Imagen (matemáticas)

El conjunto de todos los valores de una función.

Para otros usos, consulte Imagen (desambiguación) .

f es una función de dominio X a codomain Y . El óvalo amarillo dentro de Y es la imagen de f .

Estructura algebraica → Teoría de grupos Teoría de grupos
Nociones basicas Subgrupo Subgrupo normal Grupo cociente Producto (semi) directo Homomorfismos de grupo núcleo imagen suma directa producto de corona sencillo finito infinito continuo multiplicativo aditivo cíclico abeliano diedro nilpotente soluble Glosario de teoría de grupos Lista de temas de teoría de grupos
Grupos finitos Clasificación de grupos simples finitos cíclico alterno Tipo de mentira esporádico Teorema de Cauchy Teorema de lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall grupo p Grupo abeliano elemental Grupo Frobenius Multiplicador de Schur Grupo simétrico S n Klein de cuatro grupos V Grupo diedro D n Grupo de cuaterniones Q Grupo dicíclico Dic n
Grupos discretos Celosías Enteros ( Z ) Grupo libre Grupos modulares PSL (2, Z ) SL (2, Z ) Grupo aritmético Enrejado Grupo hiperbólico
Grupos topológicos y de mentira Solenoide Circulo GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) Ortogonal O ( n ) Euclidiana E ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitario U ( n ) SU unitario especial ( n ) Simpléctica Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conformal Difeomorfismo Círculo Grupo de mentiras de dimensión infinita O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algebraicos Grupo algebraico lineal Grupo reductivo Variedad abeliana Curva elíptica
v t mi

En matemáticas , la imagen de una función es el conjunto de todos los valores de salida que puede producir.

De manera más general, la evaluación de una función f dada en cada elemento de un subconjunto A dado de su dominio produce un conjunto, llamado la " imagen de A bajo (oa través de) f ". Del mismo modo, la imagen inversa (o imagen inversa ) de un subconjunto dado B de la codomain de f , es el conjunto de todos los elementos del dominio que mapa para los miembros de B .

La imagen y la imagen inversa también se pueden definir para relaciones binarias generales , no solo funciones.

Definición

La palabra "imagen" se utiliza de tres formas relacionadas. En estas definiciones, f  : X → Y es una función de la serie X al conjunto Y .

Imagen de un elemento

Si x es un miembro de X , entonces la imagen de x debajo de f , denotada f ( x ), ^[1] es el valor de f cuando se aplica ax. f ( x ) se conoce alternativamente como la salida de f para el argumento x .

Imagen de un subconjunto

La imagen de un subconjunto A ⊆ X bajo f , denotado , es el subconjunto de Y que se puede definir usando la notación del constructor de conjuntos de la siguiente manera: ^{[2] [3]}${\displaystyle f[A]}$

${\displaystyle f[A]=\{f(x)\mid x\in A\}}$

Cuando no hay riesgo de confusión, simplemente se escribe como . Esta convención es común; el significado pretendido debe inferirse del contexto. Esto hace que f [.] Una función cuyo dominio es el conjunto potencia de X (el conjunto de todos los subconjuntos de X ), y cuya codomain es el conjunto potencia de Y . Consulte § Notación a continuación para obtener más información.${\displaystyle f[A]}$${\displaystyle f(A)}$

Imagen de una función

La imagen de una función es la imagen de todo su dominio , también conocido como rango de la función. ^[4]

Generalización a relaciones binarias

Si R es una relación binaria arbitraria en X × Y , entonces el conjunto {y∈ Y | xRy por algún x ∈ X } se llama la imagen, o la gama, de R . Dualmente, el conjunto { x ∈ X | xRy para algunos y∈ Y } se denomina el dominio de R .

Imagen inversa

"Preimage" vuelve a dirigir aquí. Para el ataque criptográfico a las funciones hash, consulte ataque de preimagen .

