Inductancia

Property of electrical conductors

Inductancia
Símbolos comunes	L
Unidad SI	Enrique (H)
En unidades base SI	kg ⋅ m 2 ⋅ s −2 ⋅ A −2
Derivaciones de otras cantidades	L = V / ( I / t ) L = Φ / I
Dimensión	M 1 · L 2 · T −2 · I −2

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Formulación covariante Tensor electromagnético ( tensor de tensión-energía ) Cuatro corrientes Electromagnético de cuatro potenciales
Científicos Amperio Biot Culombio Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Enrique Hertz Joule Lenz Lorentz Maxwell Ørsted Ohm Ritchie Savart Cantante Tesla Volta Weber
v t mi

En electromagnetismo y electrónica , la inductancia es la tendencia de un conductor eléctrico a oponerse a un cambio en la corriente eléctrica que lo atraviesa. El flujo de corriente eléctrica crea un campo magnético alrededor del conductor. La intensidad del campo depende de la magnitud de la corriente y sigue cualquier cambio en la corriente. Según la ley de inducción de Faraday , cualquier cambio en el campo magnético a través de un circuito induce una fuerza electromotriz (EMF) ( voltaje ) en los conductores, un proceso conocido como inducción electromagnética.. Este voltaje inducido creado por la corriente cambiante tiene el efecto de oponerse al cambio de corriente. Esto está establecido por la ley de Lenz , y el voltaje se llama EMF .

La inductancia se define como la relación entre el voltaje inducido y la tasa de cambio de la corriente que lo causa. Es un factor de proporcionalidad que depende de la geometría de los conductores del circuito y de la permeabilidad magnética de los materiales cercanos. ^[1] Un componente electrónico diseñado para agregar inductancia a un circuito se llama inductor . Por lo general, consta de una bobina o hélice de alambre.

El término inductancia fue acuñado por Oliver Heaviside en 1886. ^[2] Es costumbre utilizar el símbolo de inductancia, en honor al físico Heinrich Lenz . ^{[3] [4]} En el sistema SI , la unidad de inductancia es Henry (H), que es la cantidad de inductancia que causa un voltaje de un voltio , cuando la corriente cambia a una velocidad de un amperio por segundo. Lleva el nombre de Joseph Henry , quien descubrió la inductancia independientemente de Faraday. ^[5]${\displaystyle L}$

Historia

Artículo principal: Historia de la teoría electromagnética.

La historia de la inducción electromagnética, una faceta del electromagnetismo, comenzó con las observaciones de los antiguos: carga eléctrica o electricidad estática (frotar seda sobre ámbar ), corriente eléctrica ( relámpago ) y atracción magnética ( piedra imán ). La comprensión de la unidad de estas fuerzas de la naturaleza y la teoría científica del electromagnetismo comenzó a fines del siglo XVIII.

La inducción electromagnética fue descrita por primera vez por Michael Faraday en 1831. ^{[6] [7]} En el experimento de Faraday, envolvió dos cables alrededor de lados opuestos de un anillo de hierro. Esperaba que, cuando la corriente comenzara a fluir en un cable, una especie de onda viajaría a través del anillo y causaría algún efecto eléctrico en el lado opuesto. Usando un galvanómetro , observó un flujo de corriente transitoria en la segunda bobina de alambre cada vez que se conectaba o desconectaba una batería de la primera bobina. ^[8] Esta corriente fue inducida por el cambio en el flujo magnético que ocurrió cuando la batería fue conectada y desconectada. ^[9]Faraday encontró varias otras manifestaciones de inducción electromagnética. Por ejemplo, vio corrientes transitorias cuando rápidamente deslizó una barra magnética dentro y fuera de una bobina de cables, y generó una corriente constante ( CC ) al girar un disco de cobre cerca de la barra magnética con un cable eléctrico deslizante (" Disco de Faraday "). ^[10]

Fuente de inductancia

Una corriente que fluye a través de un conductor genera un campo magnético alrededor del conductor, que se describe mediante la ley circuital de Ampere . El flujo magnético total a través de un circuito es igual al producto de la componente perpendicular de la densidad de flujo magnético y el área de la superficie que abarca la trayectoria de la corriente. Si la corriente varía, el flujo magnético a través del circuito cambia. Según la ley de inducción de Faraday , cualquier cambio en el flujo a través de un circuito induce una fuerza electromotriz (EMF) o voltaje en el circuito, proporcional a la tasa de cambio de flujo.${\displaystyle i}$${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle v}$

${\displaystyle v(t)=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\,\Phi (t)}$

El signo negativo en la ecuación indica que el voltaje inducido está en una dirección que se opone al cambio en la corriente que lo creó; esto se llama ley de Lenz . Por lo tanto, el potencial se denomina EMF trasero . Si la corriente va en aumento, la tensión es positiva en el extremo del conductor por donde entra la corriente y negativa en el extremo por donde sale, tendiendo a reducir la corriente. Si la corriente es decreciente, el voltaje es positivo en el extremo por el cual la corriente sale del conductor, tendiendo a mantener la corriente. La autoinductancia, generalmente llamada inductancia, es la relación entre el voltaje inducido y la tasa de cambio de la corriente.${\displaystyle L}$

${\displaystyle v(t)=L\,{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}\qquad \qquad \qquad (1)\;}$

Por tanto, la inductancia es una propiedad de un conductor o circuito, debido a su campo magnético, que tiende a oponerse a los cambios de corriente a través del circuito. La unidad de inductancia en el sistema SI es Henry (H), que lleva el nombre del científico estadounidense Joseph Henry , que es la cantidad de inductancia que genera un voltaje de un voltio cuando la corriente cambia a una velocidad de un amperio por segundo.

