Si y solo si

"Iff" vuelve a dirigir aquí. Para otros usos, consulte IFF (desambiguación) .

"↔" vuelve a dirigir aquí. No debe confundirse con el tráfico bidireccional .

"⟺" vuelve a dirigir aquí. Para otros usos, consulte Flecha (símbolo) .

Conectivo lógico

↔⇔≡⟺
Símbolos lógicos que representan iff

En la lógica y campos relacionados como las matemáticas y la filosofía , " si y sólo si " (abreviado como " si " ^[1] ) es una conectiva lógica bicondicional entre enunciados, donde ambos enunciados son verdaderos o ambos son falsos.

El conectivo es bicondicional (una declaración de equivalencia material ), ^[2] y puede compararse con el material estándar condicional ("sólo si", igual a "si ... entonces") combinado con su reverso ("si"); de ahí el nombre. El resultado es que la verdad de cualquiera de los enunciados conectados requiere la verdad del otro (es decir, o ambos enunciados son verdaderos, o ambos son falsos), aunque es controvertido si el conectivo así definido es traducido correctamente por el inglés "si y sólo si "—con su significado preexistente. Por ejemplo, P si y solo si Q significa que P es verdadero siempre que Q sea ​​verdadero, y el único caso en el que Pes verdadero si Q también es cierto, mientras que en el caso de P si Q , podría haber otros escenarios donde P es verdadero y Q es falso.

Por escrito, las frases comúnmente utilizadas como alternativas a P "si y solo si" Q incluyen: Q es necesario y suficiente para P , P es equivalente (o materialmente equivalente) a Q (compárese con la implicación material ), P precisamente si Q , P con precisión (o exactamente) cuando Q , P exactamente en caso de que Q y P Q por si acaso . ^[3] Algunos autores consideran que "iff" no es adecuado en la escritura formal; ^[4] otros lo consideran un "caso límite" y toleran su uso. ^[5]

En fórmulas lógicas, se utilizan símbolos lógicos, como ^[6] y , ^{[7] en} lugar de estas frases; consulte § Notación a continuación.${\displaystyle \leftrightarrow }$${\displaystyle \Leftrightarrow }$

Definición

La tabla de verdad de P Q es la siguiente: ^{[8] [9]}${\displaystyle \Leftrightarrow }$

Mesa de la verdad

PAG	Q	P Q${\displaystyle \Rightarrow }$	P Q${\displaystyle \Leftarrow }$	P  Q${\displaystyle \Leftrightarrow }$
T	T	T	T	T
T	F	F	T	F
F	T	T	F	F
F	F	T	T	T

Es equivalente al producido por la puerta XNOR , y opuesto al producido por la puerta XOR . ^[10]

Uso

Notación

Los símbolos lógicos correspondientes son "↔", ^[6] " ", ^[7] y " ≡ ", ^[11] ya veces "iff". Por lo general, se tratan como equivalentes. Sin embargo, algunos textos de lógica matemática (particularmente los de lógica de primer orden , en lugar de lógica proposicional ) hacen una distinción entre estos, en los que el primero, ↔, se usa como símbolo en fórmulas lógicas, mientras que ⇔ se usa en razonamientos sobre esas fórmulas lógicas (por ejemplo, en metalógica ). En Łukasiewicz 's notación polaca , es el símbolo del prefijo 'E'. ^[12]${\displaystyle \Leftrightarrow }$

Otro término para este conectivo lógico es exclusivo ni .

En TeX , "si y solo si" se muestra como una flecha doble larga: mediante el comando \ iff. ^[13]${\displaystyle \iff }$

Pruebas

En la mayoría de los sistemas lógicos , se prueba un enunciado de la forma "P iff Q" probando "si P, entonces Q" y "si Q, entonces P", o "si P, entonces Q" y "si no-P , luego no-Q ". ^[1] Probar este par de afirmaciones a veces conduce a una prueba más natural, ya que no existen condiciones obvias en las que uno pueda inferir un bicondicional directamente. Una alternativa es probar la disyunción "(P y Q) o (no-P y no-Q)", que a su vez puede inferirse directamente de cualquiera de sus disyunciones, es decir, porque "sif" es funcional de verdad ", P iff Q "sigue si P y Q han demostrado ser ambos verdaderos, o ambos falsos.

