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Un conjunto de números reales (círculos huecos y rellenos), un subconjunto de (círculos rellenos) y el mínimo de Observe que para los conjuntos finitos y totalmente ordenados, el mínimo y el mínimo son iguales.
Un conjunto A de números reales (círculos azules), un conjunto de límites superiores de A (diamante rojo y círculos), y el límite superior más pequeño, es decir, el supremo de A (diamante rojo).

En matemáticas , la infimum (abreviado inf ; plural infima ) de un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado es el elemento más grande en que es menor que o igual a todos los elementos de si existe un elemento tal. [1] En consecuencia, el término límite inferior máximo (abreviado como GLB ) también se usa comúnmente. [1]

El extremo superior (abreviado sup ; plural suprema ) de un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado es el elemento menos en que es mayor que o igual a todos los elementos de si existe un elemento tal. [1] En consecuencia, el supremum también se conoce como el límite superior mínimo (o LUB ). [1]

El infimum es, en un sentido preciso, dual con el concepto de supremum. Infima y suprema de números reales son casos especiales comunes que son importantes en el análisis , y especialmente en la integración de Lebesgue . Sin embargo, las definiciones generales siguen siendo válidas en el contexto más abstracto de la teoría del orden donde se consideran conjuntos arbitrarios parcialmente ordenados.

Los conceptos de infimum y supremum son similares a mínimo y máximo , pero son más útiles en el análisis porque caracterizan mejor conjuntos especiales que pueden no tener mínimo o máximo . Por ejemplo, el conjunto de números reales positivos (sin incluir el 0) no tiene un mínimo, porque cualquier elemento dado de podría simplemente dividirse por la mitad, lo que da como resultado un número más pequeño que todavía está en . Sin embargo, hay exactamente un mínimo de los números reales positivos: 0, que es más pequeño que todos los números reales positivos y mayor que cualquier otro número real que pueda usarse como límite inferior.

Definición formal [ editar ]

supremum = mínimo límite superior

Un límite inferior de un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado es un elemento de tal que

  • para todos

Un límite inferior de se denomina mínimo (o límite inferior máximo , o encuentro ) de si

  • para todos los límites inferiores de in ( es mayor o igual que cualquier otro límite inferior).

De manera similar, un límite superior de un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado es un elemento de tal que

  • para todos

Un límite superior de se llama supremum (o menos límite superior , o unión ) de si

  • para todos los límites superiores de in ( es menor que cualquier otro límite superior).

Existencia y singularidad [ editar ]

Infima y suprema no existen necesariamente. La existencia de un mínimo de un subconjunto de puede fallar si no tiene ningún límite inferior o si el conjunto de límites inferiores no contiene un elemento mayor. Sin embargo, si existe un infimum o supremum, es único.

En consecuencia, los conjuntos parcialmente ordenados para los que se sabe que existen ciertos infima se vuelven especialmente interesantes. Por ejemplo, un retículo es un conjunto parcialmente ordenado en el que todos los subconjuntos finitos no vacíos tienen tanto un supremum como un infimum, y un retículo completo es un conjunto parcialmente ordenado en el que todos los subconjuntos tienen tanto un supremum como un infimum. Más información sobre las diversas clases de conjuntos parcialmente ordenados que surgen de tales consideraciones se encuentra en el artículo sobre propiedades de completitud .

Si existe el supremo de un subconjunto , es único. Si contiene un elemento mayor, entonces ese elemento es el supremo; de lo contrario, el supremum no pertenece (o no existe). Asimismo, si existe el infimum, es único. Si contiene un elemento mínimo, entonces ese elemento es el mínimo; de lo contrario, el infimum no pertenece (o no existe).

Relación con elementos máximos y mínimos [ editar ]

El mínimo de un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado, asumiendo que existe, no pertenece necesariamente a Si lo hace, es un elemento mínimo o mínimo de De manera similar, si el supremo de pertenece a él es un elemento máximo o mayor de

Por ejemplo, considere el conjunto de números reales negativos (excluyendo el cero). Este conjunto no tiene el elemento más grande, ya que para cada elemento del conjunto, hay otro elemento más grande. Por ejemplo, para cualquier número real negativo hay otro número real negativo , que es mayor. Por otro lado, todo número real mayor o igual a cero es ciertamente un límite superior en este conjunto. Por lo tanto, 0 es el límite superior mínimo de los reales negativos, por lo que el supremo es 0. Este conjunto tiene un elemento superior pero no mayor.