Deje f una función de X a Y . La preimagen o imagen inversa de un conjunto B ⊆ Y bajo f , denotado por , es el subconjunto de X definido por${\displaystyle f^{-1}[B]}$

${\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,|\,f(x)\in B\}.}$

Otras notaciones incluyen f  ^-1 ( B ) ^[5] y f  ^- ( B ) . ^[6] La imagen inversa de un singleton , denotado por f  ⁻¹ [{ y }] o por f  ⁻¹ [ y ], también se llama fibra sobre yo el conjunto de niveles de y . El conjunto de todas las fibras más de los elementos de Y es una familia de conjuntos indexados por Y .

Por ejemplo, para la función f ( x ) = x ² , la imagen inversa de {4} sería {−2, 2}. Nuevamente, si no hay riesgo de confusión, f  ⁻¹ [ B ] se puede denotar por f  ⁻¹ ( B ), y f  ⁻¹ también se puede considerar como una función del conjunto de potencias de Y al conjunto de potencias de X . La notación f  ⁻¹ no debe confundirse con la de función inversa , aunque coincide con la habitual para biyecciones en que la imagen inversa de B bajo fes la imagen de B bajo f  ⁻¹ .

Notación para imagen e imagen inversa

Las notaciones tradicionales utilizadas en la sección anterior pueden resultar confusas. Una alternativa ^[7] es dar nombres explícitos para la imagen y la preimagen como funciones entre conjuntos de potencias:

Notación de flechas

• ${\displaystyle f^{\rightarrow }:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)}$ con ${\displaystyle f^{\rightarrow }(A)=\{f(a)\;|\;a\in A\}}$
• ${\displaystyle f^{\leftarrow }:{\mathcal {P}}(Y)\rightarrow {\mathcal {P}}(X)}$ con ${\displaystyle f^{\leftarrow }(B)=\{a\in X\;|\;f(a)\in B\}}$

Notación de estrellas

• ${\displaystyle f_{\star }:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)}$ en vez de ${\displaystyle f^{\rightarrow }}$
• ${\displaystyle f^{\star }:{\mathcal {P}}(Y)\rightarrow {\mathcal {P}}(X)}$ en vez de ${\displaystyle f^{\leftarrow }}$

Otra terminología

• Una notación alternativa para f [ A ] utilizado en la lógica matemática y la teoría de conjuntos es f  " A . ^{[8] [9]}
• Algunos textos se refieren a la imagen de f como el rango de f , pero este uso debe evitarse porque la palabra "rango" también se usa comúnmente para significar el codominio de f .

Ejemplos

1. f : {1, 2, 3} → { a, b, c, d } definido por${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}a,&{\mbox{if }}x=1\\a,&{\mbox{if }}x=2\\c,&{\mbox{if }}x=3.\end{matrix}}\right.}$
   La imagen del conjunto {2, 3} debajo de f es f ({2, 3}) = { a, c }. La imagen de la función f es { a, c }. La preimagen de a es f  ⁻¹ ({ a }) = {1, 2}. La preimagen de { a, b } también es {1, 2}. La preimagen de { b , d } es el conjunto vacío {}.
2. f : R → R definido por f ( x ) = x ² .
   La imagen de {−2, 3} debajo de f es f ({−2, 3}) = {4, 9}, y la imagen de f es R ⁺ . La preimagen de {4, 9} bajo f es f  ⁻¹ ({4, 9}) = {−3, −2, 2, 3}. La preimagen del conjunto N = { n ∈ R | n <0} debajo de f es el conjunto vacío, porque los números negativos no tienen raíces cuadradas en el conjunto de reales.
3. f : R ² → R definido por f ( x , y ) = x ² + y ² .
   Las fibras f  ⁻¹ ({ a }) son círculos concéntricos alrededor del origen , el origen mismo y el conjunto vacío , dependiendo de si a > 0, a = 0 o a <0, respectivamente.
4. Si M es un colector y π : TM → M es la canónica proyección desde el fibrado tangente TM a M , entonces las fibras de π son los espacios tangentes T _x ( M ) para x ∈ M . Este también es un ejemplo de un haz de fibras .
5. Un grupo de cocientes es una imagen homomórfica.

