infinito

Para el símbolo, consulte Símbolo de infinito .

Para otros usos de "Infinito" e "Infinito", consulte Infinito (desambiguación) .

Concepto matemático

El símbolo del infinito

El infinito representa algo que es ilimitado o infinito, o algo que es más grande que cualquier número real o natural . ^[1] A menudo se indica con el símbolo de infinito que se muestra aquí.

Desde la época de los antiguos griegos , la naturaleza filosófica del infinito fue objeto de muchas discusiones entre los filósofos. En el siglo XVII, con la introducción del símbolo de infinito ^[2] y el cálculo infinitesimal , los matemáticos comenzaron a trabajar con series infinitas y lo que algunos matemáticos (incluidos L'Hôpital y Bernoulli ) ^[3] consideraban cantidades infinitamente pequeñas, pero infinitas. siguió estando asociado con procesos interminables. ^[4]Mientras los matemáticos luchaban con los fundamentos del cálculo, no estaba claro si el infinito podía considerarse un número o una magnitud y, de ser así, cómo se podía hacer. ^[2] A finales del siglo XIX, Georg Cantor amplió el estudio matemático del infinito al estudiar conjuntos infinitos y números infinitos , demostrando que pueden ser de varios tamaños. ^{[2] [5]} Por ejemplo, si una línea se ve como el conjunto de todos sus puntos, su número infinito (es decir, la cardinalidad de la línea) es mayor que el número de enteros . ^[6] En este uso, el infinito es un concepto matemático, y el infinitoLos objetos matemáticos se pueden estudiar, manipular y utilizar como cualquier otro objeto matemático.

El concepto matemático de infinito refina y amplía el antiguo concepto filosófico, en particular mediante la introducción de infinitos tamaños diferentes de conjuntos infinitos. Entre los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , sobre los que se puede desarrollar la mayor parte de las matemáticas modernas, se encuentra el axioma del infinito , que garantiza la existencia de conjuntos infinitos. ^[2] El concepto matemático de infinito y la manipulación de conjuntos infinitos se utilizan en todas partes en matemáticas, incluso en áreas como la combinatoria que pueden parecer no tener nada que ver con ellas. Por ejemplo, la prueba de Wiles del último teorema de Fermat se basa implícitamente en la existencia de conjuntos infinitos muy grandes ^[7]para resolver un problema de larga data que se plantea en términos de aritmética elemental .

En física y cosmología , si el Universo es infinito es una cuestión abierta.

Historia

Más información: Infinity (filosofía)

Las culturas antiguas tenían varias ideas sobre la naturaleza del infinito. Los antiguos indios y griegos no definieron el infinito con un formalismo preciso como lo hacen las matemáticas modernas, sino que se acercaron al infinito como un concepto filosófico.

Griego temprano

La primera idea registrada del infinito puede ser la de Anaximandro (c. 610 - c. 546 aC), un filósofo griego presocrático . Usó la palabra apeiron , que significa "ilimitado", "indefinido", y tal vez pueda traducirse como "infinito". ^{[2] [8]}

Aristóteles (350 aC) distingue potencial infinito del infinito actual , que consideraba imposible debido a las diversas paradojas que parecía producir. ^[9] Se ha argumentado que, de acuerdo con este punto de vista, los griegos helenísticos tenían un "horror al infinito" ^{[10] [11]} que explicaría, por ejemplo, por qué Euclides (c. 300 a. C.) no dijo que hay una infinidad de números primos, sino más bien "Los números primos son más que cualquier multitud asignada de números primos". ^[12] También se ha sostenido que, al probar este teorema , Euclides "fue el primero en vencer el horror del infinito". ^[13]Existe una controversia similar sobre el postulado paralelo de Euclides , a veces traducido

Si una línea recta que atraviesa dos [otras] líneas rectas forma ángulos internos en el mismo lado [de sí misma cuya suma es] menor que dos ángulos rectos, entonces las dos [otras] líneas rectas, que se producen hasta el infinito, se encuentran en ese lado [de la línea recta original] que la [suma de los ángulos internos] es menor que dos ángulos rectos. ^[14]

