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En la teoría de conjuntos , un conjunto infinito es un conjunto que no es un conjunto finito . Los conjuntos infinitos pueden ser contables o incontables . [1] [2] [3]
Propiedades [ editar ]
El conjunto de números naturales (cuya existencia postula el axioma del infinito ) es infinito. [3] [4] Es el único conjunto que los axiomas requieren directamente que sea infinito. La existencia de cualquier otro conjunto infinito se puede probar en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC), pero solo mostrando que se sigue de la existencia de los números naturales.
Un conjunto es infinito si y solo si para cada número natural, el conjunto tiene un subconjunto cuya cardinalidad es ese número natural. [ cita requerida ]
Si se cumple el axioma de elección , entonces un conjunto es infinito si y solo si incluye un subconjunto infinito contable.
Si un conjunto de conjuntos es infinito o contiene un elemento infinito, entonces su unión es infinita. El conjunto de poder de un conjunto infinito es infinito. [5] Cualquier superconjunto de un conjunto infinito es infinito. Si un conjunto infinito se divide en un número finito de subconjuntos, al menos uno de ellos debe ser infinito. Cualquier conjunto que pueda mapearse en un conjunto infinito es infinito. El producto cartesiano de un conjunto infinito y un conjunto no vacío es infinito. El producto cartesiano de un número infinito de conjuntos, cada uno de los cuales contiene al menos dos elementos, es vacío o infinito; si se cumple el axioma de elección, entonces es infinito.
Si un conjunto infinito es un conjunto bien ordenado , entonces debe tener un subconjunto no vacío ni trivial que no tenga el elemento mayor.
En ZF, un conjunto es infinito si y solo si el conjunto de potencias de su conjunto de potencias es un conjunto infinito de Dedekind , que tiene un subconjunto propio equinumerado a sí mismo. [6] Si el axioma de elección también es cierto, entonces los conjuntos infinitos son precisamente los conjuntos infinitos de Dedekind.
Si un conjunto infinito es un conjunto bien ordenado, entonces tiene muchos ordenamientos de pozo que no son isomórficos.
Ejemplos [ editar ]
Conjuntos contablemente infinitos [ editar ]
El conjunto de todos los enteros , {..., -1, 0, 1, 2, ...} es un conjunto infinito numerable. El conjunto de todos los enteros pares también es un conjunto infinito numerable, incluso si es un subconjunto propio de los enteros. [5]
El conjunto de todos los números racionales es un conjunto infinito numerable, ya que existe una biyección al conjunto de números enteros. [5]
Conjuntos infinitos incontables [ editar ]
El conjunto de todos los números reales es un conjunto infinito incontable. El conjunto de todos los números irracionales es también un conjunto infinito incontable. [5]
Ver también [ editar ]
- Número de Aleph
- número cardinal
- Número ordinal
Referencias [ editar ]
- ^ "El glosario definitivo de jerga matemática superior - infinito" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 29 de noviembre de 2019 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Conjunto infinito" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 29 de noviembre de 2019 .
- ^ a b "conjunto infinito en nLab" . ncatlab.org . Consultado el 29 de noviembre de 2019 .
- ^ Bagaria, Joan (2019), Zalta, Edward N. (ed.), "Teoría de conjuntos" , La enciclopedia de filosofía de Stanford (edición de otoño de 2019), Laboratorio de investigación de metafísica, Universidad de Stanford , consultado el 30 de noviembre de 2019
- ^ a b c d Caldwell, Chris. "El primer glosario: infinito" . primes.utm.edu . Consultado el 29 de noviembre de 2019 .
- ^ Boolos, George (1994), "Las ventajas del trabajo honesto sobre el robo", Matemáticas y mente (Amherst, MA, 1991) , Logic Comput. Philos., Universidad de Oxford. Press, Nueva York, págs. 27–44, MR 1373892 . Véanse en particular las págs. 32–33 .
Enlaces externos [ editar ]
- Un curso intensivo de matemáticas de conjuntos infinitos