Todos los conductores tienen cierta inductancia, que puede tener efectos deseables o perjudiciales en dispositivos eléctricos prácticos. La inductancia de un circuito depende de la geometría de la trayectoria de la corriente y de la permeabilidad magnética de los materiales cercanos; Los materiales ferromagnéticos con una mayor permeabilidad como el hierro cerca de un conductor tienden a incrementar el campo magnético y la inductancia. Cualquier alteración en un circuito que aumente el flujo (campo magnético total) a través del circuito producido por una corriente dada aumenta la inductancia, porque la inductancia también es igual a la relación entre el flujo magnético y la corriente ^{[11] [12] [13] [14 ]}

${\displaystyle L={\Phi (i) \over i}}$

Un inductor es un componente eléctrico que consta de un conductor con forma para aumentar el flujo magnético, para agregar inductancia a un circuito. Por lo general, consiste en un alambre enrollado en una bobina o hélice . Un cable en espiral tiene una inductancia más alta que un cable recto de la misma longitud, debido a que las líneas del campo magnético pasan por el circuito varias veces, tiene múltiples enlaces de flujo . La inductancia es proporcional al cuadrado del número de vueltas en la bobina, asumiendo un enlace de flujo completo.

La inductancia de una bobina se puede aumentar colocando un núcleo magnético de material ferromagnético en el orificio del centro. El campo magnético de la bobina magnetiza el material del núcleo, alineando sus dominios magnéticos , y el campo magnético del núcleo se suma al de la bobina, aumentando el flujo a través de la bobina. Esto se llama inductor de núcleo ferromagnético . Un núcleo magnético puede aumentar la inductancia de una bobina miles de veces.

Si hay varios circuitos eléctricos cerca uno del otro, el campo magnético de uno puede atravesar el otro; en este caso, se dice que los circuitos están acoplados inductivamente . Debido a la ley de inducción de Faraday , un cambio en la corriente en un circuito puede causar un cambio en el flujo magnético en otro circuito y así inducir un voltaje en otro circuito. El concepto de inductancia se puede generalizar en este caso definiendo la inductancia mutua del circuito y el circuito como la relación entre el voltaje inducido en el circuito y la tasa de cambio de la corriente en el circuito . Este es el principio detrás de un transformador .${\displaystyle M_{k,\ell }}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle k}$La propiedad que describe el efecto de un conductor sobre sí mismo se llama más precisamente autoinductancia , y las propiedades que describen los efectos de un conductor con corriente cambiante en los conductores cercanos se llaman inductancia mutua . ^[15]

Autoinductancia y energía magnética

Si la corriente a través de un conductor con inductancia aumenta, se induce un voltaje a través del conductor con una polaridad opuesta a la corriente, además de cualquier caída de voltaje causada por la resistencia del conductor. Las cargas que fluyen por el circuito pierden energía potencial. La energía del circuito externo necesaria para superar esta "colina de potencial" se almacena en el campo magnético aumentado alrededor del conductor. Por tanto, un inductor almacena energía en su campo magnético. En un momento dado, la potencia que fluye hacia el campo magnético, que es igual a la tasa de cambio de la energía almacenada , es el producto de la corriente y el voltaje a través del conductor ^{[16] [17] [18]}${\displaystyle v(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle p(t)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle i(t)}$${\displaystyle v(t)}$

${\displaystyle p(t)={\frac {{\text{d}}U}{{\text{d}}t}}=v(t)\,i(t)}$

Desde (1) arriba

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}U}{{\text{d}}t}}=L(i)\,i\,{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}}$

${\displaystyle {\text{d}}U=L(i)\,i\,{\text{d}}i\,}$

Cuando no hay corriente, no hay campo magnético y la energía almacenada es cero. Sin tener en cuenta las pérdidas resistivas, la energía (medida en julios , en SI ) almacenada por una inductancia con una corriente a través de ella es igual a la cantidad de trabajo requerido para establecer la corriente a través de la inductancia desde cero y, por lo tanto, el campo magnético. Esto viene dado por:${\displaystyle U}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle U=\int _{0}^{I}L(i)\,i\,{\text{d}}i\,}$

Si la inductancia es constante en el rango de corriente, la energía almacenada es ^{[16] [17] [18]}${\displaystyle L(i)}$

${\displaystyle U=L\int _{0}^{I}\,i\,{\text{d}}i}$

${\displaystyle U={\tfrac {1}{2}}L\,I^{2}}$

Por tanto, la inductancia también es proporcional a la energía almacenada en el campo magnético para una corriente determinada. Esta energía se almacena mientras la corriente se mantenga constante. Si la corriente disminuye, el campo magnético disminuye, induciendo una tensión en el conductor en sentido contrario, negativa en el extremo por donde entra la corriente y positiva en el extremo por donde sale. Esto devuelve la energía magnética almacenada al circuito externo.

Si los materiales ferromagnéticos están ubicados cerca del conductor, como en un inductor con un núcleo magnético , la ecuación de inductancia constante anterior solo es válida para regiones lineales del flujo magnético, a corrientes por debajo del nivel en el que se satura el material ferromagnético , donde la inductancia es aproximadamente constante. Si el campo magnético en el inductor se acerca al nivel en el que se satura el núcleo, la inductancia comienza a cambiar con la corriente y se debe usar la ecuación integral.

Reactancia inductiva

Las formas de onda de voltaje ( , azul)${\displaystyle v}$ y corriente ( , rojo)${\displaystyle i}$ en un inductor ideal al que se ha aplicado una corriente alterna. La corriente retrasa el voltaje en 90 °

Cuando una corriente alterna sinusoidal (CA) pasa a través de una inductancia lineal, la fuerza contraelectromotriz inducida también es sinusoidal. Si la corriente a través de la inductancia es , desde (1) por encima del voltaje a través de ella, es${\displaystyle i(t)=I_{\text{peak}}\sin \left(\omega t\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}v(t)&=L{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}=L\,{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left[I_{\text{peak}}\sin \left(\omega t\right)\right]\\&=\omega L\,I_{\text{peak}}\,\cos \left(\omega t\right)=\omega L\,I_{\text{peak}}\,\sin \left(\omega t+{\pi \over 2}\right)\end{aligned}}}$

donde es la amplitud (valor pico) de la corriente sinusoidal en amperios, es la frecuencia angular de la corriente alterna, siendo su frecuencia en hercios , y es la inductancia.${\displaystyle I_{\text{peak}}}$${\displaystyle \omega =2\pi f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle L}$

Por lo tanto, la amplitud (valor pico) del voltaje a través de la inductancia es

${\displaystyle V_{p}=\omega L\,I_{p}=2\pi f\,L\,I_{p}}$

La reactancia inductiva es la oposición de un inductor a una corriente alterna. ^[19] Se define de manera análoga a la resistencia eléctrica en una resistencia, como la relación entre la amplitud (valor pico) de la tensión alterna y la corriente en el componente.