Origen de iff y pronunciación

El uso de la abreviatura "iff" apareció por primera vez impresa en el libro General Topology de John L. Kelley de 1955 . ^[14] Su invención a menudo se le atribuye a Paul Halmos , quien escribió "Inventé 'iff', para 'si y sólo si', pero nunca pude creer que fuera realmente su primer inventor". ^[15]

No está claro cómo se pretendía pronunciar "iff". En la práctica actual, la 'palabra' única "iff" casi siempre se lee como las cuatro palabras "si y sólo si". Sin embargo, en el prefacio de General Topology , Kelley sugiere que debería leerse de manera diferente: "En algunos casos donde el contenido matemático requiere 'si y solo si' y la eufonía exige algo menos, utilizo Halmos '' iff '". Los autores de un libro de texto de matemáticas discreto sugieren: ^[16] "En caso de que necesite pronunciar iff, agárrese realmente a la 'ff' para que la gente escuche la diferencia de 'if'", lo que implica que "iff" podría pronunciarse como [ ɪfː] .

Uso en definiciones

Técnicamente, las definiciones son siempre declaraciones "si y sólo si"; algunos textos, como Topología general de Kelley, siguen las estrictas exigencias de la lógica y utilizan "si y sólo si" o sif en las definiciones de nuevos términos. ^[17] Sin embargo, este uso lógicamente correcto de "si y solo si" es relativamente poco común, ya que la mayoría de los libros de texto, trabajos de investigación y artículos (incluidos los artículos de Wikipedia en inglés) siguen la convención especial para interpretar "si" como "si y solo si si ", siempre que se trate de una definición matemática (como en" un espacio topológico es compacto si cada cubierta abierta tiene una subcubierta finita "). ^[18]

Distinción de "si" y "solo si"

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• "Madison se comerá la fruta si es una manzana". (equivalente a " Solo si Madison se comerá la fruta, puede ser una manzana" o "Madison se comerá la fruta ← la fruta es una manzana" )

  Esto indica que Madison comerá frutas que sean manzanas. Sin embargo, no excluye la posibilidad de que Madison también coma plátanos u otros tipos de frutas. Todo lo que se sabe con certeza es que se comerá todas y cada una de las manzanas que encuentre. Que la fruta sea una manzana es una condición suficiente para que Madison pueda comerla.

• "Madison comerá la fruta sólo si es una manzana". (equivalente a " Si Madison se comerá la fruta, entonces es una manzana" o "Madison se comerá la fruta → la fruta es una manzana" )

  Esto establece que la única fruta que comerá Madison es una manzana. Sin embargo, no excluye la posibilidad de que Madison rechace una manzana si está disponible, en contraste con (1), que requiere que Madison coma cualquier manzana disponible. En este caso, que una determinada fruta sea una manzana es una condición necesaria para que Madison la coma. No es una condición suficiente ya que Madison podría no comerse todas las manzanas que le dan.

• "Madison comerá la fruta si y sólo si es una manzana". (equivalente a "Madison se comerá la fruta ↔ la fruta es una manzana" )

  Esta declaración deja en claro que Madison comerá todas y solo aquellas frutas que sean manzanas. No dejará ninguna manzana sin comer, y no comerá ningún otro tipo de fruta. Que una fruta determinada sea una manzana es una condición necesaria y suficiente para que Madison pueda comerla.

La suficiencia es lo contrario de la necesidad. Es decir, dada P → Q (es decir, si P entonces Q ), P sería una condición suficiente para Q , y Q sería una condición necesaria para P . Además, dado P → Q , es cierto que ¬Q → ¬P (donde ¬ es el operador de negación, es decir, "no"). Esto significa que la relación entre P y Q , establecida por P → Q , se puede expresar de las siguientes formas, todas equivalentes:

P es suficiente para Q

Q es necesario para P

¬Q es suficiente para ¬P

¬P es necesario para ¬Q

Como ejemplo, tome el primer ejemplo anterior, que dice P → Q , donde P es "la fruta en cuestión es una manzana" y Q es "Madison se comerá la fruta en cuestión". Las siguientes son cuatro formas equivalentes de expresar esta misma relación:

Si la fruta en cuestión es una manzana, Madison se la comerá.

Solo si Madison se comerá la fruta en cuestión, será una manzana.

Si Madison no quiere comer la fruta en cuestión, entonces no es una manzana.

Solo si la fruta en cuestión no es una manzana, Madison no la comerá.

Aquí, el segundo ejemplo puede reformularse en forma de si ... entonces como "Si Madison se comerá la fruta en cuestión, entonces es una manzana"; tomando esto junto con el primer ejemplo, encontramos que el tercer ejemplo se puede enunciar como "Si la fruta en cuestión es una manzana, entonces Madison se la comerá; y si Madison se comerá la fruta, entonces es una manzana".

En términos de diagramas de Euler

• A es un subconjunto propio de B . Un número está en A solo si está en B ; un número está en B si está en una .

