este hecho sigue siendo cierto incluso si R no tiene la unidad 1.)
- El hecho anterior junto con el lema de Zorn demuestra lo siguiente: si es un subconjunto posiblemente vacío y es un ideal de izquierda que es disjunto de E , entonces hay un ideal que es máximo entre los ideales que contieneny disjunta de E . (De nuevo, esto sigue siendo válido si el anillo R carece de la unidad 1)., tomando y , en particular, existe un ideal de izquierda que es máximo entre los ideales de izquierda adecuados (a menudo llamado simplemente un ideal de izquierda máximo); consulte el teorema de Krull para obtener más información.
- Una unión arbitraria de ideales no necesita ser un ideal, pero lo siguiente sigue siendo cierto: dado un subconjunto X de R posiblemente vacío , existe el ideal izquierdo más pequeño que contiene X , llamado ideal izquierdo generado por X y denotado por. Un ideal Tal existe ya que es la intersección de todos los ideales de izquierda que contienen X . Equivalentemente,es el conjunto de todas las (finitas) combinaciones lineales R izquierdas de elementos de X sobre R :
- (ya que tal lapso es el ideal izquierdo más pequeño que contiene X ). [nota 2] Un ideal derecho (respectivamente de dos lados) generado por X se define de manera similar. Para "dos caras", hay que utilizar combinaciones lineales de ambos lados; es decir,
- Un ideal izquierdo (resp. Derecho, bilateral) generado por un solo elemento x se denomina ideal izquierdo principal (resp. Derecho, bilateral) generado por x y se denota por (resp. ). El principal ideal de dos caras a menudo también se denota por . Si es un conjunto finito, entonces también está escrito como .
- En el ring de enteros, cada ideal puede ser generado por un solo número (por lo que es un dominio ideal principal ), como consecuencia de la división euclidiana (o de alguna otra manera).
- Existe una correspondencia biyectiva entre los ideales y las relaciones de congruencia (relaciones de equivalencia que respetan la estructura de anillo) en el anillo: Dado un ideal I de un anillo R , dejar que x ~ y si x - y ∈ I . Entonces ~ es una relación de congruencia en R . Por el contrario, dada una relación de congruencia ~ en R , sea I = { x | x ~ 0} . Entonces I es un ideal de R .
Tipos de ideales
Para simplificar la descripción, se supone que todos los anillos son conmutativos. El caso no conmutativo se discute en detalle en los artículos respectivos.
Los ideales son importantes porque aparecen como núcleos de homomorfismos de anillo y permiten definir anillos de factores . Se estudian diferentes tipos de ideales porque pueden usarse para construir diferentes tipos de anillos de factores.
- Ideal maximal : Un ideales adecuada I se llama una máxima ideales si no existe ningún otro ideal adecuado J con I un subconjunto propio de J . El anillo factorial de un ideal máximo es un anillo simple en general y es un campo para anillos conmutativos. [5]
- Ideal mínimo : un ideal distinto de cero se denomina mínimo si no contiene ningún otro ideal distinto de cero.
- Ideal primo : Un ideales adecuado que se llama un ideal primo si por alguna una y b en R , si ab está en que , al menos uno de un y b se encuentra en I . El anillo factorial de un ideal primo es un anillo primo en general y es un dominio integral para anillos conmutativos.
- Ideales radicales o ideales semiprimo : Un ideales adecuado que se llama radical o semiprimo si por alguna una en R , si un n está en que por algún n , a continuación, una se encuentra en I . El anillo factorial de un ideal radical es un anillo semiprime para anillos generales y es un anillo reducido para anillos conmutativos.
- Ideal primario : un ideal I se llama ideal primario si para todo a y b en R , si ab está en I , entonces al menos uno de a y b n está en I para algún número natural n . Todo ideal primordial es primario, pero no a la inversa. Un ideal primario semiprimo es primo.
- Ideal principal : un ideal generado por un elemento.
- Ideal finamente generado : este tipo de ideal se genera finamente como un módulo.
- Ideal primitivo : un ideal primitivo de izquierda es el aniquilador de un módulo de izquierda simple .
- Ideal irreductible : Se dice que un ideal es irreductible si no puede escribirse como una intersección de ideales que lo contienen propiamente.
- Ideales comáximales : dos idealesse dice que es comaximal si para algunos y .
- Ideal regular : este término tiene múltiples usos. Consulte el artículo para obtener una lista.
- Ideal nulo : Un ideal es un ideal nulo si cada uno de sus elementos es nilpotente.
- Ideal nilpotente : parte de su poder es cero.
- Ideal de parámetro : un ideal generado por un sistema de parámetros .
Otros dos términos importantes que utilizan "ideal" no siempre son ideales de su anillo. Consulte sus respectivos artículos para obtener más detalles:
- Ideales fraccional : Esta se define generalmente cuando R es un dominio conmutativa con campo cociente K . A pesar de sus nombres, los ideales fraccionarios sonsubmódulos R de K con una propiedad especial. Si el ideal fraccional está contenida enteramente en R , entonces es verdaderamente un ideal de R .
