En matemáticas , un elemento de identidad , o elemento neutro , es un tipo especial de elemento de un conjunto con respecto a una operación binaria en ese conjunto, que deja cualquier elemento del conjunto sin cambios cuando se combina con él. [1] [2] [3] Este concepto se utiliza en estructuras algebraicas como grupos y anillos . El término elemento de identidad a menudo se abrevia como identidad (como en el caso de identidad aditiva e identidad multiplicativa), [4] cuando no hay posibilidad de confusión, pero la identidad depende implícitamente de la operación binaria con la que está asociada.
Definiciones
Sea ( S , ∗) un conjunto S equipado con una operación binaria ∗. A continuación, un elemento electrónico de S se denomina izquierda identidad si e * un = una para todos una en S , y una correcta identidad si un * e = una para todos una en S . [5] Si e es tanto una identidad de izquierda como una identidad de derecha, entonces se denomina identidad de dos caras o simplemente identidad . [6] [7] [8] [9] [10]
Una identidad con respecto a la suma se llama identidad aditiva (a menudo denotada como 0) y una identidad con respecto a la multiplicación se llama identidad multiplicativa (a menudo denotada como 1). [4] No es necesario que sean sumas y multiplicaciones ordinarias, ya que la operación subyacente podría ser bastante arbitraria. En el caso de un grupo, por ejemplo, el elemento de identidad a veces se denota simplemente con el símbolo. [11] La distinción entre identidad aditiva y multiplicativa se usa con mayor frecuencia para conjuntos que admiten operaciones binarias, como anillos , dominios integrales y campos . La identidad multiplicativa a menudo se llama unidad en el último contexto (un anillo con unidad). [12] [13] [14] Esto no debe confundirse con una unidad en la teoría de anillos, que es cualquier elemento que tenga un inverso multiplicativo . Por su propia definición, la unidad en sí misma es necesariamente una unidad. [15] [16]
Ejemplos de
Colocar | Operación | Identidad |
---|---|---|
Numeros reales | + ( adición ) | 0 |
Numeros reales | · ( Multiplicación ) | 1 |
Números complejos | + (adición) | 0 |
Números complejos | · (Multiplicación) | 1 |
Enteros positivos | Minimo común multiplo | 1 |
Enteros no negativos | Máximo común divisor | 0 (en la mayoría de las definiciones de GCD) |
matrices m -por- n | Adición de matriz | Matriz cero |
n -por- n matrices cuadradas | Multiplicación de matrices | I n ( matriz de identidad ) |
matrices m -por- n | ○ ( producto Hadamard ) | J m , n ( matriz de unos ) |
Todas las funciones de un conjunto, M , a sí mismo | ∘ ( composición de funciones ) | Función de identidad |
Todas las distribuciones en un grupo , G | ∗ ( convolución ) | δ ( delta de Dirac ) |
Números reales extendidos | Mínimo / mínimo | + ∞ |
Números reales extendidos | Máximo / supremo | −∞ |
Subconjuntos de un conjunto M | ∩ ( intersección ) | METRO |
Conjuntos | ∪ ( unión ) | ∅ ( juego vacío ) |
Cadenas , listas | Concatenación | Cadena vacía, lista vacía |
Un álgebra de Boole | ∧ ( lógico y ) | ⊤ (verdad) |
Un álgebra de Boole | ↔ ( lógico bicondicional ) | ⊤ (verdad) |
Un álgebra de Boole | ∨ ( lógico o ) | ⊥ (falsedad) |
Un álgebra de Boole | ⊕ ( exclusivo o ) | ⊥ (falsedad) |
Nudos | Suma de nudos | Desanudar |
Superficies compactas | # ( suma conectada ) | S 2 |
Grupos | Producto directo | Grupo trivial |
Dos elementos, { e , f } | ∗ definido por e ∗ e = f ∗ e = e y f ∗ f = e ∗ f = f | Tanto la e como la f son identidades izquierdas, pero no hay una identidad correcta ni una identidad bilateral. |
Relaciones homogéneas en un conjunto X | Producto relativo | Relación de identidad |
Propiedades
En el ejemplo S = { e, f } con las igualdades dadas, S es un semigrupo . Demuestra la posibilidad de que ( S , ∗) tenga varias identidades izquierdas. De hecho, cada elemento puede ser una identidad de izquierda. De manera similar, puede haber varias identidades correctas. Pero si hay tanto una identidad de derecha como una de izquierda, entonces deben ser iguales, lo que resulta en una única identidad de dos lados.
Para ver esto, tenga en cuenta que si l es una identidad izquierda y r es una identidad derecha, entonces l = l ∗ r = r . En particular, no puede haber más de una identidad de dos caras: si hubiera dos, digamos e y f , a continuación, e * f tendría que ser igual a ambos e y f .
También es muy posible que ( S , ∗) no tenga elemento de identidad, [17] como el caso de los enteros pares bajo la operación de multiplicación. [4] Otro ejemplo común es el producto cruzado de vectores , donde la ausencia de un elemento de identidad está relacionada con el hecho de que la dirección de cualquier producto cruzado distinto de cero es siempre ortogonal a cualquier elemento multiplicado. Es decir, no es posible obtener un vector distinto de cero en la misma dirección que el original. Otro ejemplo más de grupo sin elemento de identidad involucra el semigrupo aditivo de números naturales positivos .
Ver también
- Elemento absorbente
- Aditivo inverso
- Inversa generalizada
- Identidad (ecuación)
- Función de identidad
- Elemento inverso
- Monoide
- Pseudo-anillo
- Cuasigrupo
- Unital (desambiguación)
notas y referencias
- ^ "El glosario definitivo de jerga matemática superior - identidad" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 1 de diciembre de 2019 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Elemento de identidad" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 1 de diciembre de 2019 .
- ^ "Definición de ELEMENTO DE IDENTIDAD" . www.merriam-webster.com . Consultado el 1 de diciembre de 2019 .
- ^ a b c "Elemento de identidad" . www.encyclopedia.com . Consultado el 1 de diciembre de 2019 .
- ^ Fraleigh (1976 , p. 21)
- ^ Beauregard y Fraleigh (1973 , p. 96)
- ^ Fraleigh (1976 , p. 18)
- ^ Herstein (1964 , p. 26)
- ↑ McCoy (1973 , p. 17)
- ^ "Elemento de identidad | Wiki brillante de matemáticas y ciencias" . shiny.org . Consultado el 1 de diciembre de 2019 .
- ^ "Lista completa de símbolos de álgebra" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-25 . Consultado el 13 de agosto de 2020 .
- ^ Beauregard y Fraleigh (1973 , p. 135)
- ^ Fraleigh (1976 , p. 198)
- ↑ McCoy (1973 , p. 22)
- ^ Fraleigh (1976 , págs. 198, 266)
- ^ Herstein (1964 , p. 106)
- ↑ McCoy (1973 , p. 22)
Bibliografía
- Beauregard, Raymond A .; Fraleigh, John B. (1973), Un primer curso de álgebra lineal: con introducción opcional a grupos, anillos y campos , Boston: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-X
- Fraleigh, John B. (1976), Un primer curso de álgebra abstracta (2a ed.), Lectura: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
- Herstein, IN (1964), Temas de álgebra , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016
- McCoy, Neal H. (1973), Introducción al álgebra moderna, edición revisada , Boston: Allyn y Bacon , LCCN 68015225
Otras lecturas
- M. Kilp, U. Knauer, AV Mikhalev, Monoides, actos y categorías con aplicaciones a productos de coronas y gráficos , De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7 , pág. 14-15