${\displaystyle X_{L}={\frac {V_{p}}{I_{p}}}=2\pi f\,L}$

La reactancia tiene unidades de ohmios . Se puede ver que la reactancia inductiva de un inductor aumenta proporcionalmente con la frecuencia , por lo que un inductor conduce menos corriente para un voltaje de CA aplicado dado a medida que aumenta la frecuencia. Debido a que el voltaje inducido es mayor cuando la corriente aumenta, las formas de onda de voltaje y corriente están desfasadas ; los picos de voltaje ocurren antes en cada ciclo que los picos de corriente. La diferencia de fase entre la corriente y el voltaje inducido es radianes o 90 grados, lo que muestra que en un inductor ideal la corriente se retrasa 90 ° con respecto al voltaje .${\displaystyle f}$${\displaystyle \phi ={\tfrac {1}{2}}\pi }$

Calcular la inductancia

En el caso más general, la inductancia se puede calcular a partir de las ecuaciones de Maxwell. Muchos casos importantes se pueden resolver mediante simplificaciones. Cuando se consideran corrientes de alta frecuencia, con efecto piel , las densidades de corriente superficial y el campo magnético pueden obtenerse resolviendo la ecuación de Laplace . Donde los conductores son alambres delgados, la autoinducción aún depende del radio del alambre y la distribución de la corriente en el alambre. Esta distribución de corriente es aproximadamente constante (en la superficie o en el volumen del cable) para un radio de cable mucho más pequeño que otras escalas de longitud.

Inductancia de un solo cable recto

Como cuestión práctica, los cables más largos tienen más inductancia y los cables más gruesos tienen menos, análoga a su resistencia eléctrica (aunque las relaciones no son lineales y son de diferente tipo de las relaciones que la longitud y el diámetro tienen con la resistencia).

La separación del cable de las otras partes del circuito introduce algún error inevitable en los resultados de cualquier fórmula. Estas inductancias a menudo se denominan "inductancias parciales", en parte para fomentar la consideración de las otras contribuciones a la inductancia del circuito completo que se omiten.

Fórmulas prácticas

Para obtener las fórmulas siguientes, consulte Rosa (1908). ^[20] La inductancia total de baja frecuencia (interior más exterior) de un cable recto es:

${\displaystyle L_{\text{DC}}=200{\tfrac {\text{nH}}{\text{m}}}\cdot \ell \cdot \left[\ln \left({\frac {\,2\,\ell \,}{r}}\right)-0.75\right]}$

dónde

• ${\displaystyle L_{\text{DC}}}$es la inductancia de "baja frecuencia" o CC en nanohenry (nH o 10 ⁻⁹ H),
• ${\displaystyle \ell }$ es la longitud del cable en metros,
• ${\displaystyle r}$ es el radio del cable en metros (por lo tanto, un número decimal muy pequeño),
• la constante es la permeabilidad del espacio libre , comúnmente llamado , dividido por ; en ausencia de aislamiento magnético reactivo, el valor 200 es exacto.${\displaystyle 200{\tfrac {\text{nH}}{\text{m}}}}$${\displaystyle \mu _{\text{o}}}$${\displaystyle 2\pi }$

La constante 0,75 es solo un valor de parámetro entre varios; diferentes rangos de frecuencia, diferentes formas o longitudes de cable extremadamente largas requieren una constante ligeramente diferente ( ver más abajo ). Este resultado se basa en la suposición de que el radio es mucho menor que la longitud , que es el caso común para alambres y varillas. Los discos o cilindros gruesos tienen fórmulas ligeramente diferentes.${\displaystyle r}$${\displaystyle \ell }$

Para frecuencias suficientemente altas, los efectos de la piel hacen que las corrientes interiores se desvanezcan, dejando solo las corrientes en la superficie del conductor; la inductancia para corriente alterna, viene dada por una fórmula muy similar:${\displaystyle L_{\text{AC}}}$

${\displaystyle L_{\text{AC}}=200{\tfrac {\text{nH}}{\text{m}}}\cdot \ell \cdot \left[\ln \left({\frac {\,2\,\ell \,}{r}}\right)-1\right]}$

donde las variables y son las mismas que las anteriores; observe el término constante cambiado ahora 1, antes 0,75.${\displaystyle \ell }$${\displaystyle r}$

En un ejemplo de la experiencia diaria, solo uno de los conductores de un cable de lámpara de 10 m de largo, hecho de alambre de calibre 18, solo tendría una inductancia de aproximadamente 19 µH si se estirara recto.

Inductancia mutua de dos alambres rectos paralelos

Hay dos casos a considerar:

1. La corriente viaja en la misma dirección en cada cable y
2. la corriente viaja en direcciones opuestas en los cables.

Las corrientes en los cables no necesitan ser iguales, aunque a menudo lo son, como en el caso de un circuito completo, donde un cable es la fuente y el otro el retorno.

Inductancia mutua de dos bucles de alambre

Este es el caso generalizado de la bobina cilíndrica de dos bucles paradigmática que lleva una corriente uniforme de baja frecuencia; los bucles son circuitos cerrados independientes que pueden tener diferentes longitudes, cualquier orientación en el espacio y transportar diferentes corrientes. No obstante, los términos de error, que no están incluidos en la integral, son solo pequeños si las geometrías de los bucles son en su mayoría lisas y convexas: no tienen demasiadas torceduras, esquinas afiladas, bobinas, cruces, segmentos paralelos, cavidades cóncavas u otras deformaciones topológicas "cercanas". Un predicado necesario para la reducción de la fórmula de integración de colector tridimensional a una integral de doble curva es que las rutas de la corriente sean circuitos filamentosos, es decir, cables delgados donde el radio del cable es despreciable en comparación con su longitud.