Otros traductores, sin embargo, prefieren la traducción "las dos líneas rectas, si se producen indefinidamente ...", ^[15] evitando así la implicación de que Euclides se sentía cómodo con la noción de infinito. Finalmente, se ha sostenido que una reflexión sobre el infinito, lejos de provocar un "horror al infinito", subyacía a toda la filosofía griega primitiva y que el "infinito potencial" de Aristóteles es una aberración de la tendencia general de este período. ^[dieciséis]

Zenón: Aquiles y la tortuga

Artículo principal: paradojas de Zenón § Aquiles y la tortuga

Zenón de Elea (c. 495 - c. 430 a. C.) no adelantó ningún punto de vista sobre el infinito. Sin embargo, sus paradojas, ^[17] especialmente "Aquiles y la tortuga", fueron contribuciones importantes porque dejaron en claro la insuficiencia de las concepciones populares. Bertrand Russell describió las paradojas como "inmensamente sutiles y profundas". ^[18]

Aquiles corre con una tortuga, lo que le da a esta última una ventaja.

Paso # 1: Aquiles corre hacia el punto de partida de la tortuga mientras la tortuga camina hacia adelante.

Paso # 2: Aquiles avanza hasta donde estaba la tortuga al final del Paso # 1 mientras la tortuga va aún más lejos.

Paso # 3: Aquiles avanza hasta donde estaba la tortuga al final del Paso # 2 mientras la tortuga va aún más lejos.

Paso # 4: Aquiles avanza hasta donde estaba la tortuga al final del Paso # 3 mientras la tortuga va aún más lejos.

Etc.

Aparentemente, Aquiles nunca alcanza a la tortuga, ya que por muchos pasos que da, la tortuga permanece delante de él.

Zeno no estaba tratando de hacer un punto sobre el infinito. Como miembro de la escuela eleática que consideraba el movimiento como una ilusión, vio como un error suponer que Aquiles pudiera correr. Los pensadores posteriores, que encontraron inaceptable esta solución, lucharon durante más de dos milenios para encontrar otras debilidades en el argumento.

Finalmente, en 1821, Augustin-Louis Cauchy proporcionó una definición satisfactoria de un límite y una prueba de que, para 0 < x <1,

a + hacha + hacha ² + hacha ³ + hacha ⁴ + hacha ⁵ + · · · =a/1− x. ^[19]

Supongamos que Aquiles corre a 10 metros por segundo, la tortuga camina a 0,1 metros por segundo y esta última tiene una ventaja de 100 metros. La duración de la persecución se ajusta al patrón de Cauchy con a  = 10 segundos yx  = 0.01. Aquiles alcanza a la tortuga; se lo lleva

10 + 0,1 + 0,001 + 0,00001 + · · · =10/1−0,01 = 10/0,99 = 10 10/99 segundos.

Indio temprano

El texto matemático jainista Surya Prajnapti (c. Siglo IV-III a. C.) clasifica todos los números en tres conjuntos: enumerables , innumerables e infinitos. Cada uno de estos se subdividió en tres órdenes: ^[20]

• Enumerable: más bajo, intermedio y más alto
• Innumerables: casi innumerables, verdaderamente innumerables e innumerables innumerables
• Infinito: casi infinito, verdaderamente infinito, infinitamente infinito

Siglo XVII

En el siglo XVII, los matemáticos europeos comenzaron a usar números infinitos y expresiones infinitas de manera sistemática. En 1655, John Wallis utilizó por primera vez la notación para tal número en su De sectionibus conicis, ^[21] y la explotó en cálculos de área dividiendo la región en franjas infinitesimales de ancho del orden de ^[22] Pero en Arithmetica infinitorum (también en 1655), indica series infinitas, productos infinitos y fracciones continuas infinitas escribiendo algunos términos o factores y luego añadiendo "& c.", como en "1, 6, 12, 18, 24, & c". ^[23]${\displaystyle \infty }$${\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}.}$

En 1699, Isaac Newton escribió sobre ecuaciones con un número infinito de términos en su obra De analysi per aequationes numero terminorum infinitas . ^[24]

Matemáticas

Hermann Weyl abrió un discurso matemático-filosófico dado en 1930 con: ^[25]

Las matemáticas son la ciencia del infinito.