Propiedades

Ver también: Álgebra de conjuntos y Lista de identidades y relaciones de conjuntos

Contraejemplos basados ​​en f : ℝ → ℝ, x ↦ x 2 , que muestran que la igualdad generalmente no es necesaria para algunas leyes:
f ( UNA 1 ∩ UNA 2 ) ⊊ f ( UNA 1 ) ∩ f ( UNA 2 )
f ( f −1 ( B 3 )) ⊊ B 3
f −1 ( f ( UNA 4 )) ⊋ UNA 4

General

Para cada función y todos los subconjuntos y , se cumplen las siguientes propiedades:${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle B\subseteq Y}$

Imagen	Preimagen
${\displaystyle f(X)\subseteq Y}$	${\displaystyle f^{-1}(Y)=X}$
${\displaystyle f(f^{-1}(Y))=f(X)}$	${\displaystyle f^{-1}(f(X))=X}$
${\displaystyle f(f^{-1}(B))\subseteq B}$ (igual si , por ejemplo, es sobreyectiva) [10] [11]${\displaystyle B\subseteq f(X)}$${\displaystyle f}$	${\displaystyle f^{-1}(f(A))\supseteq A}$ (igual si es inyectivo) [10] [11]${\displaystyle f}$
${\displaystyle f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)}$	${\displaystyle (f\vert _{A})^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)}$
${\displaystyle f(f^{-1}(f(A)))=f(A)}$	${\displaystyle f^{-1}(f(f^{-1}(B)))=f^{-1}(B)}$
${\displaystyle f(A)=\varnothing \Leftrightarrow A=\varnothing }$	${\displaystyle f^{-1}(B)=\varnothing \Leftrightarrow B\subseteq Y\setminus f(X)}$
${\displaystyle f(A)\supseteq B\Leftrightarrow \exists C\subseteq A:f(C)=B}$	${\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq A\Leftrightarrow f(A)\subseteq B}$
${\displaystyle f(A)\supseteq f(X\setminus A)\Leftrightarrow f(A)=f(X)}$	${\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\setminus B)\Leftrightarrow f^{-1}(B)=X}$
${\displaystyle f(X\setminus A)\supseteq f(X)\setminus f(A)}$	${\displaystyle f^{-1}(Y\setminus B)=X\setminus f^{-1}(B)}$[10]
${\displaystyle f(A\cup f^{-1}(B))\subseteq f(A)\cup B}$[12]	${\displaystyle f^{-1}(f(A)\cup B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)}$[12]
${\displaystyle f(A\cap f^{-1}(B))=f(A)\cap B}$[12]	${\displaystyle f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)}$[12]

También:

• ${\displaystyle f(A)\cap B=\varnothing \Leftrightarrow A\cap f^{-1}(B)=\varnothing }$

Varias funciones

Para funciones y con subconjuntos y , se cumplen las siguientes propiedades:${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle g:Y\rightarrow Z}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle C\subseteq Z}$

• ${\displaystyle (g\circ f)(A)=g(f(A))}$
• ${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))}$

Varios subconjuntos de dominio o codominio

Para la función y subconjuntos y , las siguientes propiedades:${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$${\displaystyle A_{1},A_{2}\subseteq X}$${\displaystyle B_{1},B_{2}\subseteq Y}$

Imagen	Preimagen
${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\Rightarrow f(A_{1})\subseteq f(A_{2})}$	${\displaystyle B_{1}\subseteq B_{2}\Rightarrow f^{-1}(B_{1})\subseteq f^{-1}(B_{2})}$
${\displaystyle f(A_{1}\cup A_{2})=f(A_{1})\cup f(A_{2})}$[12] [13]	${\displaystyle f^{-1}(B_{1}\cup B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cup f^{-1}(B_{2})}$
${\displaystyle f(A_{1}\cap A_{2})\subseteq f(A_{1})\cap f(A_{2})}$[12] [13] (igual sies inyectivo [14] )${\displaystyle f}$	${\displaystyle f^{-1}(B_{1}\cap B_{2})=f^{-1}(B_{1})\cap f^{-1}(B_{2})}$
${\displaystyle f(A_{1}\setminus A_{2})\supseteq f(A_{1})\setminus f(A_{2})}$[12] (igual sies inyectivo [14] )${\displaystyle f}$	${\displaystyle f^{-1}(B_{1}\setminus B_{2})=f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2})}$[12]
${\displaystyle f(A_{1}\triangle A_{2})\supseteq f(A_{1})\triangle f(A_{2})}$ (igual si es inyectivo)${\displaystyle f}$	${\displaystyle f^{-1}(B_{1}\triangle B_{2})=f^{-1}(B_{1})\triangle f^{-1}(B_{2})}$

