En matemáticas , una función inyectiva (también conocida como inyección o función uno a uno ) es una función que asigna distintos elementos de su dominio a distintos elementos de su codominio . [1] En otras palabras, cada elemento del codominio de la función es la imagen de como máximo un elemento de su dominio. [2] El término función uno a uno no debe confundirse con la correspondencia uno a uno que se refiere a funciones biyectivas., que son funciones tales que cada elemento del codominio es una imagen de exactamente un elemento del dominio.
Una función inyectiva no sobreyectiva (inyección, no biyección )
Una función inyectiva sobreyectiva ( biyección )
Una función sobreyectiva no inyectiva ( sobreyección , no biyección )
Una función no inyectiva no sobreyectiva (tampoco una biyección )
Un homomorfismo entre estructuras algebraicas es una función que es compatible con las operaciones de las estructuras. Para todas las estructuras algebraicas comunes y, en particular, para los espacios vectoriales , un homomorfismo inyectivo también se denomina monomorfismo . Sin embargo, en el contexto más general de la teoría de categorías , la definición de un monomorfismo difiere de la de un homomorfismo inyectivo. [3] Este es, por tanto, un teorema de que son equivalentes para estructuras algebraicas; ver Homomorfismo § Monomorfismo para más detalles.
Una función f que no es inyectiva a veces se denomina muchos a uno. [2]
Definición
Sea f una función cuyo dominio es un conjunto. La funciónse dice que es inyectivo siempre que para todos y en , Si , luego ; es decir, implica . De manera equivalente, si, luego .
Simbólicamente,
que es lógicamente equivalente al contrapositivo ,
Ejemplos de
- Para cualquier conjunto X y cualquier subconjunto S de X , el mapa de inclusión S → X (que envía cualquier elemento s de S a sí mismo) es inyectivo. En particular, la función de identidad X → X es siempre inyectiva (y de hecho biyectiva).
- Si el dominio de una función es el conjunto vacío , entonces la función es la función vacía , que es inyectiva.
- Si el dominio de una función tiene un elemento (es decir, es un conjunto singleton ), entonces la función es siempre inyectiva.
- La función f : R → R definida por f ( x ) = 2 x + 1 es inyectiva.
- La función g : R → R definida por g ( x ) = x 2 no es inyectiva, porque (por ejemplo) g (1) = 1 = g (−1) . Sin embargo, si g se redefine para que su dominio sean los números reales no negativos [0, + ∞), entonces g es inyectivo.
- La función exponencial exp: R → R definida por exp ( x ) = e x es inyectiva (pero no sobreyectiva , ya que ningún valor real se asigna a un número negativo).
- La función logaritmo natural ln: (0, ∞) → R definida por x ↦ ln x es inyectiva.
- La función g : R → R definida por g ( x ) = x n - x no es inyectiva, ya que, por ejemplo, g (0) = g (1) = 0 .
De manera más general, cuando X e Y son la línea real R , entonces una función inyectiva f : R → R es aquella cuya gráfica nunca se cruza con ninguna línea horizontal más de una vez. Este principio se conoce como prueba de línea horizontal . [2]
Las inyecciones se pueden deshacer
Las funciones con inversas a la izquierda son siempre inyecciones. Es decir, dado f : X → Y , si hay una función g : Y → X tal que para cada x ∈ X ,
- g ( f ( x )) = x ( f se puede deshacer mediante g ), entonces f es inyectiva. En este caso, g se denomina retracción de f . Por el contrario, f se llama una sección de g .
Por el contrario, cada inyección f con dominio no vacío tiene una inversa izquierda g , que se puede definir fijando un elemento a en el dominio de f de modo que g ( x ) sea igual a la preimagen única de x bajo f si existe y g ( x ) = a de lo contrario. [6]
La inversa izquierda g no es necesariamente una inversa de f , porque la composición en el otro orden, f ∘ g , puede diferir de la de identidad en Y . En otras palabras, una función inyectiva puede ser "revertida" por una inversa a la izquierda, pero no es necesariamente invertible , lo que requiere que la función sea biyectiva .
Las inyecciones pueden hacerse invertibles.
De hecho, para convertir una función inyectiva f : X → Y en una función biyectiva (por lo tanto, invertible ), basta con reemplazar su codominio Y por su rango real J = f ( X ) . Es decir, sea g : X → J tal que g ( x ) = f ( x ) para todo x en X ; entonces g es biyectiva. De hecho, f puede ser factorizado como incl J , Y ∘ g , donde incl J , Y es la función de inclusión de J en Y .
De manera más general, las funciones parciales inyectivas se denominan biyecciones parciales .
Otras propiedades
- Si f y g son inyectivos, entonces f ∘ g es inyectivo.
- Si g ∘ f es inyectivo, entonces f es inyectivo (pero g no tiene por qué serlo).
- f : X → Y es inyectiva si y solo si, dadas las funciones g , h : W → X siempre que f ∘ g = f ∘ h , entonces g = h . En otras palabras, las funciones inyectivas son precisamente los monomorfismos de la categoría Conjunto de conjuntos.