Símbolo

Artículo principal: símbolo de infinito

El símbolo de infinito (a veces llamado lemniscate ) es un símbolo matemático que representa el concepto de infinito. El símbolo está codificado en Unicode en U + 221E ∞ INFINITY (HTML  · ) ^[26] y en LaTeX como . ^[27]${\displaystyle \infty }$ ∞  ∞\infty

Fue introducido en 1655 por John Wallis , ^{[28] [29]} y desde su introducción, también se ha utilizado fuera de las matemáticas en el misticismo moderno ^[30] y la simbología literaria . ^[31]

Cálculo

Gottfried Leibniz , uno de los co-inventores del cálculo infinitesimal , especuló ampliamente sobre los números infinitos y su uso en matemáticas. Para Leibniz, tanto los infinitesimales como las cantidades infinitas eran entidades ideales, no de la misma naturaleza que las cantidades apreciables, pero que gozaban de las mismas propiedades de acuerdo con la Ley de Continuidad . ^{[32] [3]}

Análisis real

En el análisis real , el símbolo , llamado "infinito", se usa para denotar un límite ilimitado . ^[33] La notación significa que  aumenta sin límite y significa que  disminuye sin límite. Por ejemplo, si para todos  , entonces ^[34]${\displaystyle \infty }$${\displaystyle x\rightarrow \infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\to -\infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(t)\geq 0}$${\displaystyle t}$

• ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)\,dt=\infty }$significa que no limita un área finita de a${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b.}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=\infty }$significa que el área debajo es infinita.${\displaystyle f(t)}$
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,dt=a}$significa que el área total debajo es finita y es igual a${\displaystyle f(t)}$${\displaystyle a.}$

Infinity también se puede usar para describir series infinitas , de la siguiente manera:

• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=a}$significa que la suma de la serie infinita converge a algún valor real${\displaystyle a.}$
• ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }f(i)=\infty }$significa que la suma de la serie infinita diverge propiamente hasta el infinito, en el sentido de que las sumas parciales aumentan sin límite. ^[35]

Además de definir un límite, el infinito también se puede utilizar como valor en el sistema de números reales extendido. ^[1] Puntos etiquetados y añadidos al espacio topológico de los números reales, produciendo la compactación de dos puntos de los números reales. Añadiendo propiedades algebraicas a esto, obtenemos los números reales extendidos . ^[36] También podemos tratar y como lo mismo, lo que lleva a la compactación de un punto de los números reales, que es la línea proyectiva real . ^[37] La geometría proyectiva también se refiere a una línea en el infinito en la geometría plana, una${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$ plano en el infinito en el espacio tridimensional, y un hiperplano en el infinito para las dimensiones generales , cada uno de los cuales consta de puntos en el infinito . ^[38]

Análisis complejo

Por proyección estereográfica , el plano complejo se puede "envolver" en una esfera, con el punto superior de la esfera correspondiente al infinito. Esto se llama esfera de Riemann .

