Teoría de la deformación infinitesimal

Parte de una serie sobre
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Científicos Bernoulli Boyle Cauchy Charles Euler Gay-Lussac Hooke Newton Navier Noll Pascal Stokes Truesdell
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En mecánica continua , la teoría de la deformación infinitesimal es un enfoque matemático para la descripción de la deformación de un cuerpo sólido en el que se supone que los desplazamientos de las partículas materiales son mucho más pequeños (de hecho, infinitesimalmente más pequeños) que cualquier dimensión relevante del cuerpo; de modo que su geometría y las propiedades constitutivas del material (como densidad y rigidez ) en cada punto del espacio se puede suponer que no se modifican por la deformación.

Con este supuesto, las ecuaciones de la mecánica del continuo se simplifican considerablemente. Este enfoque también se puede llamar teoría de pequeñas deformaciones , teoría de pequeños desplazamientos o teoría de pequeños desplazamientos-gradientes . Se contrasta con la teoría de la deformación finita donde se hace la suposición opuesta.

La teoría de la deformación infinitesimal se adopta comúnmente en la ingeniería civil y mecánica para el análisis de esfuerzos de estructuras construidas con materiales elásticos relativamente rígidos como el hormigón y el acero , ya que un objetivo común en el diseño de tales estructuras es minimizar su deformación bajo cargas típicas . Sin embargo, esta aproximación exige precaución en el caso de cuerpos delgados y flexibles, como varillas, placas y carcasas, que son susceptibles de rotaciones importantes, lo que hace que los resultados no sean fiables. ^[1]

Tensor de deformación infinitesimal

Para deformaciones infinitesimales de un cuerpo continuo , en el que el gradiente de desplazamiento (tensor de segundo orden) es pequeño en comparación con la unidad, es decir , es posible realizar una linealización geométrica de cualquiera de los (infinitos posibles) tensores de deformación utilizados en deformaciones finitas teoría, por ejemplo, el tensor de deformación lagrangiano y el tensor de deformación euleriano . En tal linealización, se desprecian los términos no lineales o de segundo orden del tensor de deformación finita. Así tenemos${\displaystyle \|\nabla \mathbf {u} \|\ll 1}$${\displaystyle \mathbf {E} }$${\displaystyle \mathbf {e} }$

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}+(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right)\approx {\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{T}\right)}$

o

${\displaystyle E_{KL}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial U_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial U_{L}}{\partial X_{K}}}+{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{K}}}{\frac {\partial U_{M}}{\partial X_{L}}}\right)\approx {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial U_{K}}{\partial X_{L}}}+{\frac {\partial U_{L}}{\partial X_{K}}}\right)}$

y

${\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} )^{T}-\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} (\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} )^{T}\right)\approx {\frac {1}{2}}\left(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {x} }\mathbf {u} )^{T}\right)}$

o

${\displaystyle e_{rs}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{r}}{\partial x_{s}}}+{\frac {\partial u_{s}}{\partial x_{r}}}-{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{r}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{s}}}\right)\approx {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{r}}{\partial x_{s}}}+{\frac {\partial u_{s}}{\partial x_{r}}}\right)}$

Esta linealización implica que la descripción lagrangiana y la descripción euleriana son aproximadamente iguales, ya que hay poca diferencia en las coordenadas materiales y espaciales de un punto material dado en el continuo. Por lo tanto, los componentes del gradiente de desplazamiento del material y los componentes del gradiente de desplazamiento espacial son aproximadamente iguales. Así tenemos

${\displaystyle \mathbf {E} \approx \mathbf {e} \approx {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}\left((\nabla \mathbf {u} )^{T}+\nabla \mathbf {u} \right)\qquad }$

o${\displaystyle \qquad E_{KL}\approx e_{rs}\approx \varepsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)}$

donde son los componentes del tensor de deformación infinitesimal , también llamado cepa tensor de Cauchy , tensor de deformación lineal , o pequeña tensor de deformación .${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{ij}&={\frac {1}{2}}\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right)\\&=\left[{\begin{matrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\\\end{matrix}}\right]\\&=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{2}}}\right)&{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{2}}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial x_{3}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{2}}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial x_{3}}}\right)&{\frac {\partial u_{3}}{\partial x_{3}}}\\\end{matrix}}\right]\end{aligned}}}$

o usando una notación diferente:

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\right)&{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\right)\\{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}\right)&{\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\end{matrix}}\right]}$

Además, dado que el gradiente de deformación se puede expresar como donde es el tensor de identidad de segundo orden, tenemos${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +{\boldsymbol {I}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {I}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}\left({\boldsymbol {F}}^{T}+{\boldsymbol {F}}\right)-{\boldsymbol {I}}}$

Además, de la expresión general para los tensores de deformación finita lagrangianos y eulerianos tenemos

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} _{(m)}&={\frac {1}{2m}}(\mathbf {U} ^{2m}-{\boldsymbol {I}})={\frac {1}{2m}}[({\boldsymbol {F}}^{T}{\boldsymbol {F}})^{m}-{\boldsymbol {I}}]\approx {\frac {1}{2m}}[\{{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}+{\boldsymbol {I}}\}^{m}-{\boldsymbol {I}}]\approx {\boldsymbol {\varepsilon }}\\\mathbf {e} _{(m)}&={\frac {1}{2m}}(\mathbf {V} ^{2m}-{\boldsymbol {I}})={\frac {1}{2m}}[({\boldsymbol {F}}{\boldsymbol {F}}^{T})^{m}-{\boldsymbol {I}}]\approx {\boldsymbol {\varepsilon }}\end{aligned}}}$

Derivación geométrica

Figura 1. Deformación geométrica bidimensional de un elemento material infinitesimal.

Considere una deformación bidimensional de un elemento de material rectangular infinitesimal con dimensiones por (Figura 1), que después de la deformación, toma la forma de un rombo. De la geometría de la Figura 1 tenemos${\displaystyle dx}$${\displaystyle dy}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {ab}}&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&=dx{\sqrt {1+2{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+\left({\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\\end{aligned}}}$

Para gradientes de desplazamiento muy pequeños, es decir , tenemos${\displaystyle \|\nabla \mathbf {u} \|\ll 1}$

${\displaystyle {\overline {ab}}\approx dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}$

La deformación normal en la dirección-del elemento rectangular se define por${\displaystyle x}$

${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {{\overline {ab}}-{\overline {AB}}}{\overline {AB}}}}$

y sabiendo eso , tenemos${\displaystyle {\overline {AB}}=dx}$

${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}}$

De manera similar, la deformación normal en la dirección -y la dirección-se convierte en${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\quad ,\qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}}$

La deformación por corte de ingeniería , o el cambio de ángulo entre dos líneas de material originalmente ortogonales, en este caso la línea y , se define como${\displaystyle {\overline {AC}}}$${\displaystyle {\overline {AB}}}$

${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta }$

De la geometría de la Figura 1 tenemos

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\dfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\quad ,\qquad \tan \beta ={\frac {{\dfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\dfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\dfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}}$

Para las pequeñas rotaciones, es decir, y son tenemos${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \ll 1}$

${\displaystyle \tan \alpha \approx \alpha \quad ,\qquad \tan \beta \approx \beta }$

y, nuevamente, para gradientes de desplazamiento pequeños, tenemos

${\displaystyle \alpha ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\quad ,\qquad \beta ={\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$

por lo tanto

${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$

Al intercambiar y y y , se puede demostrar que${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle u_{x}}$${\displaystyle u_{y}}$${\displaystyle \gamma _{xy}=\gamma _{yx}}$

De manera similar, para los planos - y - tenemos${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}}$

Puede verse que los componentes de la deformación por cizallamiento tensorial del tensor de deformación infinitesimal se pueden expresar usando la definición de deformación de ingeniería , como${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\varepsilon _{xx}&\gamma _{xy}/2&\gamma _{xz}/2\\\gamma _{yx}/2&\varepsilon _{yy}&\gamma _{yz}/2\\\gamma _{zx}/2&\gamma _{zy}/2&\varepsilon _{zz}\\\end{matrix}}\right]}$

