En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , un objeto inicial de una categoría C es un objeto I en C tal que para cada objeto X en C , existe precisamente una morfismo I → X .
El doble noción es la de un objeto terminal (también llamado elemento terminal ): T es terminal si para cada objeto X de C existe exactamente un morfismo X → T . Los objetos iniciales también se denominan coterminales o universales , y los objetos terminales también se denominan finales .
Si un objeto es tanto inicial como terminal, se denomina objeto cero u objeto nulo . Una categoría puntiaguda es aquella con un objeto cero.
Un objeto inicial estricto I es aquel para el que todo morfismo en I es un isomorfismo .
Ejemplos de
- El conjunto vacío es el objeto inicial único en Conjunto , la categoría de conjuntos . Cada conjunto de un elemento ( singleton ) es un objeto terminal en esta categoría; no hay objetos cero. De manera similar, el espacio vacío es el objeto inicial único en Top , la categoría de espacios topológicos y cada espacio de un punto es un objeto terminal en esta categoría.
- En la categoría Rel de conjuntos y relaciones, el conjunto vacío es el objeto inicial único, el objeto terminal único y, por tanto, el objeto cero único.
- En la categoría de conjuntos puntiagudos (cuyos objetos son conjuntos no vacíos junto con un elemento distinguido; un morfismo de ( A , a ) a ( B , b ) es una función f : A → B con f ( a ) = b ) , cada singleton es un objeto cero. De manera similar, en la categoría de espacios topológicos puntiagudos , cada singleton es un objeto cero.
- En Grp , la categoría de grupos , cualquier grupo trivial es un objeto cero. El álgebra trivial también es un objeto cero en Ab , la categoría de grupos abelianos , Rng la categoría de pseudoanillos , R -Mod , la categoría de módulos sobre un anillo y K -Vect , la categoría de espacios vectoriales sobre un campo. . Consulte Objeto cero (álgebra) para obtener más detalles. Este es el origen del término "objeto cero".
- En Ring , la categoría de anillos con unidad y morfismos que preservan la unidad, el anillo de números enteros Z es un objeto inicial. El anillo cero que consta de un solo elemento 0 = 1 es un objeto terminal.
- En Rig , la categoría de plataformas con unidad y morfismos que preservan la unidad, la plataforma de números naturales N es un objeto inicial. La plataforma cero, que es el anillo cero , que consta de un solo elemento 0 = 1 es un objeto terminal.
- En Campo , la categoría de campos , no hay objetos iniciales o terminales. Sin embargo, en la subcategoría de campos de característica fija, el campo principal es un objeto inicial.
- Cualquier conjunto parcialmente ordenado ( P , ≤) se puede interpretar como una categoría: los objetos son los elementos de P , y no hay un único morfismo de x a y si y sólo si x ≤ y . Esta categoría tiene un objeto inicial si y solo si P tiene un elemento mínimo ; tiene un objeto terminal si y solo si P tiene un elemento mayor .
- Gato , la categoría de pequeñas categorías con functores como morfismos tiene la categoría vacía, 0 (sin objetos y sin morfismos), como objeto inicial y la categoría terminal, 1 (con un solo objeto con un solo morfismo de identidad), como objeto terminal. .
- En la categoría de esquemas , Spec ( Z ), el espectro principal del anillo de números enteros, es un objeto terminal. El esquema vacío (igual al espectro principal del anillo cero ) es un objeto inicial.
- Un límite de un diagrama de F se puede caracterizar como un objeto terminal en la categoría de los conos a F . Del mismo modo, un colimit de F se puede caracterizar como un objeto inicial en la categoría de los compañeros de conos de F .
Propiedades
Existencia y singularidad
No es necesario que los objetos iniciales y terminales existan en una categoría determinada. Sin embargo, si existen, son esencialmente únicos. Específicamente, si I 1 e I 2 son dos objetos iniciales diferentes, entonces existe un isomorfismo único entre ellos. Además, si I es un objeto inicial, cualquier objeto isomorfo a I también es un objeto inicial. Lo mismo ocurre con los objetos terminales.
Para categorías completas, existe un teorema de existencia para objetos iniciales. Específicamente, un ( localmente pequeña ) categoría completa de C tiene un objeto inicial si y sólo si existe un conjunto I ( no una clase adecuada ) y una I - familia de conjuntos ( K i ) de objetos de C tal que para cualquier objeto X de C , hay al menos un morfismo K i → X para algunos i ∈ I .
Formulaciones equivalentes
Objetos terminal en una categoría C también pueden ser definidos como límites del vacío único diagrama de 0 → C . Dado que la categoría vacía es una categoría discreta , un objeto terminal puede pensarse como un producto vacío (un producto es de hecho el límite del diagrama discreto { X i } , en general). Dualmente, un objeto inicial es un colimit del diagrama vacío 0 → C y se puede considerar como un coproducto vacío o una suma categórica.
De ello se deduce que cualquier funtor que conserve los límites llevará los objetos terminales a los objetos terminales, y cualquier funtor que conserve los colimits llevará los objetos iniciales a los objetos iniciales. Por ejemplo, el objeto inicial en cualquier categoría concreta con objetos libres será el objeto libre generado por el conjunto vacío (ya que el functor libre , al dejarse adjunto al functor olvidadizo de Set , conserva colimits).
Los objetos iniciales y terminales también pueden caracterizarse en términos de propiedades universales y functores adjuntos . Sea 1 la categoría discreta con un solo objeto (denotado por •), y sea U : C → 1 el funtor único (constante) de 1 . Luego
- Un objeto inicial I en C es un morfismo universales a partir de • T . El functor que envía a • Me está adjunto izquierdo T .
- Un objeto terminal T en C es un morfismo universal de U a •. El functor que envía a • T es adjunto derecho a T .
Relación con otras construcciones categóricas
Muchas construcciones naturales en la teoría de categorías pueden formularse en términos de encontrar un objeto inicial o terminal en una categoría adecuada.
- Un morfismo universal de un objeto X a un functor U se puede definir como un objeto inicial en la categoría de coma ( X ↓ U ) . Dualmente, un morfismo universal de U a X es un objeto terminal en ( U ↓ X ) .
- El límite de un diagrama de F es un objeto terminal en Cone ( F ) , la categoría de los conos a F . Dually, un colimit de F es un objeto inicial en la categoría de los conos de F .
- Una representación de un funtor F a Set es un objeto inicial en la categoría de los elementos de F .
- La noción de functor final (respectivamente, functor inicial) es una generalización de la noción de objeto final (respectivamente, objeto inicial).
Otras propiedades
- El monoide de endomorfismo de un objeto inicial o terminal I es trivial: End ( I ) = Hom ( I , I ) = {id I } .
- Si una categoría C tiene un objeto de cero 0 , entonces para cualquier par de objetos X y Y en C , la composición única X → 0 → Y es un morfismo cero de X a Y .
Referencias
- Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George E. (1990). Categorías abstractas y concretas. La alegría de los gatos (PDF) . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-60922-6. Zbl 0695.18001 .
- Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Fundamentos categóricos. Temas especiales en orden, topología, álgebra y teoría de gavillas . Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones. 97 . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001 .
- Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas . 5 (2ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001 .
- Este artículo se basa en parte en el artículo de PlanetMath sobre ejemplos de objetos iniciales y terminales .