En el análisis complejo, el símbolo , llamado "infinito", denota un límite infinito sin signo . significa que la magnitud  de  crece más allá de cualquier valor asignado. Un punto etiquetado se puede agregar al plano complejo como un espacio topológico dando la compactificación de un punto del plano complejo. ^[39] Cuando se hace esto, el espacio resultante es una variedad compleja unidimensional , o superficie de Riemann , llamada plano complejo extendido o esfera de Riemann.${\displaystyle \infty }$${\displaystyle x\rightarrow \infty }$${\displaystyle |x|}$${\displaystyle x}$ ∞ {\displaystyle \infty } . También se pueden definir operaciones aritméticas similares a las dadas anteriormente para los números reales extendidos, aunque no hay distinción en los signos (lo que conduce a la única excepción de que el infinito no se puede agregar a sí mismo). Por otro lado, este tipo de infinito permite la división por cero , es decir, para cualquier número complejo distinto de cero  . En este contexto, a menudo es útil considerar funciones meromórficas como mapas en la esfera de Riemann tomando el valor de en los polos. El dominio de una función de valor complejo puede extenderse para incluir también el punto en el infinito. Un ejemplo importante de tales funciones es el grupo de transformaciones de Möbius (ver Transformación de Möbius § Descripción general ).${\displaystyle z/0=\infty }$${\displaystyle z}$${\displaystyle \infty }$

Análisis no estándar

Infinitesimales (ε) e infinitos (ω) en la recta numérica hiperreal (1 / ε = ω / 1)

La formulación original del cálculo infinitesimal de Isaac Newton y Gottfried Leibniz utilizó cantidades infinitesimales . En el siglo XX, se demostró que este tratamiento podía establecerse sobre una base rigurosa a través de varios sistemas lógicos , incluido el análisis infinitesimal fluido y el análisis no estándar . En este último, los infinitesimales son invertibles y sus inversos son números infinitos. Los infinitos en este sentido son parte de un campo hiperreal ; no hay equivalencia entre ellos como con los transfinitos cantorianos. Por ejemplo, si H es un número infinito en este sentido, entonces H + H = 2H y H + 1 son números infinitos distintos. Este enfoque del cálculo no estándar está completamente desarrollado en Keisler (1986) .

Teoría de conjuntos

Artículos principales: Cardinalidad y número ordinal

Correspondencia uno a uno entre un conjunto infinito y su subconjunto adecuado

Una forma diferente de "infinito" son los infinitos ordinal y cardinal de la teoría de conjuntos, un sistema de números transfinitos desarrollado por primera vez por Georg Cantor . En este sistema, el primer cardinal transfinito es aleph-null ( ℵ ₀ ), la cardinalidad del conjunto de números naturales . Esta concepción matemática moderna del infinito cuantitativo se desarrolló a finales del siglo XIX a partir de obras de Cantor, Gottlob Frege , Richard Dedekind y otros, utilizando la idea de colecciones o conjuntos. ^[2]

El enfoque de Dedekind fue esencialmente adoptar la idea de correspondencia uno a uno como estándar para comparar el tamaño de los conjuntos, y rechazar la opinión de Galileo (derivada de Euclides ) de que el todo no puede tener el mismo tamaño que la parte (sin embargo , vea la paradoja de Galileo donde concluye que los números enteros cuadrados positivos tienen el mismo tamaño que los números enteros positivos). Un conjunto infinito puede definirse simplemente como uno que tiene el mismo tamaño que al menos una de sus partes adecuadas ; esta noción de infinito se llama Dedekind infinito. El diagrama de la derecha da un ejemplo: al ver las líneas como conjuntos infinitos de puntos, la mitad izquierda de la línea azul inferior se puede mapear de una manera uno a uno (correspondencias verdes) a la línea azul superior y, a su vez, , a toda la línea azul inferior (correspondencias rojas); por lo tanto, toda la línea azul inferior y su mitad izquierda tienen la misma cardinalidad, es decir, "tamaño". ^{[ cita requerida ]}