Interpretación física

De la teoría de la deformación finita tenemos

${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {E} \cdot d\mathbf {X} \quad {\text{or}}\quad (dx)^{2}-(dX)^{2}=2E_{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}}$

Para cepas infinitesimales, tenemos

${\displaystyle d\mathbf {x} ^{2}-d\mathbf {X} ^{2}=d\mathbf {X} \cdot 2\mathbf {\boldsymbol {\varepsilon }} \cdot d\mathbf {X} \quad {\text{or}}\quad (dx)^{2}-(dX)^{2}=2\varepsilon _{KL}\,dX_{K}\,dX_{L}}$

Dividiendo por tenemos${\displaystyle (dX)^{2}}$

${\displaystyle {\frac {dx-dX}{dX}}{\frac {dx+dX}{dX}}=2\varepsilon _{ij}{\frac {dX_{i}}{dX}}{\frac {dX_{j}}{dX}}}$

Para las pequeñas deformaciones suponemos que , por tanto, el segundo término del lado izquierdo se convierte en: .${\displaystyle dx\approx dX}$${\displaystyle {\frac {dx+dX}{dX}}\approx 2}$

Entonces nosotros tenemos

${\displaystyle {\frac {dx-dX}{dX}}=\varepsilon _{ij}N_{i}N_{j}=\mathbf {N} \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {N} }$

donde , es el vector unitario en la dirección de , y la expresión del lado izquierdo es la deformación normal en la dirección de . Para el caso particular de en la dirección, es decir , tenemos${\displaystyle N_{i}={\frac {dX_{i}}{dX}}}$${\displaystyle d\mathbf {X} }$ ${\displaystyle e_{(\mathbf {N} )}}$${\displaystyle \mathbf {N} }$${\displaystyle \mathbf {N} }$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {I} _{1}}$

${\displaystyle e_{(\mathbf {I} _{1})}=\mathbf {I} _{1}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}\cdot \mathbf {I} _{1}=\varepsilon _{11}}$

De manera similar, para y podemos encontrar las deformaciones normales y , respectivamente. Por lo tanto, los elementos diagonales del tensor de deformación infinitesimal son las deformaciones normales en las direcciones de coordenadas.${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {I} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {N} =\mathbf {I} _{3}}$${\displaystyle \varepsilon _{22}}$${\displaystyle \varepsilon _{33}}$

Reglas de transformación de deformaciones

Si elegimos un sistema de coordenadas ortonormal ( ) podemos escribir el tensor en términos de componentes con respecto a esos vectores base como${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ij}\mathbf {e} _{i}\otimes \mathbf {e} _{j}}$

En forma de matriz,

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{12}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}}$

En su lugar, podemos optar fácilmente por utilizar otro sistema de coordenadas ortonormal ( ). En ese caso, los componentes del tensor son diferentes, digamos${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{1},{\hat {\mathbf {e} }}_{2},{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\hat {\varepsilon }}_{ij}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\otimes {\hat {\mathbf {e} }}_{j}\quad \implies \quad {\underline {\underline {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}={\begin{bmatrix}{\hat {\varepsilon }}_{11}&{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{13}\\{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{22}&{\hat {\varepsilon }}_{23}\\{\hat {\varepsilon }}_{13}&{\hat {\varepsilon }}_{23}&{\hat {\varepsilon }}_{33}\end{bmatrix}}}$

Los componentes de la deformación en los dos sistemas de coordenadas están relacionados por