La inductancia mutua por un circuito filamentoso en un circuito filamentoso está dada por la fórmula de Neumann integral doble ^[21]${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle L_{m,n}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{C_{m}}\oint _{C_{n}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} _{m}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} _{n}}{|\mathbf {x} _{m}-\mathbf {x} _{n}|}}}$

dónde

• ${\displaystyle C_{m}}$y son las curvas seguidas por los alambres.${\displaystyle C_{n}}$
• ${\displaystyle \mu _{0}}$es la permeabilidad del espacio libre ( 4 π × 10 ⁻⁷ H / m )
• ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} _{m}}$es un pequeño incremento del cable en el circuito C _m
• ${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$es la posición de en el espacio${\displaystyle d\mathbf {x} _{m}}$
• ${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {x} _{n}}$es un pequeño incremento del cable en el circuito C _n
• ${\displaystyle \mathbf {x} _{n}}$es la posición de en el espacio${\displaystyle d\mathbf {x} _{n}}$

Derivación

${\displaystyle M_{ij}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\Phi _{ij}}{I_{j}}}}$

dónde

• ${\displaystyle \Phi _{ij}\ \,}$es el flujo magnético a través de la i- ésima superficie debido al circuito eléctrico delineado por${\displaystyle C_{j}}$
• ${\displaystyle I_{j}}$es la corriente a través del th cable, esta corriente crea el flujo magnético a través de la th superficie.${\displaystyle j}$${\displaystyle \Phi _{ij}\ \,}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle \Phi _{ij}=\int _{S_{i}}\mathbf {B} _{j}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\int _{S_{i}}(\nabla \times \mathbf {A_{j}} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\oint _{C_{i}}\mathbf {A} _{j}\cdot \mathrm {d} \mathbf {s} _{i}=\oint _{C_{i}}\left({\frac {\mu _{0}I_{j}}{4\pi }}\oint _{C_{j}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {s} _{j}}{\left|\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j}\right|}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {s} _{i}}$^[22]

dónde

${\displaystyle C_{i}}$es la superficie que encierra la curva ; y es cualquier área orientable arbitraria con borde${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle S_{i}}$${\displaystyle C_{i}}$

${\displaystyle \mathbf {B} _{j}}$es el vector de campo magnético debido a la -ésima corriente (del circuito ).${\displaystyle j}$${\displaystyle C_{j}}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{j}}$es el potencial vectorial debido a la -ésima corriente.${\displaystyle j}$

El teorema de Stokes se ha utilizado para el tercer paso de igualdad.

Para el último paso de igualdad, usamos la expresión de potencial retardado para e ignoramos el efecto del tiempo retardado (asumiendo que la geometría de los circuitos es lo suficientemente pequeña en comparación con la longitud de onda de la corriente que transportan). En realidad, es un paso de aproximación y es válido solo para circuitos locales hechos de cables delgados.${\displaystyle A_{j}}$

Autoinducción de un bucle de alambre

Formalmente, la autoinductancia de un bucle de alambre vendría dada por la ecuación anterior con . Sin embargo, aquí se vuelve infinito, lo que lleva a una integral divergente logarítmicamente. ^[a] Esto requiere tener en cuenta el radio finito del cable y la distribución de la corriente en el cable. Queda la contribución de la integral sobre todos los puntos y un término de corrección, ^[23]${\displaystyle m=n}$${\displaystyle 1/|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle L={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[\oint _{C}\oint _{C'}{\frac {d\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} '}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} '|}}\right]+{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\,\ell \,Y+O\quad {\text{ for }}\;\left|\mathbf {s} -\mathbf {s} '\right|>{\tfrac {1}{2}}a}$

dónde

• ${\displaystyle \mathbf {s} }$y son distancias a lo largo de las curvas y respectivamente${\displaystyle \mathbf {s} '}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C'}$
• ${\displaystyle a}$ es el radio del alambre
• ${\displaystyle \ell }$ es la longitud del cable
• ${\displaystyle Y}$es una constante que depende de la distribución de la corriente en el cable: cuando la corriente fluye por la superficie del cable ( efecto piel total ), cuando la corriente está uniformemente sobre la sección transversal del cable.${\displaystyle Y=0}$${\displaystyle Y={\tfrac {1}{2}}}$
• ${\displaystyle O}$es un término de error cuando el bucle tiene esquinas afiladas y cuando es una curva suave. Estos son pequeños cuando el cable es largo en comparación con su radio.${\displaystyle O(\mu _{0}a)}$${\displaystyle O\left(\mu _{0}a^{2}/\ell \right)}$

Inductancia de un solenoide

Un solenoide es una bobina larga y delgada; es decir, una bobina cuya longitud es mucho mayor que su diámetro. En estas condiciones, y sin ningún material magnético utilizado, la densidad de flujo magnético dentro de la bobina es prácticamente constante y está dada por${\displaystyle B}$

${\displaystyle \displaystyle B={\frac {\mu _{0}\ N\ i}{\ell }}}$

donde es la constante magnética , el número de vueltas, la corriente y la longitud de la bobina. Ignorando los efectos finales, el flujo magnético total a través de la bobina se obtiene multiplicando la densidad de flujo por el área de la sección transversal :${\displaystyle \mu _{0}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle i}$${\displaystyle l}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle \displaystyle \Phi ={\frac {\mu _{0}\ N\ i\ A}{\ell }},}$

Cuando esto se combina con la definición de inductancia , se deduce que la inductancia de un solenoide viene dada por:${\displaystyle \displaystyle L={\frac {N\ \Phi }{i}}}$

${\displaystyle \displaystyle L={\frac {\mu _{0}\ N^{2}\ A}{\ell }}.}$

Por lo tanto, para las bobinas de núcleo de aire, la inductancia es una función de la geometría de la bobina y el número de vueltas, y es independiente de la corriente.