Sin embargo, la definición de elementos máximos y mínimos es más general. En particular, un conjunto puede tener muchos elementos máximos y mínimos, mientras que infima y suprema son únicos.

Mientras que los máximos y mínimos deben ser miembros del subconjunto que se está considerando, el mínimo y el superior de un subconjunto no necesitan ser miembros de ese subconjunto en sí mismos.

Límites superiores mínimos [ editar ]

Finalmente, un conjunto parcialmente ordenado puede tener muchos límites superiores mínimos sin tener un límite superior mínimo. Los límites superiores mínimos son aquellos límites superiores para los que no hay un elemento estrictamente más pequeño que también sea un límite superior. Esto no significa que cada límite superior mínimo sea más pequeño que todos los demás límites superiores, simplemente no es mayor. La distinción entre "mínimo" y "mínimo" solo es posible cuando el orden dado no es total . En un conjunto totalmente ordenado, como los números reales, los conceptos son los mismos.

Como ejemplo, sea ​​el conjunto de todos los subconjuntos finitos de números naturales y considere el conjunto parcialmente ordenado obtenido al tomar todos los conjuntos de junto con el conjunto de números enteros y el conjunto de números reales positivos , ordenados por inclusión de subconjuntos como se indicó anteriormente. Entonces claramente ambos y son mayores que todos los conjuntos finitos de números naturales. Sin embargo, ni es más pequeño que ni lo contrario es cierto: ambos conjuntos son límites superiores mínimos pero ninguno es un supremo.

Propiedad de límite mínimo superior [ editar ]

La propiedad de límite superior mínimo es un ejemplo de las propiedades de completitud mencionadas anteriormente que es típica para el conjunto de números reales. Esta propiedad a veces se denomina completitud de Dedekind .

Si un conjunto ordenado tiene la propiedad de que cada subconjunto no vacío de tener un límite superior también tiene un límite superior mínimo, entonces se dice que tiene la propiedad de límite superior mínimo. Como se señaló anteriormente, el conjunto de todos los números reales tiene la propiedad de límite superior mínimo. De manera similar, el conjunto de números enteros tiene la propiedad de límite superior mínimo; si es un subconjunto no vacío de y hay un número tal que cada elemento de es menor o igual a, entonces hay un límite superior mínimo para un número entero que es un límite superior y es menor o igual a cualquier otro límite superior para Un bien ordenadoset también tiene la propiedad de límite superior mínimo, y el subconjunto vacío también tiene un límite superior mínimo: el mínimo de todo el conjunto.

Un ejemplo de un conjunto que carece de la propiedad de límite superior mínimo es el conjunto de números racionales. Sea el conjunto de todos los números racionales tales que Then tiene un límite superior ( por ejemplo, o ) pero no menos límite superior en : Si suponemos que es el límite superior mínimo, se deduce inmediatamente una contradicción porque entre dos reales cualesquiera y (incluyendo y ) existe algo racional , que a su vez tendría que ser el límite superior mínimo (si ) o un miembro de mayor que (si ). Otro ejemplo son los hiperreal 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ; no hay límite superior mínimo del conjunto de infinitesimales positivos.

Existe una propiedad correspondiente de límite máximo-inferior ; un conjunto ordenado posee la propiedad del límite inferior más grande si y solo si también posee la propiedad del límite superior mínimo; el límite superior mínimo del conjunto de límites inferiores de un conjunto es el límite inferior más grande, y el límite inferior más grande del conjunto de límites superiores de un conjunto es el límite superior mínimo del conjunto.

Si en un conjunto parcialmente ordenado cada subconjunto acotado tiene un supremo, esto se aplica también, para cualquier conjunto en el espacio de funciones que contenga todas las funciones desde hasta donde si y solo si para todas en Por ejemplo, se aplica para funciones reales, y, dado que estas se pueden considerar casos especiales de funciones, para tuplas reales y secuencias de números reales.

La propiedad del límite superior mínimo es un indicador del suprema.