• C es un subconjunto pero no es un subconjunto propio de B . Un número es en B si y sólo si es en C , y un número está en C si y sólo si se encuentra en B .

Los diagramas de Euler muestran relaciones lógicas entre eventos, propiedades, etc. "P sólo si Q", "si P entonces Q" y "P → Q" significan que P es un subconjunto , ya sea propio o impropio, de Q. "P si Q", "si Q entonces P", y Q → P todos significan que Q es un subconjunto propio o impropio de P. "P si y solo si Q" y "Q si y solo si P" ambos significan que los conjuntos P y Q son idénticos entre sí.

Uso más general

Iff también se usa fuera del campo de la lógica. Dondequiera que se aplique la lógica, especialmente en discusiones matemáticas , tiene el mismo significado que el anterior: es una abreviatura de si y solo si , lo que indica que una declaración es necesaria y suficiente para la otra. ^[1] Este es un ejemplo de jerga matemática (aunque, como se señaló anteriormente, si se usa con más frecuencia que iff en declaraciones de definición).

Los elementos de X son todos y sólo los elementos de Y significa: "Para cualquier z en el dominio del discurso , z está en X si y sólo si z está en Y ".

Ver también

• Relación de equivalencia
• Bicondicional lógico
• Igualdad lógica
• Equivalencia lógica
• Polisillogismo

Referencias

1. "El glosario definitivo de jerga matemática superior: si y solo si" . Bóveda de matemáticas . El 1 de agosto de 2019 . Consultado el 22 de octubre de 2019 .
2. Copi, IM; Cohen, C .; Flage, DE (2006). Essentials of Logic (Segunda ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey: Pearson Education. pag. 197. ISBN 978-0-13-238034-8.
3. Weisstein, Eric W. "Iff". De MathWorld - Un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Iff.html
4. Por ejemplo, Daepp, Ulrich; Gorkin, Pamela (2011), Lectura, escritura y demostración: una mirada más cercana a las matemáticas , Textos de pregrado en matemáticas , Springer, p. 52, ISBN 9781441994790, Si bien puede ser un gran ahorro de tiempo, no se recomienda que en la escritura formal.
5. Rothwell, Edward J .; Cloud, Michael J. (2014), Redacción de ingeniería por diseño: Creación de documentos formales de valor duradero , CRC Press, p. 98, ISBN 9781482234312, Es común en la escritura matemática
6. "Lista completa de símbolos lógicos" . Bóveda de matemáticas . 6 de abril de 2020 . Consultado el 4 de septiembre de 2020 .
7. Peil, Timothy. "Condicionales y Bicondicionales" . web.mnstate.edu . Consultado el 4 de septiembre de 2020 .
8. p <=> q . Wolfram | Alfa
9. Si y solo si , Departamento de Matemáticas de la UHM, los teoremas que tienen la forma "P si y solo Q" son muy apreciados en matemáticas. Dan lo que se llama condiciones "necesarias y suficientes", y dan nuevas formas completamente equivalentes y, con suerte, interesantes de decir exactamente lo mismo.
10. "XOR / XNOR / Paridad impar / Puerta de paridad par" . www.cburch.com . Consultado el 22 de octubre de 2019 .
11. Weisstein, Eric W. "Equivalente" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 4 de septiembre de 2020 .
12. "Jan Łukasiewicz> notación polaca o sin paréntesis de Łukasiewicz (enciclopedia de filosofía de Stanford)" . plato.stanford.edu . Consultado el 22 de octubre de 2019 .
13. "LaTeX: símbolo" . Arte de resolver problemas . Consultado el 22 de octubre de 2019 .
14. Topología general, reedición ISBN 978-0-387-90125-1 
15. Nicholas J. Higham (1998). Manual de redacción para las ciencias matemáticas (2ª ed.). SIAM. pag. 24. ISBN 978-0-89871-420-3.
16. Maurer, Stephen B .; Ralston, Anthony (2005). Matemáticas algorítmicas discretas (3ª ed.). Boca Raton, Fla .: CRC Press. pag. 60. ISBN 1568811667.
17. Por ejemplo, de General Topology , p. 25: "Un conjunto es contable si es finito o infinito numerable". [negrita en el original]
18. Krantz, Steven G. (1996), A Primer of Mathematical Writing , American Mathematical Society, p. 71 , ISBN 978-0-8218-0635-7

Enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Si y solo si .

• "Tablas de verdad para si y solo si" . Archivado desde el original el 5 de mayo de 2000.
• Registro de idioma: "Por si acaso"
• Filosofía del Sur de California para estudiantes graduados en filosofía: "Por si acaso"