${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}_{ij}=\ell _{ip}~\ell _{jq}~\varepsilon _{pq}}$

donde se ha utilizado la convención de suma de Einstein para índices repetidos y . En forma de matriz${\displaystyle \ell _{ij}={\hat {\mathbf {e} }}_{i}\cdot \mathbf {e} _{j}}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\hat {\boldsymbol {\varepsilon }}}}}={\underline {\underline {\mathbf {L} }}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}~{\underline {\underline {\mathbf {L} }}}^{T}}$

o

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\hat {\varepsilon }}_{11}&{\hat {\varepsilon }}_{12}&{\hat {\varepsilon }}_{13}\\{\hat {\varepsilon }}_{21}&{\hat {\varepsilon }}_{22}&{\hat {\varepsilon }}_{23}\\{\hat {\varepsilon }}_{31}&{\hat {\varepsilon }}_{32}&{\hat {\varepsilon }}_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\ell _{11}&\ell _{12}&\ell _{13}\\\ell _{21}&\ell _{22}&\ell _{23}\\\ell _{31}&\ell _{32}&\ell _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\ell _{11}&\ell _{12}&\ell _{13}\\\ell _{21}&\ell _{22}&\ell _{23}\\\ell _{31}&\ell _{32}&\ell _{33}\end{bmatrix}}^{T}}$

Invariantes de deformación

Ciertas operaciones en el tensor de deformación dan el mismo resultado sin importar qué sistema de coordenadas ortonormal se utilice para representar los componentes de la deformación. Los resultados de estas operaciones se denominan invariantes de deformación . Los invariantes de cepa más comúnmente utilizados son

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\\I_{2}&={\tfrac {1}{2}}\{[\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})]^{2}-\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }}^{2})\}\\I_{3}&=\det({\boldsymbol {\varepsilon }})\end{aligned}}}$

En términos de componentes

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}\\I_{2}&=\varepsilon _{12}^{2}+\varepsilon _{23}^{2}+\varepsilon _{31}^{2}-\varepsilon _{11}\varepsilon _{22}-\varepsilon _{22}\varepsilon _{33}-\varepsilon _{33}\varepsilon _{11}\\I_{3}&=\varepsilon _{11}(\varepsilon _{22}\varepsilon _{33}-\varepsilon _{23}^{2})-\varepsilon _{12}(\varepsilon _{11}\varepsilon _{33}-\varepsilon _{23}\varepsilon _{31})+\varepsilon _{13}(\varepsilon _{21}\varepsilon _{32}-\varepsilon _{22}\varepsilon _{31})\end{aligned}}}$

Principales cepas

Se puede demostrar que es posible encontrar un sistema de coordenadas ( ) en el que las componentes del tensor de deformación sean${\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}&0&0\\0&\varepsilon _{2}&0\\0&0&\varepsilon _{3}\end{bmatrix}}\quad \implies \quad {\boldsymbol {\varepsilon }}=\varepsilon _{1}\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\varepsilon _{2}\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\varepsilon _{3}\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}}$

Los componentes del tensor de deformación en el sistema de coordenadas ( ) se denominan deformaciones principales y las direcciones se denominan direcciones de deformación principal. Dado que no hay componentes de deformación cortante en este sistema de coordenadas, las deformaciones principales representan los tramos máximo y mínimo de un volumen elemental.${\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}$${\displaystyle \mathbf {n} _{i}}$

Si se nos dan los componentes del tensor de deformación en un sistema de coordenadas ortonormal arbitrario, podemos encontrar las deformaciones principales usando una descomposición de valores propios determinada resolviendo el sistema de ecuaciones

${\displaystyle ({\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}-\varepsilon _{i}~{\underline {\underline {\mathbf {I} }}})~\mathbf {n} _{i}={\underline {\mathbf {0} }}}$

Este sistema de ecuaciones equivale a encontrar el vector a lo largo del cual el tensor de deformación se convierte en un tramo puro sin componente de corte.${\displaystyle \mathbf {n} _{i}}$

Deformación volumétrica

La dilatación (la variación relativa del volumen) es la primera deformación invariante o traza del tensor:

${\displaystyle \delta ={\frac {\Delta V}{V_{0}}}=I_{1}=\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}}$

En realidad, si consideramos un cubo con una longitud de arista a , es un cuasicubo después de la deformación (las variaciones de los ángulos no cambian el volumen) con las dimensiones y V ₀ = a ³ , por lo tanto${\displaystyle a\cdot (1+\varepsilon _{11})\times a\cdot (1+\varepsilon _{22})\times a\cdot (1+\varepsilon _{33})}$

${\displaystyle {\frac {\Delta V}{V_{0}}}={\frac {\left(1+\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}+\varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}\right)\cdot a^{3}-a^{3}}{a^{3}}}}$

ya que consideramos pequeñas deformaciones,

${\displaystyle 1\gg \varepsilon _{ii}\gg \varepsilon _{ii}\cdot \varepsilon _{jj}\gg \varepsilon _{11}\cdot \varepsilon _{22}\cdot \varepsilon _{33}}$

de ahí la fórmula.