Inductancia de un cable coaxial

Deje que el conductor interior tenga radio y permeabilidad , deje que el dieléctrico entre el conductor interior y exterior tenga permeabilidad , y deje que el conductor exterior tenga radio interior , radio exterior y permeabilidad . Sin embargo, para una aplicación típica de línea coaxial, estamos interesados ​​en señales de paso (que no sean de CC) a frecuencias para las que no se puede despreciar el efecto de piel resistiva . En la mayoría de los casos, los términos del conductor interno y externo son insignificantes, en cuyo caso uno puede aproximar${\displaystyle r_{i}}$ ${\displaystyle \mu _{i}}$${\displaystyle \mu _{d}}$${\displaystyle r_{o1}}$${\displaystyle r_{o2}}$${\displaystyle \mu _{0}}$

${\displaystyle L'={\frac {{\text{d}}L}{{\text{d}}\ell }}\quad \approx \quad {\frac {\mu _{d}}{2\pi }}\ln {\frac {r_{o1}}{r_{i}}}}$

Inductancia de bobinas multicapa

Los inductores de núcleo de aire más prácticos son bobinas cilíndricas multicapa con secciones transversales cuadradas para minimizar la distancia promedio entre espiras (las secciones transversales circulares serían mejores pero más difíciles de formar).

Núcleos magnéticos

Muchos inductores incluyen un núcleo magnético en el centro o rodeando parcialmente el devanado. En un rango lo suficientemente grande, estos exhiben una permeabilidad no lineal con efectos como la saturación magnética . La saturación hace que la inductancia resultante sea función de la corriente aplicada.

La inductancia secante o de señal grande se utiliza en los cálculos de flujo. Se define como:

${\displaystyle L_{s}(i)\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {N\ \Phi }{i}}={\frac {\Lambda }{i}}}$

La inductancia diferencial o de pequeña señal, por otro lado, se usa para calcular el voltaje. Se define como:

${\displaystyle L_{d}(i)\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {{\text{d}}(N\Phi )}{{\text{d}}i}}={\frac {{\text{d}}\Lambda }{{\text{d}}i}}}$

El voltaje del circuito para un inductor no lineal se obtiene a través de la inductancia diferencial como se muestra en la Ley de Faraday y la regla de cálculo de la cadena .

${\displaystyle v(t)={\frac {{\text{d}}\Lambda }{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}\Lambda }{{\text{d}}i}}{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}=L_{d}(i){\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}}$

Se pueden derivar definiciones similares para la inductancia mutua no lineal.

Inductancia mutua

Más información: acoplamiento inductivo

Derivación de inductancia mutua

Las ecuaciones de inductancia anteriores son una consecuencia de las ecuaciones de Maxwell . Para el caso importante de los circuitos eléctricos que constan de cables delgados, la derivación es sencilla.

En un sistema de bucles de alambre, cada una con una o varias vueltas de alambre, el enlace de flujo de bucle , , viene dada por${\displaystyle K}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \lambda _{m}}$

${\displaystyle \displaystyle \lambda _{m}=N_{m}\Phi _{m}=\sum \limits _{n=1}^{K}L_{m,n}\ i_{n}\,.}$

Aquí denota el número de vueltas en bucle ; es el flujo magnético a través del bucle ; y son algunas de las constantes que se describen a continuación. Esta ecuación se deriva de la ley de Ampere : los campos magnéticos y los flujos son funciones lineales de las corrientes . Según la ley de inducción de Faraday , tenemos${\displaystyle N_{m}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \Phi _{m}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle L_{m,n}}$

${\displaystyle \displaystyle v_{m}={\frac {{\text{d}}\lambda _{m}}{{\text{d}}t}}=N_{m}{\frac {{\text{d}}\Phi _{m}}{{\text{d}}t}}=\sum \limits _{n=1}^{K}L_{m,n}{\frac {{\text{d}}i_{n}}{{\text{d}}t}},}$

donde denota el voltaje inducido en el circuito . Esto concuerda con la definición de inductancia anterior si los coeficientes se identifican con los coeficientes de inductancia. Debido a que las corrientes totales contribuyen a ello también se deduce que es proporcional al producto de las vueltas .${\displaystyle v_{m}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle L_{m,n}}$${\displaystyle N_{n}\ i_{n}}$${\displaystyle \Phi _{m}}$${\displaystyle L_{m,n}}$${\displaystyle N_{m}\ N_{n}}$

Inductancia mutua y energía de campo magnético

Multiplicando la ecuación para v _m anterior con i _m dt y sumando m da la energía transferida al sistema en el intervalo de tiempo dt ,

${\displaystyle \displaystyle \sum \limits _{m}^{K}i_{m}v_{m}{\text{d}}t=\sum \limits _{m,n=1}^{K}i_{m}L_{m,n}{\text{d}}i_{n}{\overset {!}{=}}\sum \limits _{n=1}^{K}{\frac {\partial W\left(i\right)}{\partial i_{n}}}{\text{d}}i_{n}.}$

Esto debe coincidir con el cambio de la energía del campo magnético, W , causado por las corrientes. ^[24] La condición de integrabilidad

${\displaystyle \displaystyle {\frac {\partial ^{2}W}{\partial i_{m}\partial i_{n}}}={\frac {\partial ^{2}W}{\partial i_{n}\partial i_{m}}}}$

requiere L _{m, n}  = L _{n, m} . La matriz de inductancia, L _{m, n} , por tanto, es simétrica. La integral de la transferencia de energía es la energía del campo magnético en función de las corrientes,

${\displaystyle \displaystyle W\left(i\right)={\frac {1}{2}}\sum \limits _{m,n=1}^{K}i_{m}L_{m,n}i_{n}.}$

Esta ecuación también es una consecuencia directa de la linealidad de las ecuaciones de Maxwell. Es útil asociar las corrientes eléctricas cambiantes con una acumulación o disminución de la energía del campo magnético. La correspondiente transferencia de energía requiere o genera un voltaje. Una analogía mecánica en el caso K  = 1 con energía de campo magnético (1/2) Li ² es un cuerpo con masa M , velocidad u y energía cinética (1/2) Mu ² . La tasa de cambio de velocidad (corriente) multiplicada por la masa (inductancia) requiere o genera una fuerza (un voltaje eléctrico).

