En álgebra lineal, la matriz identidad de tamaño n es la matriz cuadrada n × n con unos en la diagonal principal y ceros en el resto. Se denota por I n , o simplemente por I si el tamaño es inmaterial o puede ser determinado trivialmente por el contexto. [1] [2]
El término matriz unitaria también se ha utilizado ampliamente, [3] [4] [5] [6] pero el término matriz de identidad ahora es estándar. [7] El término matriz unitaria es ambiguo, porque también se usa para una matriz de unos y para cualquier unidad del anillo de todas las matrices n × n . [8]
En algunos campos, como la teoría de grupos o la mecánica cuántica , la matriz de identidad a veces se denota con un uno en negrita, 1 o se llama "id" (abreviatura de identidad); de lo contrario es idéntica a I . Con menos frecuencia, algunos libros de matemáticas usan U o E para representar la matriz de identidad, que significa "matriz de unidad" [3] y la palabra alemana Einheitsmatrix respectivamente. [9]
Cuando A es m × n , es una propiedad de la multiplicación de matrices que
En particular, la matriz identidad sirve como la identidad multiplicativa del anillo de todas las matrices n × n , y como el elemento identidad del grupo lineal general GL ( n ) (un grupo que consta de todas las matrices n × n invertibles ). En particular, la matriz de identidad es invertible, siendo su inversa precisamente ella misma .
Donde n × n matrices se utilizan para representar transformaciones lineales desde un espacio vectorial n- dimensional a sí mismo, I n representa la función de identidad , independientemente de la base .
La i- ésima columna de una matriz identidad es el vector unitario e i (el vector cuya i- ésima entrada es 1 y 0 en cualquier otro lugar). Se deduce que el determinante de la matriz identidad es 1 y la traza es n .
Usando la notación que a veces se usa para describir de manera concisa matrices diagonales , podemos escribir
La matriz de identidad también se puede escribir utilizando la notación delta de Kronecker : [9]
Cuando la matriz identidad es el producto de dos matrices cuadradas, se dice que las dos matrices son inversas entre sí.
La matriz identidad es la única matriz idempotente con determinante distinto de cero. Es decir, es la única matriz tal que:
- Cuando se multiplica por sí mismo, el resultado es en sí mismo
- Todas sus filas y columnas son linealmente independientes .
La raíz cuadrada principal de una matriz identidad es ella misma, y esta es su única raíz cuadrada definida positiva . Sin embargo, cada matriz de identidad con al menos dos filas y columnas tiene una infinitud de raíces cuadradas simétricas. [10]
Ver también
- Matriz binaria ( matriz cero-uno)
- Matriz elemental
- Matriz de intercambio
- Matriz de unos
- Matrices de Pauli (la matriz de identidad es la matriz cero de Pauli)
- Raíz cuadrada de una matriz identidad de 2 por 2
- Matriz unitaria
- Matriz cero
Notas
- ^ "Compendio de símbolos matemáticos" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-01 . Consultado el 14 de agosto de 2020 .
- ^ "Matriz de identidad: introducción a las matrices de identidad (artículo)" . Khan Academy . Consultado el 14 de agosto de 2020 .
- ^ a b Tubos, Louis Albert (1963). Métodos matriciales para ingeniería . Serie internacional de Prentice-Hall en matemáticas aplicadas. Prentice Hall. pag. 91.
- ^ Roger Godement , Álgebra , 1968.
- ^ ISO 80000-2 : 2009.
- ^ Ken Stroud , Ingeniería matemática , 2013.
- ^ ISO 80000-2 : 2019.
- ^ Weisstein, Eric W. "Unidad de matriz" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 5 de mayo de 2021 .
- ^ a b Weisstein, Eric W. "Matriz de identidad" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 14 de agosto de 2020 .
- ^ Mitchell, Douglas W. "Uso de triples pitagóricos para generar raíces cuadradas de I 2 ". The Mathematical Gazette 87, noviembre de 2003, 499–500.