En cálculo diferencial y geometría diferencial, un punto de inflexión , punto de inflexión , flexión o inflexión (inglés británico: inflexion ) es un punto en una curva plana suave en la que la curvatura cambia de signo. En particular, en el caso de la gráfica de una función , es un punto donde la función cambia de cóncava (cóncava hacia abajo) a convexa (cóncava hacia arriba), o viceversa.
Para la gráfica de una función de clase de diferenciabilidad C 2 ( f , su primera derivada f ' y su segunda derivada f' ' , existen y son continuas), la condición f' '= 0 también se puede usar para encontrar un punto de inflexión ya que se debe pasar un punto de f '' = 0 para cambiar f '' de un valor positivo (cóncavo hacia arriba) a un valor negativo (cóncavo hacia abajo) o viceversa, ya que f '' es continuo; un punto de inflexión de la curva es donde f '' = 0 y cambia su signo en el punto (de positivo a negativo o de negativo a positivo). [1] Un punto donde la segunda derivada desaparece pero no cambia su signo a veces se denomina punto de ondulación o punto de ondulación .
En geometría algebraica, un punto de inflexión se define un poco más generalmente, como un punto regular donde la tangente se encuentra con la curva para ordenar al menos 3, y un punto de ondulación o hiperflexión se define como un punto donde la tangente se encuentra con la curva para ordenar al menos 4 .
Definición
Los puntos de inflexión en geometría diferencial son los puntos de la curva donde la curvatura cambia de signo. [2] [3]
Por ejemplo, la gráfica de la función diferenciable tiene un punto de inflexión en ( x , f ( x )) si y solo si su primera derivada f ' tiene un extremo aislado en x . (esto no es lo mismo que decir que f tiene un extremo). Es decir, en algún vecindario, x es el único punto en el que f ' tiene un mínimo o un máximo (local). Si todos los extremos de f ' están aislados , entonces un punto de inflexión es un punto en la gráfica de f en el que la tangente cruza la curva.
Un punto de inflexión descendente es un punto de inflexión donde la derivada es negativa en ambos lados del punto; en otras palabras, es un punto de inflexión cerca del cual la función está disminuyendo. Un punto de inflexión ascendente es un punto donde la derivada es positiva en ambos lados del punto; en otras palabras, es un punto de inflexión cerca del cual la función aumenta.
Para una curva algebraica , un punto no singular es un punto de inflexión si y solo si el número de intersección de la línea tangente y la curva (en el punto de tangencia) es mayor que 2. [4] El resultado principal es que el conjunto de los puntos de inflexión de una curva algebraica coinciden con el conjunto de intersección de la curva con la curva de Hesse .
Para una curva suave dada por ecuaciones paramétricas , un punto es un punto de inflexión si su curvatura con signo cambia de más a menos o de menos a más, es decir, cambia de signo .
Para una curva suave que es un gráfico de una función dos veces diferenciable, un punto de inflexión es un punto en el gráfico en el que la segunda derivada tiene un cero aislado y cambia de signo.
Una condición necesaria pero no suficiente
Para una función f , si su segunda derivada f ″ ( x ) existe en x 0 y x 0 es un punto de inflexión para f , entonces f ″ ( x 0 ) = 0 , pero esta condición no es suficiente para tener un punto de inflexión , incluso si existen derivadas de cualquier orden. En este caso, también se necesita que la derivada de orden más bajo (por encima de la segunda) distinta de cero sea de orden impar (tercera, quinta, etc.). Si la derivada de orden más bajo distinta de cero es de orden par, el punto no es un punto de inflexión, sino un punto de ondulación . Sin embargo, en geometría algebraica, tanto los puntos de inflexión como los puntos de ondulación generalmente se denominan puntos de inflexión . Un ejemplo de un punto de ondulación es x = 0 para la función f dada por f ( x ) = x 4 .
En las afirmaciones anteriores, se supone que f tiene alguna derivada de orden superior distinta de cero en x , lo que no es necesariamente el caso. Si es el caso, la condición de que la primera derivada distinta de cero tenga un orden impar implica que el signo de f ' ( x ) es el mismo en cualquier lado de x en una vecindad de x . Si este signo es positivo , el punto es un punto de inflexión ascendente ; si es negativo , el punto es un punto de inflexión descendente .
Puntos de inflexión condiciones suficientes:
1) Una condición de existencia suficiente para un punto de inflexión en el caso de que f ( x ) sea k veces continuamente diferenciable en una cierta vecindad de un punto x 0 con k impar yk ≥ 3 , es que f ( n ) ( x 0 ) = 0 para n = 2,…, k - 1 y f ( k ) ( x 0 ) ≠ 0 . Entonces f ( x ) tiene un punto de inflexión en x 0 .
2) Otra condición de existencia suficiente más general requiere que f ″ ( x + ε) y f ″ ( x - ε ) tengan signos opuestos en la vecindad de x ( Bronshtein y Semendyayev 2004, p. 231).
Categorización de puntos de inflexión
Los puntos de inflexión también se pueden clasificar según si f ' ( x ) es cero o distinto de cero.
- si f ' ( x ) es cero, el punto es un punto de inflexión estacionario
- si f ' ( x ) no es cero, el punto es un punto de inflexión no estacionario
Un punto de inflexión estacionario no es un extremo local . De manera más general, en el contexto de funciones de varias variables reales , un punto estacionario que no es un extremo local se denomina punto silla .
Un ejemplo de un punto de inflexión estacionario es el punto (0, 0) en la gráfica de y = x 3 . La tangente es el eje x , que corta la gráfica en este punto.
Un ejemplo de un punto de inflexión no estacionaria es el punto (0, 0) en la gráfica de y = x 3 + ax , para cualquier distinto de cero una . La tangente en el origen es la recta y = ax , que corta el gráfico en este punto.
Funciones con discontinuidades
Algunas funciones cambian de concavidad sin tener puntos de inflexión. En cambio, pueden cambiar la concavidad alrededor de las asíntotas o discontinuidades verticales. Por ejemplo, la funciónes cóncavo para x negativo y convexo para x positivo , pero no tiene puntos de inflexión porque 0 no está en el dominio de la función.
Funciones con puntos de inflexión cuya segunda derivada no desaparece
Algunas funciones continuas tienen un punto de inflexión aunque la segunda derivada nunca sea 0. Por ejemplo, la función raíz cúbica es cóncava hacia arriba cuando x es negativa y cóncava hacia abajo cuando x es positiva, pero no tiene derivadas de ningún orden en el origen.
Ver también
- Punto crítico (matemáticas)
- Umbral ecológico
- Configuración de Hesse formada por los nueve puntos de inflexión de una curva elíptica
- Ogee , una forma arquitectónica con un punto de inflexión
- Vértice (curva) , un mínimo o máximo local de curvatura
Referencias
- ^ Stewart, James (2015). Cálculo (8 ed.). Boston: Aprendizaje Cengage. pag. 281. ISBN 978-1-285-74062-1.
- ^ Problemas en el análisis matemático . Baranenkov, GS Moscú: Mir Publishers. 1976 [1964]. ISBN 5030009434. OCLC 21598952 .CS1 maint: otros ( enlace )
- ^ Bronshtein; Semendyayev (2004). Manual de Matemáticas (4ª ed.). Berlín: Springer. pag. 231. ISBN 3-540-43491-7.
- ^ "Punto de inflexión" . encyclopediaofmath.org .
Fuentes
- Weisstein, Eric W. "Punto de inflexión" . MathWorld .
- "Punto de inflexión" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]