Infima y suprema de números reales [ editar ]

En el análisis , el infima y suprema de subconjuntos de los números reales son particularmente importantes. Por ejemplo, los números reales negativos no tienen un elemento mayor y su supremo es (que no es un número real negativo). [1] La completitud de los números reales implica (y es equivalente a) que cualquier subconjunto no vacío acotado de los números reales tiene un mínimo y un superior. Si no está delimitado por debajo, a menudo se escribe formalmente Si está vacío , se escribe

Propiedades [ editar ]

Las siguientes fórmulas dependen de una notación que generaliza convenientemente las operaciones aritméticas en conjuntos: Deje que los conjuntos y el escalar Definir

  • si y solo si y de otro modo [2]
  • ; el producto escalar de un conjunto es solo el escalar multiplicado por cada elemento del conjunto.
  • ; llamada suma de Minkowski , es la suma aritmética de dos conjuntos es la suma de todos los posibles pares de números, uno de cada conjunto.
  • ; el producto aritmético de dos conjuntos son todos productos de pares de elementos, uno de cada conjunto.

En aquellos casos en los que el infima y suprema de los conjuntos y existen, se mantienen las siguientes identidades:

  • si y solo si para cada hay un con y para cada
  • si y solo si para cada hay un con y para cada
  • Si y luego y
  • Si entonces y
  • Si entonces y
  • y
  • Si y son conjuntos no vacíos de números reales positivos, entonces y de manera similar para suprema . [3]
  • If no está vacío y si entonces donde esta ecuación también es válida cuando si se usa la definición . [nota 1] Esta igualdad se puede escribir alternativamente como Además, si y solo si donde si [nota 1] entonces

Dualidad [ editar ]

Si uno denota por el conjunto parcialmente ordenado con la relación de orden opuesto, es decir

  • en si y solo si en

luego, el mínimo de un subconjunto en es igual al superior de en y viceversa.

Para subconjuntos de números reales, se cumple otro tipo de dualidad: inf S = −sup (- S ), donde

Ejemplos [ editar ]

Infima [ editar ]

  • El mínimo del conjunto de números {2, 3, 4} es 2 . El número 1 es un límite inferior, pero no el límite inferior mayor y, por lo tanto, no es el mínimo.
  • De manera más general, si un conjunto tiene un elemento más pequeño, entonces el elemento más pequeño es el mínimo para el conjunto. En este caso, también se le llama mínimo del conjunto.
  • Si x es una secuencia decreciente con límite x , entonces inf x = x .

Suprema [ editar ]

  • El supremo del conjunto de números {1, 2, 3} es 3 . El número 4 es un límite superior, pero no es el límite superior mínimo y, por lo tanto, no es el supremo.

En el último ejemplo, el supremo de un conjunto de racionales es irracional , lo que significa que los racionales están incompletos .

Una propiedad básica del supremum es

para cualquier funcional y

El supremo de un subconjunto de (ℕ, |) donde | denota " divide ", es el mínimo común múltiplo de los elementos de

El supremo de un subconjunto de ( P , ⊆), donde es el conjunto de potencias de algún conjunto, es el supremo con respecto a ⊆ (subconjunto) de un subconjunto de es la unión de los elementos de

Ver también [ editar ]

  • Supremum esencial e infimum esencial
  • Elemento mayor y elemento menor
  • Elementos máximos y mínimos
  • Límite superior y límite inferior (límite mínimo)
  • Límites superior e inferior

Notas [ editar ]

  1. ^ a b La definición se usa comúnmente con los números reales extendidos ; de hecho, con esta definición, la igualdad también se mantendrá para cualquier subconjunto no vacío.Sin embargo, la notación generalmente se deja indefinida, por lo que la igualdad se da solo para cuando

Referencias [ editar ]

  1. ↑ a b c d e Rudin, Walter (1976). " " Capítulo 1 Los sistemas numéricos reales y complejos " ". Principios del análisis matemático (impreso) (3ª ed.). McGraw-Hill. pag. 4 . ISBN 0-07-054235-X.
  2. ^ Rockafellar y Wets 2009 , págs. 1-2.
  3. ^ Zakon, Elias (2004). Análisis Matemático I . Grupo Trillia. págs. 39–42.
  • Rockafellar, R. Tyrrell ; Mojados, Roger J.-B. (26 de junio de 2009). Análisis variacional . Grundlehren der mathischen Wissenschaften. 317 . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media . ISBN 9783642024313. OCLC  883392544 .

Enlaces externos [ editar ]

  • "Límites superiores e inferiores" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
  • Breitenbach, Jerome R. y Weisstein, Eric W. "Infimum y supremum" . MathWorld .