- Ideales invertible : Por lo general, un ideal invertible A se define como un ideal fraccionado por el que hay otro ideales fraccional B tal que AB = BA = R . Algunos autores también pueden aplicar el "ideal invertible" a los ideales de anillo ordinarios A y B con AB = BA = R en anillos distintos de los dominios.
Operaciones ideales
La suma y el producto de los ideales se definen de la siguiente manera. Para y , izquierda (resp. derecha) ideales de un anillo R , su suma es
- ,
que es un ideal de izquierda (resp. derecha), y, si son de dos caras,
es decir, el producto es el ideal generado por todos los productos de la forma ab con una eny b en.
Nota es el ideal izquierdo (o derecho) más pequeño que contiene tanto y (o el sindicato ), mientras que el producto está contenido en la intersección de y .
La ley distributiva es válida para ideales bilaterales. ,
- ,
- .
Si un producto es reemplazado por una intersección, se cumple una ley distributiva parcial:
donde la igualdad se mantiene si contiene o .
Observación : La suma y la intersección de ideales es nuevamente un ideal; con estas dos operaciones como unirse y reunirse, el conjunto de todos los ideales de un anillo dado forma una celosía modular completa . La celosía no es, en general, una celosía distributiva . Las tres operaciones de intersección, suma (o unión) y producto convierten el conjunto de ideales de un anillo conmutativo en un cuantale .
Si son ideales de un anillo conmutativo R , entonces en los siguientes dos casos (al menos)
- es generado por elementos que forman un módulo de secuencia regular .
(De manera más general, la diferencia entre un producto y una intersección de ideales se mide mediante el funtor Tor :[6] )
Un dominio integral se llama dominio de Dedekind si para cada par de ideales, hay un ideal tal que . [7] Entonces se puede demostrar que cada ideal distinto de cero de un dominio de Dedekind puede escribirse de forma única como un producto de ideales máximos, una generalización del teorema fundamental de la aritmética .
Ejemplos de operaciones ideales
En tenemos
desde es el conjunto de enteros que son divisibles por ambos y .
Dejar y deja . Luego,
- y
- tiempo
En el primer cálculo, vemos el patrón general para tomar la suma de dos ideales generados finitamente, es el ideal generado por la unión de sus generadores. En los últimos tres observamos que los productos y las intersecciones concuerdan siempre que los dos ideales se cruzan en el ideal cero. Estos cálculos se pueden verificar usando Macaulay2 . [8] [9] [10]
Radical de un anillo
Los ideales aparecen de forma natural en el estudio de módulos, especialmente en forma de radical.
- Para simplificar, trabajamos con anillos conmutativos pero, con algunos cambios, los resultados también son válidos para los anillos no conmutativos.
Sea R un anillo conmutativo. Por definición, un ideal primitivo de R es el aniquilador de un módulo R simple (distinto de cero) . El radical de Jacobson de R es la intersección de todos los ideales primitivos. Equivalentemente,
De hecho, si es un módulo simple y x es un elemento distinto de cero en M , entonces y , significado es un ideal máximo. Por el contrario, si es un ideal máximo, entonces es el aniquilador del módulo R simple. También hay otra caracterización (la prueba no es difícil):
Para un anillo no necesariamente conmutativo, es un hecho general que es un elemento unitario si y solo si es (ver el enlace) y así esta última caracterización muestra que el radical puede definirse tanto en términos de ideales primitivos de izquierda como de derecha.
El siguiente hecho simple pero importante ( el lema de Nakayama ) está incorporado a la definición de un radical de Jacobson: si M es un módulo tal que, entonces M no admite un submódulo máximo , ya que si hay un submódulo máximo, y entonces , una contradicción. Dado que un módulo generado finitamente distinto de cero admite un submódulo máximo, en particular, uno tiene:
- Si y M se genera finitamente, entonces
Un ideal máximo es un ideal primordial y, por lo tanto, uno tiene
en la intersección de la izquierda se llama la nilradical de R . Como resulta,es también el conjunto de elementos nilpotentes de R .
Si R es un anillo artiniano , entonces es nilpotente y . (Prueba: primera nota que el DCC implicapara algunos n . Si (DCC) es un ideal propiamente mínimo sobre este último, entonces . Es decir,, una contradicción.)
Extensión y contracción de un ideal
Sean A y B dos anillos conmutativos , y sea f : A → B un homomorfismo de anillo . Sies un ideal en A , entoncesno es necesario que sea un ideal en B (por ejemplo, tome f como la inclusión del anillo de números enteros Z en el campo de los racionales Q ). La extensión de en B se define como el ideal en B generado por. Explícitamente,
Si es un ideal de B , entonceses siempre un ideal de A , llamado contracción de a Una .
Suponiendo que f : A → B es un homomorfismo de anillo,es un ideal en A ,es un ideal en B , entonces:
- es primo en B es primo en una .
Es falso, en general, que ser primo (o máximo) en A implica quees primo (o máxima) en B . Muchos ejemplos clásicos de esto provienen de la teoría algebraica de números. Por ejemplo, incrustar . En, el elemento 2 se factoriza como donde (se puede mostrar) ninguno de son unidades en B . Entoncesno es primo en B (y por lo tanto tampoco es máximo). En efecto, muestra que , , y por lo tanto .