Los resultados que relacionan imágenes y preimágenes con el álgebra ( booleana ) de intersección y unión funcionan para cualquier colección de subconjuntos, no solo para pares de subconjuntos:

• ${\displaystyle f\left(\bigcup _{s\in S}A_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f(A_{s})}$
• ${\displaystyle f\left(\bigcap _{s\in S}A_{s}\right)\subseteq \bigcap _{s\in S}f(A_{s})}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcup _{s\in S}f^{-1}(B_{s})}$
• ${\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{s\in S}B_{s}\right)=\bigcap _{s\in S}f^{-1}(B_{s})}$

(Aquí, S puede ser infinito, incluso incontablemente infinito ).

Con respecto al álgebra de subconjuntos descrita anteriormente, la función de imagen inversa es un homomorfismo reticular , mientras que la función de imagen es solo un homomorfismo semirreticulado (es decir, no siempre conserva las intersecciones).

Ver también

• Biyección, inyección y sobreyección
• Imagen (teoría de categorías)
• Kernel de una función
• Establecer inversión

Notas

1. "Compendio de símbolos matemáticos" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-01 . Consultado el 28 de agosto de 2020 .
2. "5.4: Funciones e imágenes / preimágenes de conjuntos" . LibreTexts de Matemáticas . 2019-11-05 . Consultado el 28 de agosto de 2020 .
3. Paul R. Halmos (1968). Teoría de conjuntos ingenua . Princeton: Nostrand. Aquí: Sección 8
4. Weisstein, Eric W. "Imagen" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 28 de agosto de 2020 .
5. "Lista completa de símbolos de álgebra" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-25 . Consultado el 28 de agosto de 2020 .
6. Dolecki y Mynard 2016 , págs. 4-5.
7. Blyth 2005 , p. 5.
8. Jean E. Rubin (1967). Teoría de conjuntos para el matemático . Holden-Day. pag. xix. ASIN B0006BQH7S . 
9. M. Randall Holmes: Inhomogeneity of the urelements in the usual models of NFU , 29 de diciembre de 2005, en: Semantic Scholar, p. 2
10. Véase Halmos 1960 , p. 39
11. Véase Munkres 2000 , p. 19
12. Véase la p. 388 de Lee, John M. (2010). Introducción a los colectores topológicos, 2ª ed.
13. Kelley , 1985 , p. 85
14. Véase Munkres 2000 , p. 21

Referencias

• Artin, Michael (1991). Álgebra . Prentice Hall. ISBN 81-203-0871-9.
• Blyth, TS (2005). Celosías y estructuras algebraicas ordenadas . Saltador. ISBN 1-85233-905-5..
• Dolecki, Szymon ; Mynard, Frederic (2016). Fundamentos de convergencia de la topología . Nueva Jersey: World Scientific Publishing Company. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917 .
• Halmos, Paul R. (1960). Teoría de conjuntos ingenua . La Serie Universitaria en Matemáticas de Pregrado. van Nostrand Company. Zbl  0087.04403 .
• Kelley, John L. (1985). Topología general . Textos de Posgrado en Matemáticas . 27 (2 ed.). Birkhäuser. ISBN 978-0-387-90125-1.
• Munkres, James R. (2000). Topología (Segunda ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260 .

Este artículo incorpora material de Fiber en PlanetMath , que tiene la licencia Creative Commons Attribution / Share-Alike License .