Variación real de volumen (arriba) y la aproximada (abajo): el dibujo verde muestra el volumen estimado y el dibujo naranja el volumen desatendido

En caso de corte puro, podemos ver que no hay cambio de volumen.

Tensor del desviador de deformación

El tensor de deformación infinitesimal , de manera similar al tensor de tensión de Cauchy , se puede expresar como la suma de otros dos tensores: ${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$

1. un tensor de deformación media o tensor de deformación volumétrica o tensor de deformación esférica , , relacionados a la dilatación o cambio de volumen; y${\displaystyle \varepsilon _{M}\delta _{ij}}$
2. un componente llamado desviador de la cepa desviador tensor , , relacionado con la distorsión.${\displaystyle \varepsilon '_{ij}}$

${\displaystyle \varepsilon _{ij}=\varepsilon '_{ij}+\varepsilon _{M}\delta _{ij}}$

donde es la deformación media dada por${\displaystyle \varepsilon _{M}}$

${\displaystyle \varepsilon _{M}={\frac {\varepsilon _{kk}}{3}}={\frac {\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}+\varepsilon _{33}}{3}}={\tfrac {1}{3}}I_{1}^{e}}$

El tensor de deformación desviador se puede obtener restando el tensor de deformación medio del tensor de deformación infinitesimal:

${\displaystyle {\begin{aligned}\ \varepsilon '_{ij}&=\varepsilon _{ij}-{\frac {\varepsilon _{kk}}{3}}\delta _{ij}\\\left[{\begin{matrix}\varepsilon '_{11}&\varepsilon '_{12}&\varepsilon '_{13}\\\varepsilon '_{21}&\varepsilon '_{22}&\varepsilon '_{23}\\\varepsilon '_{31}&\varepsilon '_{32}&\varepsilon '_{33}\\\end{matrix}}\right]&=\left[{\begin{matrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\\\end{matrix}}\right]-\left[{\begin{matrix}\varepsilon _{M}&0&0\\0&\varepsilon _{M}&0\\0&0&\varepsilon _{M}\\\end{matrix}}\right]\\&=\left[{\begin{matrix}\varepsilon _{11}-\varepsilon _{M}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}-\varepsilon _{M}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}-\varepsilon _{M}\\\end{matrix}}\right]\\\end{aligned}}}$

Cepas octaédricas

Sean ( ) las direcciones de las tres cepas principales. Un plano octaédrico es aquel cuya normal forma ángulos iguales con las tres direcciones principales. La deformación por cizallamiento de ingeniería en un plano octaédrico se llama deformación por cizallamiento octaédrico y está dada por${\displaystyle \mathbf {n} _{1},\mathbf {n} _{2},\mathbf {n} _{3}}$

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {oct} }={\tfrac {2}{3}}{\sqrt {(\varepsilon _{1}-\varepsilon _{2})^{2}+(\varepsilon _{2}-\varepsilon _{3})^{2}+(\varepsilon _{3}-\varepsilon _{1})^{2}}}}$

donde están las principales cepas. ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle \varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\varepsilon _{3}}$

La deformación normal en un plano octaédrico está dada por

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {oct} }={\tfrac {1}{3}}(\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}+\varepsilon _{3})}$^{[ cita requerida ]}

Cepa equivalente

Una cantidad escalar llamada deformación equivalente , o deformación equivalente de von Mises , se utiliza a menudo para describir el estado de deformación en sólidos. En la bibliografía se pueden encontrar varias definiciones de cepa equivalente. Una definición que se usa comúnmente en la literatura sobre plasticidad es