Cantor definió dos tipos de números infinitos: números ordinales y números cardinales . Los números ordinales caracterizan conjuntos bien ordenados , o el conteo se lleva a cabo hasta cualquier punto de parada, incluidos los puntos después de que ya se haya contado un número infinito. La generalización de secuencias infinitas finitas y (ordinarias) que son mapas de los enteros positivos conduce a asignacionesdesde números ordinales hasta secuencias transfinitas. Los números cardinales definen el tamaño de los conjuntos, es decir, cuántos miembros contienen, y se pueden estandarizar eligiendo el primer número ordinal de cierto tamaño para representar el número cardinal de ese tamaño. El infinito ordinal más pequeño es el de los enteros positivos, y cualquier conjunto que tenga la cardinalidad de los enteros es infinito numerable . Si un conjunto es demasiado grande para ponerlo en correspondencia uno a uno con los números enteros positivos, se le llama incontable . Los puntos de vista de Cantor prevalecieron y las matemáticas modernas aceptan el infinito real como parte de una teoría consistente y coherente. ^{[40] [41] [ página necesaria ]} Ciertos sistemas numéricos extendidos, como los números hiperreales, incorporan los números ordinarios (finitos) y los números infinitos de diferentes tamaños. ^{[ cita requerida ]}

Cardinalidad del continuo

Artículo principal: Cardinalidad del continuo

Uno de los resultados más importantes de Cantor fue que la cardinalidad del continuo es mayor que la de los números naturales ; es decir, hay más números reales R de números naturales N . Es decir, Cantor demostró eso (ver el argumento diagonal de Cantor o la primera prueba de incontablecimiento de Cantor ). ^[42]${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle {\aleph _{0}}}$${\displaystyle \mathbf {c} =2^{\aleph _{0}}>{\aleph _{0}}}$

La hipótesis del continuo establece que no existe un número cardinal entre la cardinalidad de los reales y la cardinalidad de los números naturales, es decir, (ver Beth uno ). Esta hipótesis no puede ser probada o refutada dentro de la teoría de conjuntos ampliamente aceptada de Zermelo-Fraenkel , incluso asumiendo el axioma de elección . ^[43]${\displaystyle \mathbf {c} =\aleph _{1}=\beth _{1}}$

La aritmética cardinal puede usarse para mostrar no solo que el número de puntos en una recta numérica real es igual al número de puntos en cualquier segmento de esa recta, sino también que esto es igual al número de puntos en un plano y, de hecho, , en cualquier espacio de dimensión finita . ^{[ cita requerida ]}

Los primeros tres pasos de una construcción fractal cuyo límite es una curva que llena el espacio , mostrando que hay tantos puntos en una línea unidimensional como en un cuadrado bidimensional.

El primero de estos resultados es evidente si se considera, por ejemplo, la función tangente , que proporciona una correspondencia biunívoca entre el intervalo (−π / 2, π / 2) y  R (véase también la paradoja de Hilbert del Grand Hotel ). El segundo resultado fue probado por Cantor en 1878, pero solo se hizo evidente intuitivamente en 1890, cuando Giuseppe Peano introdujo las curvas que llenan el espacio , líneas curvas que se retuercen y giran lo suficiente como para llenar la totalidad de cualquier cuadrado, cubo o hipercubo., o espacio de dimensión finita. Estas curvas se pueden utilizar para definir una correspondencia uno a uno entre los puntos en un lado de un cuadrado y los puntos en el cuadrado. ^[44]

Geometría

Hasta finales del siglo XIX, el infinito rara vez se discutía en geometría , excepto en el contexto de procesos que podían continuar sin ningún límite. Por ejemplo, una línea era lo que ahora se llama segmento de línea , con la condición de que se pueda extender tanto como se desee; pero extenderlo infinitamente estaba fuera de cuestión. De manera similar, generalmente no se consideraba que una línea estuviera compuesta por un número infinito de puntos, sino que era una ubicación donde se podía colocar un punto. Incluso si hay infinitas posiciones posibles, solo se podría colocar un número finito de puntos en una línea. Testigo de esto es la expresión "el lugar geométrico de un puntoque satisface alguna propiedad "(singular), donde los matemáticos modernos generalmente dirían" el conjunto de los puntos que tienen la propiedad "(plural).

