En matemáticas , una familia , o familia indexada , es informalmente una colección de objetos, cada uno asociado con un índice de algún conjunto de índices. Por ejemplo, una familia de números reales , indexada por el conjunto de números enteros, es una colección de números reales, donde una función dada selecciona para cada número entero un número real (posiblemente el mismo).
Más formalmente, una familia de conjuntos es una función matemática junto con su dominio I y la imagen X . A menudo, los elementos del conjunto X se denominan componentes de la familia. En esta vista, las familias indexadas se interpretan como colecciones de elementos indexados en lugar de funciones. El conjunto I se denomina índice (conjunto) de la familia y X es el conjunto indexado .
Enunciado matemático
Definición. Sean I y X conjuntos yx una función , tal que
entonces esto establece una familia de elementos en X indexados por I , que se denota poro simplemente ( x i ) , cuando se supone que el conjunto de índices es conocido. A veces se utilizan corchetes angulares o llaves en lugar de paréntesis, este último con el riesgo de confundir familias con conjuntos.
Una familia indexada se puede convertir en un conjunto considerando el conjunto , es decir, la imagen de I debajo de x . Dado que no se requiere que el mapeo x sea inyectivo , puede existircon i ≠ j tal que x i = x j . Por lo tanto,, donde | A | denota la cardinalidad del conjunto A .
El conjunto de índices no está restringido a ser contable y, por supuesto, se puede indexar un subconjunto de un conjunto de potencias, lo que da como resultado una familia de conjuntos indexados . Para conocer las diferencias importantes en conjuntos y familias, consulte a continuación.
Ejemplos de
Notación de índice
Siempre que se utiliza la notación de índice, los objetos indexados forman una familia. Por ejemplo, considere la siguiente oración:
Los vectores v 1 , ..., v n son linealmente independientes.
Aquí ( v i ) i ∈ {1, ..., n } denota una familia de vectores. El i -ésimo vector v i solo tiene sentido con respecto a esta familia, ya que los conjuntos están desordenados, por lo que no hay i -ésimo vector de un conjunto. Además, la independencia lineal se define como propiedad de una colección; por tanto, es importante si esos vectores son linealmente independientes como conjunto o como familia. Por ejemplo, si consideramos n = 2 y v 1 = v 2 = (1, 0) como el mismo vector, entonces el conjunto de ellos consiste en un solo elemento (como un conjunto es una colección de elementos distintos) y es linealmente independiente, pero la familia contiene el mismo elemento dos veces (ya que tiene un índice diferente) y es linealmente dependiente (los mismos vectores son linealmente dependientes).
Matrices
Suponga que un texto dice lo siguiente:
Una matriz cuadrada A es invertible, si y solo si las filas de A son linealmente independientes.
Como en el ejemplo anterior, es importante que las filas de A sean linealmente independientes como familia, no como conjunto. Por ejemplo, considere la matriz
El conjunto de filas solo consta de un solo elemento (1, 1) y es linealmente independiente, pero la matriz no es invertible. La familia de filas contiene dos elementos y es linealmente dependiente. Por lo tanto, la declaración es correcta si se refiere a la familia de filas, pero incorrecta si se refiere al conjunto de filas. (La afirmación también es correcta cuando se interpreta que "las filas" se refieren a un conjunto múltiple , en el que los elementos también se mantienen distintos pero que carece de la estructura de una familia indexada).
Funciones y familias son formalmente equivalente, ya que cualquier función f con dominio I induce una familia ( f ( i )) i ∈ I . En la práctica, sin embargo, una familia se ve como una colección, no como una función: ser un elemento de una familia es equivalente a estar en el rango de la función correspondiente. Una familia contiene cualquier elemento exactamente una vez, si y solo si la función correspondiente es inyectiva .
Como un conjunto , una familia es un recipiente y cualquier conjunto X da lugar a una familia ( x x ) x ∈ X . Así, cualquier conjunto se convierte naturalmente en una familia. Para cualquier familia ( A i ) i ∈ I existe el conjunto de todos los elementos { A i | i ∈ I }, pero esto no lleva ninguna información sobre la contención múltiple o la estructura dada por I . Por lo tanto, al usar un conjunto en lugar de la familia, se puede perder parte de la información.
Ejemplos de
Sea n el conjunto finito {1, 2, ..., n }, donde n es un número entero positivo .
- Un par ordenado es una familia indexada por el conjunto de dos elementos 2 = {1, 2}.
- Una n- tupla es una familia indexada por n .
- Una secuencia infinita es una familia indexada por números naturales .
- Una lista es una n- tupla para una n no especificada o una secuencia infinita.
- Una matriz de n × m es una familia indexada por el producto cartesiano n × m .
- Una red es una familia indexada por un conjunto dirigido .
Operaciones sobre familias
Los conjuntos de índices se utilizan a menudo en sumas y otras operaciones similares. Por ejemplo, si ( a i ) i ∈ I es una familia de números, la suma de todos esos números se denota por
Cuando ( A i ) i ∈ I es una familia de conjuntos , la unión de todos esos conjuntos se denota por
Lo mismo ocurre con las intersecciones y los productos cartesianos .
Subfamilia
Una familia ( B i ) i ∈ J es una subfamilia de una familia ( A i ) i ∈ I , si y solo si J es un subconjunto de I y para todo i en J
- B yo = A yo
Uso en teoría de categorías
El concepto análogo en la teoría de categorías se llama diagrama . Un diagrama es un funtor que da lugar a una familia de objetos indexados en una categoría C , indexados por otra categoría J y relacionados por morfismos en función de dos índices.
Ver también
Referencias
- Sociedad Matemática de Japón , Diccionario enciclopédico de matemáticas , 2ª edición, 2 vols., Kiyosi Itô (ed.), MIT Press, Cambridge, MA, 1993. Citado como EDM (volumen).