Diagrama de circuito de dos inductores acoplados entre sí. Las dos líneas verticales entre los devanados indican que el transformador tiene un núcleo ferromagnético . "n: m" muestra la relación entre el número de devanados del inductor izquierdo y los devanados del inductor derecho. Esta imagen también muestra la convención de puntos .

La inductancia mutua ocurre cuando el cambio en la corriente en un inductor induce un voltaje en otro inductor cercano. Es importante como mecanismo por el cual funcionan los transformadores , pero también puede causar acoplamientos no deseados entre conductores en un circuito.

La inductancia mutua`` también es una medida del acoplamiento entre dos inductores. La inductancia mutua por circuito en circuito viene dada por la fórmula de Neumann integral doble , ver técnicas de cálculo${\displaystyle M_{ij}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

La inductancia mutua también tiene la relación:

${\displaystyle M_{21}=N_{1}\ N_{2}\ P_{21}\!}$

dónde

${\displaystyle M_{21}}$ es la inductancia mutua, y el subíndice especifica la relación del voltaje inducido en la bobina 2 debido a la corriente en la bobina 1.

${\displaystyle N_{1}}$ es el número de vueltas en la bobina 1,

${\displaystyle N_{2}}$ es el número de vueltas en la bobina 2,

${\displaystyle P_{21}}$es la permeabilidad del espacio ocupado por el flujo.

Una vez que se determina la inductancia mutua,, se puede usar para predecir el comportamiento de un circuito:${\displaystyle M}$

${\displaystyle v_{1}=L_{1}\ {\frac {{\text{d}}i_{1}}{{\text{d}}t}}-M\ {\frac {{\text{d}}i_{2}}{{\text{d}}t}}}$

dónde

${\displaystyle v_{1}}$ es el voltaje a través del inductor de interés,

${\displaystyle L_{1}}$ es la inductancia del inductor de interés,

${\displaystyle {\text{d}}i_{1}\,/\,{\text{d}}t}$ es la derivada, con respecto al tiempo, de la corriente a través del inductor de interés, etiquetado como 1,

${\displaystyle {\text{d}}i_{2}\,/\,{\text{d}}t}$ es la derivada, con respecto al tiempo, de la corriente a través del inductor, etiquetado como 2, que está acoplado al primer inductor, y

${\displaystyle M}$ es la inductancia mutua.

El signo menos surge debido al sentido en que se ha definido la corriente en el diagrama. Con ambas corrientes definidas entrando en los puntos, el signo de será positivo (la ecuación se leería con un signo más en su lugar). ^[25]${\displaystyle i_{2}}$${\displaystyle M}$

Coeficiente de acoplamiento

Coeficiente de acoplamiento del transformador

The coupling coefficient is the ratio of the open-circuit actual voltage ratio to the ratio that would obtain if all the flux coupled from one circuit to the other. The coupling coefficient is related to mutual inductance and self inductances in the following way. From the two simultaneous equations expressed in the two-port matrix the open-circuit voltage ratio is found to be:

${\displaystyle {V_{2} \over V_{1}}({\text{open circuit}})={M \over L_{1}}}$

where

${\displaystyle M^{2}=M_{1}M_{2}}$

while the ratio if all the flux is coupled is the ratio of the turns, hence the ratio of the square root of the inductances

${\displaystyle {V_{2} \over V_{1}}({\text{max coupled}})={\sqrt {L_{2} \over L_{1}\ }}}$

thus,

${\displaystyle M=k{\sqrt {L_{1}\ L_{2}\ }}}$

where

${\displaystyle k}$ is the coupling coefficient,

${\displaystyle L_{1}}$ is the inductance of the first coil, and

${\displaystyle L_{2}}$ is the inductance of the second coil.

The coupling coefficient is a convenient way to specify the relationship between a certain orientation of inductors with arbitrary inductance. Most authors define the range as ${\displaystyle 0\leq k<1}$, but some^[26] define it as ${\displaystyle -1<k<1\,}$. Allowing negative values of ${\displaystyle k}$ captures phase inversions of the coil connections and the direction of the windings.^[27]

Matrix representation

Mutually coupled inductors can be described by any of the two-port network parameter matrix representations. The most direct are the z parameters, which are given by

${\displaystyle [\mathbf {z} ]=s{\begin{bmatrix}L_{1}\ M\\M\ L_{2}\end{bmatrix}}}$

where ${\displaystyle s}$ is the complex frequency variable, ${\displaystyle L_{1}}$ and ${\displaystyle L_{2}}$ are the inductances of the primary and secondary coil, respectively, and ${\displaystyle M}$ is the mutual inductance between the coils.

Equivalent circuits

T-circuit

T equivalent circuit of mutually coupled inductors

Mutually coupled inductors can equivalently be represented by a T-circuit of inductors as shown. If the coupling is strong and the inductors are of unequal values then the series inductor on the step-down side may take on a negative value.

This can be analyzed as a two port network. With the output terminated with some arbitrary impedance, ${\displaystyle Z}$, the voltage gain, ${\displaystyle A_{v}}$, is given by,

${\displaystyle A_{\mathrm {v} }={\frac {sMZ}{\,s^{2}L_{1}L_{2}-s^{2}M^{2}+sL_{1}Z\,}}={\frac {k}{\,s\left(1-k^{2}\right){\frac {\sqrt {L_{1}L_{2}}}{Z}}+{\sqrt {\frac {L_{1}}{L_{2}}}}\,}}}$

where ${\displaystyle k}$ is the coupling constant and ${\displaystyle s}$ is the complex frequency variable, as above. For tightly coupled inductors where ${\displaystyle k=1}$ this reduces to

${\displaystyle A_{\mathrm {v} }={\sqrt {L_{2} \over L_{1}}}}$

which is independent of the load impedance. If the inductors are wound on the same core and with the same geometry, then this expression is equal to the turns ratio of the two inductors because inductance is proportional to the square of turns ratio.