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {eq} }={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }:{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }}}={\sqrt {{\tfrac {2}{3}}\varepsilon _{ij}^{\mathrm {dev} }\varepsilon _{ij}^{\mathrm {dev} }}}~;~~{\boldsymbol {\varepsilon }}^{\mathrm {dev} }={\boldsymbol {\varepsilon }}-{\tfrac {1}{3}}\mathrm {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~{\boldsymbol {I}}}$

Esta cantidad es trabajo conjugado al esfuerzo equivalente definido como

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {eq} }={\sqrt {{\tfrac {3}{2}}{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {dev} }:{\boldsymbol {\sigma }}^{\mathrm {dev} }}}}$

Ecuaciones de compatibilidad

Artículo principal: Compatibilidad (mecánica)

Para los componentes de deformación prescritos, la ecuación del tensor de deformaciones representa un sistema de seis ecuaciones diferenciales para la determinación de tres componentes de desplazamiento , lo que da un sistema sobredeterminado. Por lo tanto, generalmente no existe una solución para una elección arbitraria de componentes de deformación. Por lo tanto, se imponen algunas restricciones, denominadas ecuaciones de compatibilidad , sobre los componentes de la deformación. Con la adición de las tres ecuaciones de compatibilidad, el número de ecuaciones independientes se reduce a tres, igualando el número de componentes de desplazamiento desconocidos. Estas restricciones sobre el tensor de deformación fueron descubiertas por Saint-Venant y se denominan " ecuaciones de compatibilidad de Saint Venant ".${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$${\displaystyle u_{i,j}+u_{j,i}=2\varepsilon _{ij}}$${\displaystyle u_{i}}$

Las funciones de compatibilidad sirven para asegurar una función de desplazamiento continuo de un solo valor . Si el medio elástico se visualiza como un conjunto de cubos infinitesimales en el estado no tensado, después de que se tensa el medio, es posible que un tensor de deformación arbitrario no produzca una situación en la que los cubos distorsionados encajen entre sí sin superponerse.${\displaystyle u_{i}}$

En notación de índice, las ecuaciones de compatibilidad se expresan como

${\displaystyle \varepsilon _{ij,km}+\varepsilon _{km,ij}-\varepsilon _{ik,jm}-\varepsilon _{jm,ik}=0}$

Notación de ingeniería

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{xy}}{\partial x\partial y}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial y^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{yz}}{\partial y\partial z}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x^{2}}}=2{\frac {\partial ^{2}\epsilon _{zx}}{\partial z\partial x}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{x}}{\partial y\partial z}}={\frac {\partial }{\partial x}}\left(-{\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{y}}{\partial z\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}-{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}+{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)}$ ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\epsilon _{z}}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left({\frac {\partial \epsilon _{yz}}{\partial x}}+{\frac {\partial \epsilon _{zx}}{\partial y}}-{\frac {\partial \epsilon _{xy}}{\partial z}}\right)}$

Casos especiales

Deformación plana

Estado de deformación plana en un continuo.

En los componentes de ingeniería reales, la tensión (y la deformación) son tensores tridimensionales, pero en estructuras prismáticas como un tocho de metal largo, la longitud de la estructura es mucho mayor que las otras dos dimensiones. Las deformaciones asociadas con la longitud, es decir, la deformación normal y las deformaciones por cizallamiento y (si la longitud es en 3 direcciones) están restringidas por el material cercano y son pequeñas en comparación con las deformaciones transversales . La deformación plana es entonces una aproximación aceptable. El tensor de deformación para deformación plana se escribe como:${\displaystyle \varepsilon _{33}}$${\displaystyle \varepsilon _{13}}$${\displaystyle \varepsilon _{23}}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&0\\\varepsilon _{21}&\varepsilon _{22}&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$

en el que el subrayado doble indica un tensor de segundo orden . Este estado de deformación se denomina deformación plana . El tensor de tensión correspondiente es:

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}={\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&0\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&0\\0&0&\sigma _{33}\end{bmatrix}}}$

en el que se necesita un valor distinto de cero para mantener la restricción . Este término de estrés puede eliminarse temporalmente del análisis para dejar solo los términos en el plano, reduciendo efectivamente el problema 3-D a un problema 2-D mucho más simple.${\displaystyle \sigma _{33}}$${\displaystyle \epsilon _{33}=0}$

Cepa antiplano

Artículo principal: cizalla antiplano

La deformación antiplano es otro estado especial de deformación que puede ocurrir en un cuerpo, por ejemplo, en una región cercana a la dislocación de un tornillo . El tensor de deformación para la deformación antiplano está dado por

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}0&0&\varepsilon _{13}\\0&0&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{13}&\varepsilon _{23}&0\end{bmatrix}}}$

Tensor de rotación infinitesimal

El tensor de deformación infinitesimal se define como

${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}]}$

Por lo tanto, el gradiente de desplazamiento se puede expresar como

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ={\boldsymbol {\varepsilon }}+{\boldsymbol {\omega }}}$

dónde

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}:={\frac {1}{2}}[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} -({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}]}$

La cantidad es el tensor de rotación infinitesimal . Este tensor es simétrico sesgado . Para deformaciones infinitesimales, los componentes escalares de satisfacen la condición . Tenga en cuenta que el gradiente de desplazamiento es pequeño solo si tanto el tensor de deformación como el tensor de rotación son infinitesimales.${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$${\displaystyle |\omega _{ij}|\ll 1}$

El vector axial

Un tensor de segundo orden simétrico sesgado tiene tres componentes escalares independientes. Estos tres componentes se utilizan para definir un vector axial , , como sigue${\displaystyle \mathbf {w} }$

${\displaystyle \omega _{ij}=-\epsilon _{ijk}~w_{k}~;~~w_{i}=-{\tfrac {1}{2}}~\epsilon _{ijk}~\omega _{jk}}$

donde está el símbolo de permutación . En forma de matriz${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$

${\displaystyle {\underline {\underline {\boldsymbol {\omega }}}}={\begin{bmatrix}0&-w_{3}&w_{2}\\w_{3}&0&-w_{1}\\-w_{2}&w_{1}&0\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\mathbf {w} }}={\begin{bmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{bmatrix}}}$

El vector axial también se denomina vector de rotación infinitesimal . El vector de rotación está relacionado con el gradiente de desplazamiento por la relación

${\displaystyle \mathbf {w} ={\tfrac {1}{2}}~{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {u} }$

En notación de índice

${\displaystyle w_{i}={\tfrac {1}{2}}~\epsilon _{ijk}~u_{k,j}}$

Si y entonces el material sufre una rotación de cuerpo rígido aproximada de magnitud alrededor del vector .${\displaystyle \lVert {\boldsymbol {\omega }}\rVert \ll 1}$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\boldsymbol {0}}}$${\displaystyle |\mathbf {w} |}$${\displaystyle \mathbf {w} }$

Relación entre el tensor de deformación y el vector de rotación

Dado un campo de desplazamiento continuo de un solo valor y el tensor de deformación infinitesimal correspondiente , tenemos (ver Derivada del tensor (mecánica del continuo) )${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=e_{ijk}~\varepsilon _{lj,i}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}={\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~[u_{l,ji}+u_{j,li}]~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}}$

Dado que un cambio en el orden de diferenciación no cambia el resultado ,. Por lo tanto${\displaystyle u_{l,ji}=u_{l,ij}}$

${\displaystyle \,e_{ijk}u_{l,ji}=(e_{12k}+e_{21k})u_{l,12}+(e_{13k}+e_{31k})u_{l,13}+(e_{23k}+e_{32k})u_{l,32}=0}$

También

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~u_{j,li}=\left({\tfrac {1}{2}}~e_{ijk}~u_{j,i}\right)_{,l}=\left({\tfrac {1}{2}}~e_{kij}~u_{j,i}\right)_{,l}=w_{k,l}}$