Por otro lado, si f es sobreyectiva y a ⊇ ker F {\ Displaystyle {\ mathfrak {a}} \ supseteq \ ker f} luego:
- y .
- es un ideal primo en A es un ideal primo de B .
- es un ideal máximo en A es un ideal maximal en B .
Observación : Sea K una extensión de campo de L , y sean B y A los anillos de los números enteros de K y L , respectivamente. Entonces B es una extensión integral de A , y dejamos que f sea el mapa inclusión de A a B . El comportamiento de un ideal primordial de A bajo extensión es uno de los problemas centrales de la teoría algebraica de números .
En ocasiones, lo siguiente es útil: [11] un ideal primo es una contracción de un ideal primo si y solo si . (Prueba: asumiendo lo último, tenga en cuenta se cruza , una contradicción. Ahora, los principales ideales decorresponden a aquellos en B que están separados de. Por tanto, hay un ideal primordialde B , disjunto de, tal que es un ideal máximo que contiene . Uno luego comprueba que se acuesta . Lo contrario es obvio).
Generalizaciones
Los ideales se pueden generalizar a cualquier objeto monoide , dónde es el objeto donde se ha olvidado la estructura monoide . Un ideal de izquierda dees un subobjeto que "absorbe la multiplicación de la izquierda por elementos de "; es decir, es un ideal de izquierda si satisface las dos condiciones siguientes:
- es un subobjeto de
- Para cada y cada , el producto es en .
Un ideal correcto se define con la condición "" reemplazado por "'". Un ideal de dos caras es un ideal de la izquierda que también es un ideal de la derecha, y a veces simplemente se llama un ideal. Cuandoes un objeto monoide conmutativo respectivamente, las definiciones de ideal izquierdo, derecho y bilateral coinciden, y el término ideal se usa solo.
Un ideal también puede ser pensado como un tipo específico de R -módulo . Si consideramos como izquierda -módulo (por multiplicación por la izquierda), luego un ideal izquierdo es solo un submódulo izquierdo de. En otras palabras, es un ideal de izquierda (derecha) de si y solo si es izquierda (derecha) -módulo que es un subconjunto de . es un ideal de dos caras si es un sub--bimódulo de .
Ejemplo: si dejamos , un ideal de es un grupo abeliano que es un subconjunto de , es decir para algunos . Entonces estos dan todos los ideales de.
Ver también
- Aritmética modular
- Teorema del isomorfismo de Noether
- Teorema del ideal del primo booleano
- Teoría ideal
- Ideal (teoría del orden)
- Norma ideal
- División de ideales primarios en extensiones de Galois
- Gavilla ideal
Notas
- ^ Algunos autores llaman a los cero y la unidad de ideales de un anillo R los ideales triviales de R .
- ^ Si R no tiene una unidad, entonces las descripciones internas anteriores deben modificarse ligeramente. Además de las sumas finitas de productos de cosas en X con cosas en R , debemos permitir la adición de n sumas de la forma x + x + ... + x , y n sumas de la forma (- x ) + (- x ) + ... + (- x ) para cada x en X y cada n en los números naturales. Cuando R tiene una unidad, este requisito adicional se vuelve superfluo.
Referencias
- ↑ a b John Stillwell (2010). Matemáticas y su historia . pag. 439.
- ^ Harold M. Edwards (1977). Último teorema de Fermat. Una introducción genética a la teoría algebraica de números . pag. 76.
- ^ Everest G., Ward T. (2005). Introducción a la teoría de números . pag. 83.
- ^ Lang 2005 , sección III.2
- ^ Porque los anillos conmutativos simples son campos. Ver Lam (2001). Un primer curso en anillos no conmutativos . pag. 39.
- ^ Eisenbud , ejercicio A 3.17
- ^ Milnor , página 9.
- ^ "ideales" . www.math.uiuc.edu . Archivado desde el original el 16 de enero de 2017 . Consultado el 14 de enero de 2017 .
- ^ "Sumas, productos y poderes de los ideales" . www.math.uiuc.edu . Archivado desde el original el 16 de enero de 2017 . Consultado el 14 de enero de 2017 .
- ^ "intersección de ideales" . www.math.uiuc.edu . Archivado desde el original el 16 de enero de 2017 . Consultado el 14 de enero de 2017 .
- ^ Atiyah – MacDonald , Proposición 3.16.
- Atiyah, MF y Macdonald, IG , Introducción al álgebra conmutativa , Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9
- Lang, Serge (2005). Álgebra de pregrado (Tercera ed.). Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-22025-3.
- Michiel Hazewinkel , Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Álgebras, anillos y módulos . Volumen 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
- Milnor, John Willard (1971), Introducción a la teoría K algebraica , Annals of Mathematics Studies, 72 , Princeton, NJ: Princeton University Press , MR 0349811 , Zbl 0237.18005
enlaces externos
- Levinson, Jake (14 de julio de 2014). "¿La interpretación geométrica para la extensión de ideales?" . Stack Exchange .