Una de las raras excepciones de un concepto matemático que involucra el infinito real fue la geometría proyectiva , donde los puntos en el infinito se agregan al espacio euclidiano para modelar el efecto de perspectiva que muestra líneas paralelas que se cruzan "en el infinito". Matemáticamente, los puntos en el infinito tienen la ventaja de permitir que uno no considere algunos casos especiales. Por ejemplo, en un plano proyectivo , dos rectas distintasse intersecan exactamente en un punto, mientras que sin puntos en el infinito, no hay puntos de intersección para las líneas paralelas. Por lo tanto, las líneas paralelas y no paralelas deben estudiarse por separado en la geometría clásica, mientras que no es necesario distinguirlas en la geometría proyectiva.

Antes del uso de la teoría de conjuntos para la base de las matemáticas , los puntos y las líneas se consideraban entidades distintas y un punto podía ubicarse en una línea . Con el uso universal de la teoría de conjuntos en matemáticas, el punto de vista ha cambiado drásticamente: una línea ahora se considera como el conjunto de sus puntos , y se dice que un punto pertenece a una línea en lugar de estar ubicado en una línea (sin embargo, la última frase todavía se usa).

En particular, en las matemáticas modernas, las líneas son conjuntos infinitos .

Dimensión infinita

Los espacios vectoriales que ocurren en la geometría clásica tienen siempre una dimensión finita , generalmente dos o tres. Sin embargo, esto no está implícito en la definición abstracta de un espacio vectorial, y se pueden considerar espacios vectoriales de dimensión infinita. Este es típicamente el caso en el análisis funcional donde los espacios funcionales son generalmente espacios vectoriales de dimensión infinita.

En topología, algunas construcciones pueden generar espacios topológicos de dimensión infinita. En particular, este es el caso de los espacios de bucle iterados .

Fractales

La estructura de un objeto fractal se reitera en sus ampliaciones. Los fractales pueden magnificarse indefinidamente sin perder su estructura y volverse "lisos"; tienen perímetros infinitos y pueden tener áreas infinitas o finitas. Una de esas curvas fractales con un perímetro infinito y un área finita es el copo de nieve de Koch . ^{[ cita requerida ]}

Matemáticas sin infinito

Leopold Kronecker se mostró escéptico sobre la noción de infinito y cómo la usaban sus compañeros matemáticos en las décadas de 1870 y 1880. Este escepticismo se desarrolló en la filosofía de las matemáticas llamada finitismo , una forma extrema de filosofía matemática en las escuelas filosóficas y matemáticas generales del constructivismo y el intuicionismo . ^[45]

Física

En física , las aproximaciones de números reales se utilizan para medidas continuas y los números naturales se utilizan para medidas discretas (es decir, contar). Existen conceptos de cosas infinitas, como una onda plana infinita , pero no existen medios experimentales para generarlos. ^[46]

Cosmología

La primera propuesta publicada de que el universo es infinito vino de Thomas Digges en 1576. ^[47] Ocho años más tarde, en 1584, el filósofo y astrónomo italiano Giordano Bruno propuso un universo ilimitado en Sobre el universo y los mundos infinitos : "Existen innumerables soles; innumerables tierras giran alrededor de estos soles de una manera similar a la forma en que los siete planetas giran alrededor de nuestro sol. Los seres vivos habitan estos mundos ". ^[48]

Los cosmólogos han buscado durante mucho tiempo descubrir si el infinito existe en nuestro universo físico : ¿hay un número infinito de estrellas? ¿Tiene el universo un volumen infinito? ¿El espacio "continúa para siempre" ? Ésta es una cuestión abierta de cosmología . La cuestión de ser infinito está lógicamente separada de la cuestión de tener fronteras. La superficie bidimensional de la Tierra, por ejemplo, es finita, pero no tiene borde. Al viajar en línea recta con respecto a la curvatura de la Tierra, uno eventualmente regresará al lugar exacto desde el que partió. El universo, al menos en principio, podría tener una topología similar.. Si es así, eventualmente uno podría regresar al punto de partida después de viajar en línea recta a través del universo durante el tiempo suficiente. ^[49]