Por eso

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=w_{k,l}~\mathbf {e} _{k}\otimes \mathbf {e} _{l}={\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} }$

Relación entre el tensor de rotación y el vector de rotación

A partir de una identidad importante con respecto al rizo de un tensor , sabemos que para un campo de desplazamiento continuo de un solo valor ,${\displaystyle \mathbf {u} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )={\boldsymbol {0}}.}$

Ya que tenemos${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} ={\boldsymbol {\varepsilon }}+{\boldsymbol {\omega }}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\omega }}=-{\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\varepsilon }}=-{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {w} .}$

Tensor de deformación en coordenadas cilíndricas

En coordenadas polares cilíndricas ( ), el vector de desplazamiento se puede escribir como${\displaystyle r,\theta ,z}$

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{r}~\mathbf {e} _{r}+u_{\theta }~\mathbf {e} _{\theta }+u_{z}~\mathbf {e} _{z}}$

Los componentes del tensor de deformación en un sistema de coordenadas cilíndrico están dados por: ^[2]${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\cfrac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{zz}&={\cfrac {\partial u_{z}}{\partial z}}\\\varepsilon _{r\theta }&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta z}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial z}}+{\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial \theta }}\right)\\\varepsilon _{zr}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{r}}{\partial z}}+{\cfrac {\partial u_{z}}{\partial r}}\right)\end{aligned}}}$

Tensor de deformación en coordenadas esféricas

En coordenadas esféricas ( ), el vector de desplazamiento se puede escribir como${\displaystyle r,\theta ,\phi }$

Coordenadas esféricas ( r , θ , φ ) como se usan comúnmente en física : distancia radial r , ángulo polar θ ( theta ) y ángulo azimutal φ ( phi ). El símbolo ρ ( rho ) se usa a menudo en lugar de r .

${\displaystyle \mathbf {u} =u_{r}~\mathbf {e} _{r}+u_{\theta }~\mathbf {e} _{\theta }+u_{\phi }~\mathbf {e} _{\phi }}$

Las componentes del tensor de deformación en un sistema de coordenadas esféricas están dadas por ^[2]

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{rr}&={\cfrac {\partial u_{r}}{\partial r}}\\\varepsilon _{\theta \theta }&={\cfrac {1}{r}}\left({\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \theta }}+u_{r}\right)\\\varepsilon _{\phi \phi }&={\cfrac {1}{r\sin \theta }}\left({\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial \phi }}+u_{r}\sin \theta +u_{\theta }\cos \theta \right)\\\varepsilon _{r\theta }&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r}}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \theta }}+{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\theta }}{r}}\right)\\\varepsilon _{\theta \phi }&={\cfrac {1}{2r}}\left({\cfrac {1}{\sin \theta }}{\cfrac {\partial u_{\theta }}{\partial \phi }}+{\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial \theta }}-u_{\phi }\cot \theta \right)\\\varepsilon _{\phi r}&={\cfrac {1}{2}}\left({\cfrac {1}{r\sin \theta }}{\cfrac {\partial u_{r}}{\partial \phi }}+{\cfrac {\partial u_{\phi }}{\partial r}}-{\cfrac {u_{\phi }}{r}}\right)\end{aligned}}}$

Ver también

• Deformación (mecánica)
• Compatibilidad (mecánica)
• Estrés
• Medidor de tensión
• Curva tensión-deformación
• ley de Hooke
• el coeficiente de Poisson
• Teoría de la deformación finita
• Tasa de deformación
• Estrés aereo
• Correlación de imágenes digitales

Referencias

1. Boresi, Arthur P. (Arthur Peter), 1924- (2003). Mecánica avanzada de materiales . Schmidt, Richard J. (Richard Joseph), 1954- (6ª ed.). Nueva York: John Wiley & Sons. pag. 62. ISBN 1601199228. OCLC  430194205 .
2. Slaughter, William S. (2002). La teoría linealizada de la elasticidad . Nueva York: Springer Science + Business Media. doi : 10.1007 / 978-1-4612-0093-2 . ISBN 9781461266082.

Enlaces externos