Problema de valor inicial

Tipo de problema de cálculo que involucra ecuaciones diferenciales ordinarias

En cálculo multivariable , un problema de valor inicial ^[a] ( ivp ) es una ecuación diferencial ordinaria junto con una condición inicial que especifica el valor de la función desconocida en un punto dado del dominio . Modelar un sistema en física u otras ciencias equivale con frecuencia a resolver un problema de valor inicial. En ese contexto, el valor inicial diferencial es una ecuación que especifica cómo evoluciona el sistema con el tiempo dadas las condiciones iniciales del problema.

Definición

Un problema de valor inicial es una ecuación diferencial

${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t))}$ con donde es un conjunto abierto de ,${\displaystyle f\colon \Omega \subset \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}}$

junto con un punto en el dominio de ${\displaystyle f}$

${\displaystyle (t_{0},y_{0})\in \Omega ,}$

llamado la condición inicial .

Una solución a un problema de valor inicial es una función que es una solución a la ecuación diferencial y satisface${\displaystyle y}$

${\displaystyle y(t_{0})=y_{0}.}$

En dimensiones más altas, la ecuación diferencial se reemplaza con una familia de ecuaciones y se ve como el vector , más comúnmente asociado con la posición en el espacio. De manera más general, la función desconocida puede tomar valores en espacios de dimensión infinita, como espacios de Banach o espacios de distribuciones .${\displaystyle y_{i}'(t)=f_{i}(t,y_{1}(t),y_{2}(t),\dotsc )}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle (y_{1}(t),\dotsc ,y_{n}(t))}$${\displaystyle y}$

Los problemas de valor inicial se extienden a órdenes superiores al tratar las derivadas de la misma manera que una función independiente, por ejemplo .${\displaystyle y''(t)=f(t,y(t),y'(t))}$

Existencia y singularidad de soluciones

Para una gran clase de problemas de valor inicial, la existencia y unicidad de una solución se puede ilustrar mediante el uso de una calculadora.

El teorema de Picard-Lindelöf garantiza una solución única en algún intervalo que contenga t ₀ si f es continua en una región que contiene t ₀ e y ₀ y satisface la condición de Lipschitz en la variable y . La demostración de este teorema procede reformulando el problema como una ecuación integral equivalente . La integral puede considerarse un operador que asigna una función a otra, de modo que la solución es un punto fijo del operador. El teorema del punto fijo de Banach luego se invoca para mostrar que existe un punto fijo único, que es la solución del problema del valor inicial.

Una prueba más antigua del teorema de Picard-Lindelöf construye una secuencia de funciones que convergen a la solución de la ecuación integral y, por lo tanto, a la solución del problema de valor inicial. Esta construcción a veces se denomina "método de Picard" o "método de aproximaciones sucesivas". Esta versión es esencialmente un caso especial del teorema del punto fijo de Banach.

Hiroshi Okamura obtuvo una condición necesaria y suficiente para que la solución de un problema de valor inicial sea única. Esta condición tiene que ver con la existencia de una función de Lyapunov para el sistema.

En algunas situaciones, la función f no es de clase C ¹ , ni siquiera de Lipschitz , por lo que no se aplica el resultado habitual que garantiza la existencia local de una solución única. El teorema de existencia Peano sin embargo demuestra que incluso para f meramente continua, soluciones están garantizados para existir localmente en el tiempo; el problema es que no hay garantía de unicidad. El resultado se puede encontrar en Coddington y Levinson (1955, Teorema 1.3) o Robinson (2001, Teorema 2.6). Un resultado aún más general es el teorema de existencia de Carathéodory , que prueba la existencia de algunas funciones discontinuas f .

Ejemplos

Un ejemplo sencillo es resolver y . Estamos tratando de encontrar una fórmula que satisfaga estas dos ecuaciones.${\displaystyle y'(t)=0.85y(t)}$${\displaystyle y(0)=19}$${\displaystyle y(t)}$

Reorganiza la ecuación para que quede en el lado izquierdo.${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\frac {y'(t)}{y(t)}}=0.85}$

Ahora integre ambos lados con respecto a (esto introduce una constante desconocida ).${\displaystyle t}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle \int {\frac {y'(t)}{y(t)}}\,dt=\int 0.85\,dt}$

${\displaystyle \ln |y(t)|=0.85t+B}$

Elimina el logaritmo con exponenciación en ambos lados

${\displaystyle |y(t)|=e^{B}e^{0.85t}}$

Sea una nueva constante desconocida , entonces${\displaystyle C}$${\displaystyle C=\pm e^{B}}$

${\displaystyle y(t)=Ce^{0.85t}}$

Ahora necesitamos encontrar un valor para . Use como se indica al principio y sustituya 0 por y 19 por${\displaystyle C}$${\displaystyle y(0)=19}$${\displaystyle t}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle 19=Ce^{0.85\cdot 0}}$

${\displaystyle C=19}$

esto da la solución final de .${\displaystyle y(t)=19e^{0.85t}}$

Segundo ejemplo

La solucion de

${\displaystyle y'+3y=6t+5,\qquad y(0)=3}$

puede ser encontrado para ser

${\displaystyle y(t)=2e^{-3t}+2t+1.\,}$

En efecto,

${\displaystyle {\begin{aligned}y'+3y&={\tfrac {d}{dt}}(2e^{-3t}+2t+1)+3(2e^{-3t}+2t+1)\\&=(-6e^{-3t}+2)+(6e^{-3t}+6t+3)\\&=6t+5.\end{aligned}}}$

Notas

[a] Algunos autores también lo denominan problema de Cauchy ^{[ cita requerida ]}

Ver también

• Problema de valor límite
• Constante de integración
• Curva integral

Referencias

• Coddington, Earl A .; Levinson, Norman (1955). Teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias . Nueva York-Toronto-Londres: McGraw-Hill Book Company, Inc.
• Hirsch, Morris W. y Smale, Stephen (1974). Ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos y álgebra lineal . Nueva York-Londres: Academic Press.
• Okamura, Hirosi (1942). "Condition nécessaire et suffisante remplie par les équations différentielles ordinaires sans points de Peano". Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto Ser. A. (en francés). 24 : 21-28. Señor  0031614 .
• Agarwal, Ravi P .; Lakshmikantham, V. (1993). Criterios de singularidad y no singularidad para ecuaciones diferenciales ordinarias . Serie en análisis real. 6 . World Scientific. ISBN 978-981-02-1357-2.
• Polyanin, Andrei D .; Zaitsev, Valentin F. (2003). Manual de soluciones exactas para ecuaciones diferenciales ordinarias (2ª ed.). Boca Raton, Florida: Chapman & Hall / CRC. ISBN 1-58488-297-2.
• Robinson, James C. (2001). Sistemas dinámicos de dimensión infinita: una introducción a las PDE parabólicas disipativas y la teoría de los atractores globales . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-63204-8.