La curvatura del universo se puede medir a través de momentos multipolares en el espectro de la radiación cósmica de fondo . Hasta la fecha, el análisis de los patrones de radiación registrados por la nave espacial WMAP sugiere que el universo tiene una topología plana. Esto sería consistente con un universo físico infinito. ^{[50] [51] [52]}

Sin embargo, el universo podría ser finito, incluso si su curvatura es plana. Una forma fácil de entender esto es considerar ejemplos bidimensionales, como los videojuegos en los que los elementos que dejan un borde de la pantalla reaparecen en el otro. La topología de estos juegos es toroidal y la geometría es plana. También existen muchas posibilidades planas y limitadas para el espacio tridimensional. ^[53]

El concepto de infinito también se extiende a la hipótesis del multiverso , que cuando es explicada por astrofísicos como Michio Kaku , postula que hay un número y variedad infinitos de universos. ^[54]

Lógica

En lógica , un argumento de regresión infinita es "un tipo de argumento distintivamente filosófico que pretende mostrar que una tesis es defectuosa porque genera una serie infinita cuando (forma A) no existe tal serie o (forma B) si existiera, el la tesis carecería del papel (por ejemplo, de justificación) que se supone que desempeña ". ^[55]

Computación

El estándar de coma flotante IEEE (IEEE 754) especifica un valor infinito positivo y negativo (y también valores indefinidos ). Estos se definen como el resultado del desbordamiento aritmético , la división por cero y otras operaciones excepcionales. ^[56]

Algunos lenguajes de programación , como Java ^[57] y J , ^[58] permiten al programador un acceso explícito a los valores infinitos positivos y negativos como constantes del lenguaje. Estos se pueden usar como elementos mayor y menor , ya que comparan (respectivamente) mayor o menor que todos los demás valores. Tienen usos como valores centinela en algoritmos que involucran clasificación , búsqueda o ventanas . ^{[ cita requerida ]}

En lenguajes que no tienen mayores y menores elementos, pero que permiten la sobrecarga de operadores relacionales , es posible que un programador cree los mayores y menores elementos. En lenguajes que no brindan acceso explícito a dichos valores desde el estado inicial del programa, pero implementan el tipo de datos de punto flotante , los valores infinitos aún pueden ser accesibles y utilizables como resultado de ciertas operaciones. ^{[ cita requerida ]}

En programación, un bucle infinito es un bucle cuya condición de salida nunca se satisface, por lo que se ejecuta indefinidamente.

Artes, juegos y ciencias cognitivas

La obra de arte en perspectiva utiliza el concepto de puntos de fuga , que corresponden aproximadamente a puntos matemáticos en el infinito , ubicados a una distancia infinita del observador. Esto permite a los artistas crear pinturas que representan de manera realista el espacio, las distancias y las formas. ^{[59] El} artista MC Escher es conocido específicamente por emplear el concepto de infinito en su trabajo de esta y otras formas. ^{[ cita requerida ]}

Las variaciones de ajedrez que se juegan en un tablero ilimitado se denominan ajedrez infinito . ^{[60] [61]}

El científico cognitivo George Lakoff considera el concepto de infinito en matemáticas y ciencias como una metáfora. Esta perspectiva se basa en la metáfora básica del infinito (IMC), definida como la secuencia cada vez mayor <1,2,3, ...>. ^[62]

El símbolo se usa a menudo románticamente para representar el amor eterno. Para este propósito, se fabrican varios tipos de joyas en forma de infinito. ^{[ cita requerida ]}

Ver también

• 0,999 ...
• Número de Aleph
• Ananta
• Exponenciación
• Forma indeterminada
• Teorema del mono infinito
• Conjunto infinito
• Infinitesimal
• Paradojas del infinito
• Supertarea
• Número surrealista

Referencias

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Enlaces externos

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Wikiquote tiene citas relacionadas con: Infinity

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• Página fuente sobre escritura medieval y moderna sobre Infinity
• El misterio del Aleph: matemáticas, la Cabalá y la búsqueda del infinito
• Dictionary of the Infinite (recopilación de artículos sobre el infinito en física, matemáticas y filosofía)