- Si f : X → Y es inyectiva y A es un subconjunto de X , entonces f -1 ( f ( A )) = A . Por tanto, A puede recuperarse de su imagen f ( A ).
- Si f : X → Y es inyectivo y A y B son ambos subconjuntos de X , entonces f ( A ∩ B ) = f ( A ) ∩ f ( B ) .
- Cada función h : W → Y se puede descomponer como h = f ∘ g para una inyección adecuada f y una sobreyección g . Esta descomposición es única hasta el isomorfismo , y se puede pensar en f como la función de inclusión del rango h ( W ) de h como un subconjunto del codominio Y de h .
- Si f : X → Y es una función inyectiva, entonces Y tiene al menos tantos elementos como X , en el sentido de números cardinales . En particular, si, además, hay una inyección de Y a X , entonces X e Y tienen el mismo número cardinal. (Esto se conoce como el teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder ).
- Si tanto X como Y son finitos con el mismo número de elementos, entonces f : X → Y es inyectiva si y solo si f es sobreyectiva (en cuyo caso f es biyectiva ).
- Una función inyectiva que es un homomorfismo entre dos estructuras algebraicas es una incrustación .
- A diferencia de la sobrejetividad, que es una relación entre el gráfico de una función y su codominio, la inyectividad es una propiedad del gráfico de la función por sí sola; es decir, si una función f es inyectiva puede decidirse considerando solo el gráfico (y no el codominio) de f .
Demostrar que las funciones son inyectivas
Una prueba de que una función f es inyectiva depende de cómo se presenta la función y qué propiedades tiene la función. Para las funciones que vienen dadas por alguna fórmula, existe una idea básica. Usamos la definición de inyectividad, es decir, que si f ( x ) = f ( y ) , entonces x = y . [7]
Aquí hay un ejemplo:
- f = 2 x + 3
Demostración: Sea f : X → Y . Suponga que f ( x ) = f ( y ) . Entonces 2 x + 3 = 2 y + 3 ⇒ 2 x = 2 y ⇒ x = y . Por tanto, de la definición se deduce que f es inyectiva.
Hay muchos otros métodos para probar que una función es inyectiva. Por ejemplo, en cálculo si f es una función diferenciable definida en algún intervalo, entonces es suficiente mostrar que la derivada es siempre positiva o siempre negativa en ese intervalo. En álgebra lineal, si f es una transformación lineal, es suficiente mostrar que el núcleo de f contiene solo el vector cero. Si f es una función con dominio finito, es suficiente mirar a través de la lista de imágenes de cada elemento de dominio y verificar que ninguna imagen aparezca dos veces en la lista.
Un enfoque gráfico para una función f de valor real de una variable real x es la prueba de la línea horizontal . Si cada línea horizontal interseca la curva de f ( x ) en como máximo un punto, entonces f es inyectiva o uno a uno.
Ver también
- Biyección, inyección y sobreyección
- Espacio métrico inyectivo
- Función monotónica
- Función univalente
Notas
- ^ "El glosario definitivo de jerga matemática superior - uno a uno" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 7 de diciembre de 2019 .
- ^ a b c "Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva" . www.mathsisfun.com . Consultado el 7 de diciembre de 2019 .
- ^ "Sección 7.3 (00V5): Mapas inyectivos y sobreyectivos de pre-ondas: el proyecto Stacks" . stacks.math.columbia.edu . Consultado el 7 de diciembre de 2019 .
- ^ "Biyección, inyección y sobreyección | Wiki brillante de matemáticas y ciencias" . shiny.org . Consultado el 7 de diciembre de 2019 .
- ^ Farlow, SJ "Inyecciones, sobreyecciones y biyecciones" (PDF) . math.umaine.edu . Consultado el 6 de diciembre de 2019 .
- ^ A diferencia del enunciado correspondiente de que toda función sobreyectiva tiene un inverso correcto, esto no requiere el axioma de elección , ya que la existencia de a está implícita en la no vacuidad del dominio. Sin embargo, esta afirmación puede fallar en matemáticas menos convencionales, como las matemáticas constructivas . En matemática constructiva, la inclusión {0,1} → R del conjunto de dos elementos en los reales no puede tener una inversa izquierda, ya que violaría la indecomponibilidad , al dar una retracción de la línea real al conjunto {0,1} .
- ^ Williams, Peter. "Probar funciones uno a uno" . Archivado desde el original el 4 de junio de 2017.
Referencias
- Bartle, Robert G. (1976), Los elementos del análisis real (2a ed.), Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05464-1, pag. 17 y sigs .
- Halmos, Paul R. (1974), Teoría de conjuntos ingenua , Nueva York: Springer, ISBN 978-0-387-90092-6, pag. 38 y sigs .
enlaces externos
- Usos más tempranos de algunas de las palabras de las matemáticas: la entrada sobre Inyección, Sobreyección y Biyección tiene la historia de Inyección y términos relacionados.
- Khan Academy - Funciones sobreyectiva (sobre) e inyectiva (uno a uno): Introducción a las funciones sobreyectiva e inyectiva