The input impedance of the network is given by,

${\displaystyle Z_{\mathrm {in} }={\frac {s^{2}L_{1}L_{2}-s^{2}M^{2}+sL_{1}Z}{sL_{2}+Z}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\,Z\,{\biggl (}{\frac {1}{1+\left({\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}\right)}}{\biggr )}{\Biggl (}1+{\frac {\left(1-k^{2}\right)}{\left({\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}\right)}}{\Biggr )}}$

For ${\displaystyle k=1}$ this reduces to

${\displaystyle Z_{\mathrm {in} }={\frac {sL_{1}Z}{sL_{2}+Z}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\,Z\,{\biggl (}{\frac {1}{1+\left({\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}\right)}}{\biggr )}}$

Thus, the current gain, ${\displaystyle A_{i}}$ is not independent of load unless the further condition

${\displaystyle |sL_{2}|\gg |Z|}$

is met, in which case,

${\displaystyle Z_{\mathrm {in} }\approx {L_{1} \over L_{2}}Z}$

and

${\displaystyle A_{\mathrm {i} }\approx {\sqrt {L_{1} \over L_{2}}}={1 \over A_{\mathrm {v} }}}$

π-circuit

π equivalent circuit of coupled inductors

Alternatively, two coupled inductors can be modelled using a π equivalent circuit with optional ideal transformers at each port. While the circuit is more complicated than a T-circuit, it can be generalized^[28] to circuits consisting of more than two coupled inductors. Equivalent circuit elements ${\displaystyle L_{\text{s}}}$, ${\displaystyle L_{\text{p}}}$ have physical meaning, modelling respectively magnetic reluctances of coupling paths and magnetic reluctances of leakage paths. For example, electric currents flowing through these elements correspond to coupling and leakage magnetic fluxes. Ideal transformers normalize all self-inductances to 1 Henry to simplify mathematical formulas.

Equivalent circuit element values can be calculated from coupling coefficients with

${\displaystyle L_{S_{ij}}={\dfrac {\det(\mathbf {K} )}{-\mathbf {C} _{ij}}}}$

${\displaystyle L_{P_{i}}={\dfrac {\det(\mathbf {K} )}{\sum _{j=1}^{N}\mathbf {C} _{ij}}}}$

where coupling coefficient matrix and its cofactors are defined as

${\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{bmatrix}1&k_{12}&\cdots &k_{1N}\\k_{12}&1&\cdots &k_{2N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\k_{1N}&k_{2N}&\cdots &1\end{bmatrix}}\quad }$ and ${\displaystyle \quad \mathbf {C} _{ij}=(-1)^{i+j}\,\mathbf {M} _{ij}.}$

For two coupled inductors, these formulas simplify to

${\displaystyle L_{S_{12}}={\dfrac {-k_{12}^{2}+1}{k_{12}}}\quad }$ and ${\displaystyle \quad L_{P_{1}}=L_{P_{2}}\!=\!k_{12}+1,}$

and for three coupled inductors (for brevity shown only for ${\displaystyle L_{\text{s12}}}$ and ${\displaystyle L_{\text{p1}}}$)

${\displaystyle L_{S_{12}}={\frac {2\,k_{12}\,k_{13}\,k_{23}-k_{12}^{2}-k_{13}^{2}-k_{23}^{2}+1}{k_{13}\,k_{23}-k_{12}}}\quad }$ and ${\displaystyle \quad L_{P_{1}}={\frac {2\,k_{12}\,k_{13}\,k_{23}-k_{12}^{2}-k_{13}^{2}-k_{23}^{2}+1}{k_{12}\,k_{23}+k_{13}\,k_{23}-k_{23}^{2}-k_{12}-k_{13}+1}}.}$

Resonant transformer

Main article: Resonant inductive coupling

When a capacitor is connected across one winding of a transformer, making the winding a tuned circuit (resonant circuit) it is called a single-tuned transformer. When a capacitor is connected across each winding, it is called a double tuned transformer. These resonant transformers can store oscillating electrical energy similar to a resonant circuit and thus function as a bandpass filter, allowing frequencies near their resonant frequency to pass from the primary to secondary winding, but blocking other frequencies. The amount of mutual inductance between the two windings, together with the Q factor of the circuit, determine the shape of the frequency response curve. The advantage of the double tuned transformer is that it can have a narrower bandwidth than a simple tuned circuit. The coupling of double-tuned circuits is described as loose-, critical-, or over-coupled depending on the value of the coupling coefficient ${\displaystyle k}$. When two tuned circuits are loosely coupled through mutual inductance, the bandwidth is narrow. As the amount of mutual inductance increases, the bandwidth continues to grow. When the mutual inductance is increased beyond the critical coupling, the peak in the frequency response curve splits into two peaks, and as the coupling is increased the two peaks move further apart. This is known as overcoupling.

Ideal transformers

When ${\displaystyle k=1}$, the inductor is referred to as being closely coupled. If in addition, the self-inductances go to infinity, the inductor becomes an ideal transformer. In this case the voltages, currents, and number of turns can be related in the following way:

${\displaystyle V_{\text{s}}={\frac {N_{\text{s}}}{N_{\text{p}}}}V_{\text{p}}}$

where

${\displaystyle V_{\text{s}}}$ is the voltage across the secondary inductor,

${\displaystyle V_{\text{p}}}$ is the voltage across the primary inductor (the one connected to a power source),

${\displaystyle N_{\text{s}}}$ is the number of turns in the secondary inductor, and

${\displaystyle N_{\text{p}}}$ is the number of turns in the primary inductor.

Conversely the current:

${\displaystyle I_{\text{s}}={\frac {N_{\text{p}}}{N_{\text{s}}}}I_{\text{p}}}$

where

${\displaystyle I_{\text{s}}}$ is the current through the secondary inductor,

${\displaystyle I_{\text{p}}}$ is the current through the primary inductor (the one connected to a power source),

${\displaystyle N_{\text{s}}}$ is the number of turns in the secondary inductor, and

${\displaystyle N_{\text{p}}}$ is the number of turns in the primary inductor.

The power through one inductor is the same as the power through the other. These equations neglect any forcing by current sources or voltage sources.

Self-inductance of thin wire shapes

See also: Inductor § Inductance formulas

The table below lists formulas for the self-inductance of various simple shapes made of thin cylindrical conductors (wires). In general these are only accurate if the wire radius ${\displaystyle a}$ is much smaller than the dimensions of the shape, and if no ferromagnetic materials are nearby (no magnetic core).

Self-inductance of thin wire shapes

Type	Inductance	Comment
Single layer solenoid	The well-known Wheeler's approximation formula for current-sheet model air-core coil:[29][30] ${\displaystyle L={\frac {N^{2}D^{2}}{18D+40\ell }}}$ (English)      ${\displaystyle L={\frac {N^{2}D^{2}}{45D+100\ell }}}$ (cgs) This formula gives an error no more than 1% when ${\displaystyle \ell /D>0.4}$ .	${\displaystyle L}$ inductance in μH (10−6Henries) ${\displaystyle N}$ number of turns ${\displaystyle D}$ diameter in (inches) (cm) ${\displaystyle \ell }$ length in (inches) (cm)
Coaxial cable (HF)	${\displaystyle L={\frac {\mu _{0}\ell }{2\pi }}\ \ln \left({\frac {b}{a}}\right)}$	${\displaystyle b}$: Outer cond.'s inside radius ${\displaystyle a}$: Inner conductor's radius ${\displaystyle \ell }$: Length ${\displaystyle \mu _{0}}$: see table footnote.
Circular loop[31]	${\displaystyle \mu _{0}r\left[\ln \left({\frac {8r}{a}}\right)-2+{\tfrac {1}{4}}Y+O\left({\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\right]}$	${\displaystyle r}$: Loop radius ${\displaystyle a}$: Wire radius ${\displaystyle \mu _{0},Y}$: see table footnotes.
Rectangle made of round wire[32]	${\displaystyle L={\frac {\mu _{0}}{\pi }}\ {\biggl [}\ b\ln \left({\frac {2b}{a}}\right)+d\ln \left({\frac {2d}{a}}\right)+2{\sqrt {b^{2}+d^{2}}}}$ ${\displaystyle \qquad -b\sinh ^{-1}\left({\frac {b}{d}}\right)-d\sinh ^{-1}\left({\frac {d}{b}}\right)}$${\displaystyle \qquad -\left(2-{\tfrac {1}{4}}Y\right)\left(b+d\right)\ {\biggr ]}}$	${\displaystyle b,d}$: Border length ${\displaystyle d\gg a,b\gg a}$ ${\displaystyle a}$: Wire radius ${\displaystyle \mu _{0},Y}$: see table footnotes.
Pair of parallel wires	${\displaystyle L={\frac {\ \mu _{0}\ell \ }{\pi }}\ \left[\ln \left({\frac {d}{a}}\right)+{\tfrac {1}{4}}Y\right]}$	${\displaystyle a}$: Wire radius ${\displaystyle d}$: Separation distance, ${\displaystyle d\geq 2a}$ ${\displaystyle \ell }$: Length of pair ${\displaystyle \mu _{0},Y}$: see table footnotes.
Pair of parallel wires (HF)	${\displaystyle L={\frac {\mu _{0}\ell }{\pi }}\cosh ^{-1}\left({\frac {d}{2a}}\right)={\frac {\mu _{0}\ell }{\pi }}\ln \left({\frac {d}{2a}}+{\sqrt {{\frac {d^{2}}{4a^{2}}}-1}}\right)}$	${\displaystyle a}$: Wire radius ${\displaystyle d}$: Separation distance, ${\displaystyle d\geq 2a}$ ${\displaystyle \ell }$: Length of pair ${\displaystyle \mu _{0}}$: see table footnote.

• The symbol ${\displaystyle \mu _{0}}$ denotes the magnetic permeability of free space, which in SI units is ${\displaystyle 0.4\pi \,{\tfrac {\text{micro-Henries}}{\text{meter}}}}$, almost exactly.
• ${\displaystyle Y}$ is an approximately constant value between 0 and 1 that depends on the distribution of the current in the wire: ${\displaystyle Y=0}$ when the current flows only on the surface of the wire (complete skin effect), ${\displaystyle Y=1}$ when the current is evenly spread over the cross-section of the wire (direct current). For round wires, Rosa (1908) gives a formula equivalent to:^[20]

${\displaystyle Y\approx {\frac {1}{1+a\ {\sqrt {{\tfrac {1}{8}}\mu \sigma \omega \ }}}}}$

where ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ is the angular frequency, in radians per second,
${\displaystyle \mu =\mu _{0}\,\mu _{\text{r}}}$ is the net magnetic permeability of the wire,
${\displaystyle \sigma }$ is the wire's specific conductivity, and
${\displaystyle a}$ is the wire radius.

• ${\displaystyle O(x)}$ is represents small term(s) that have been dropped from the formula, to make it simpler. Read the symbol “${\displaystyle +O(x)}$” as “plus small corrections on the order of” ${\displaystyle x}$. See also Big O notation.

See also

• Electromagnetic induction
• Gyrator
• Hydraulic analogy
• Leakage inductance
• LC circuit, RLC circuit, RL circuit
• Kinetic inductance

Footnotes

1. since ${\displaystyle \int {\frac {1}{x}}dx=\ln(x)}$ for ${\displaystyle x>0}$

References

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General references

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External links

• Clemson Vehicular Electronics Laboratory: Inductance Calculator