En matemáticas , un espacio de producto interno o un espacio de Hausdorff anterior a Hilbert [1] [2] es un espacio vectorial con una operación binaria llamada producto interno. Esta operación asocia cada par de vectores en el espacio con una cantidad escalar conocida como el producto interno de los vectores, a menudo denotado usando paréntesis angulares (como en). [3] Los productos internos permiten la introducción rigurosa de nociones geométricas intuitivas, como la longitud de un vector o el ángulo entre dos vectores. También proporcionan los medios para definir la ortogonalidad entre vectores (producto interno cero). Los espacios de producto interno generalizan los espacios euclidianos (en los que el producto interno es el producto escalar , [4] también conocido como producto escalar) a espacios vectoriales de cualquier dimensión (posiblemente infinita) , y se estudian en el análisis funcional . Los espacios de productos internos sobre el campo de números complejos a veces se denominan espacios unitarios . El primer uso del concepto de espacio vectorial con un producto interno se debe a Giuseppe Peano , en 1898. [5]
Un producto interno induce naturalmente una norma asociada , ( y son las normas de y en la imagen), que canónicamente convierte cada espacio de producto interno en un espacio vectorial normalizado . Si este espacio normado también es un espacio de Banach, entonces el espacio de producto interno se denomina espacio de Hilbert . [1] Si un espacio de producto interior no es un espacio de Hilbert, entonces se puede "extender" a un espacio de Hilbert llamado finalización . Explícitamente, esto significa queestá incrustado lineal e isométricamente en un subespacio vectorial denso de y que el producto interior en es la extensión continua única del producto interior original . [1] [6]
Definición
En este artículo, el campo de los escalares denotadoes el campo de los números reales o el campo de los números complejos .
Formalmente, un espacio de producto interno es un espacio vectorial sobre el campo junto con un mapa
- Linealidad en el primer argumento: [nota 1]
( Homogeneidad en el 1er argumento )
( Aditividad en el primer argumento )
- Si la condición (1) se cumple y si también es antilineal (también llamado, conjugado lineal ) en su segundo argumento [nota 2] entoncesse llama forma sesquilínea . [1]
- Cada una de estas dos propiedades implica para cada vector [prueba 1]
- Simetría conjugada o simetría hermitiana : [nota 3]
( Simetría conjugada )
- Las condiciones (1) y (2) son las propiedades definitorias de una forma hermitiana , que es un tipo especial de forma sesquilínea. [1] Una forma sesquilínea es hermitiana si y solo si es real para todos [1] En particular, la condición (2) implica [prueba 2] que es un número real para todos
- Definición positiva : [1]
( Definición positiva )
Las tres condiciones anteriores son las propiedades definitorias de un producto interno, razón por la cual un producto interno a veces se define (de manera equivalente) como una forma hermitiana definida positiva . Un producto interno se puede definir de manera equivalente como una forma sesquilínea definida positiva. [1] [nota 4]
Suponiendo que (1) se cumple, la condición (3) se mantendrá si y solo si ambas condiciones (4) y (5) a continuación se cumplen: [6] [1]
- Semi-definicin positiva o no-definicin negativa : [1]
( Semidefinición positiva )
- Las condiciones (1), (2) y (4) son las propiedades definitorias de una forma hermitiana semidefinida positiva , que permite la definición de una seminorma canónica en dada por Esta seminorma es una norma si y solo si se cumple la condición (5) .
- Separación de puntos o definición :
( Separación de puntos )
Cada producto interior satisface las condiciones (1) a (5).
Propiedades elementales
La definición positiva asegura que:
Por cada vector garantías de simetría conjugada lo que implica que es un número real. También garantiza que para todos los vectores y
La simetría y linealidad conjugadas en la primera variable implican [prueba 3] linealidad conjugada , también conocida como antilinealidad , en el segundo argumento; explícitamente, esto significa que para cualquier vector y cualquier escalar
( Antilinealidad en el segundo argumento )
Esto muestra que cada producto interno es también una forma sesquilínea y que los productos internos son aditividad en cada argumento, lo que significa que para todos los vectores
La aditividad en cada argumento implica la siguiente generalización importante de la familiar expansión del cuadrado:
En el caso de simetría conjugada se reduce a la simetría y así la sesquilinealidad se reduce a bilinealidad . Por tanto, un producto interno en un espacio vectorial real es una forma bilineal simétrica definida positiva . Eso es cuando luego
( Simetría )
y la expansión binomial se convierte en:
Definiciones, notaciones y comentarios alternativos
Un caso especial común del producto interno, el producto escalar o producto punto , se escribe con un punto centrado
Algunos autores, especialmente en física y álgebra matricial , prefieren definir el producto interno y la forma sesquilínea con linealidad en el segundo argumento en lugar del primero. Entonces, el primer argumento se vuelve lineal conjugado, en lugar del segundo. En esas disciplinas, escribiríamos el producto interno como (la notación bra-ket de la mecánica cuántica ), respectivamente (producto escalar como un caso de la convención de formar el producto de matriz como los productos escalares de filas de con columnas de ). Aquí, las kets y las columnas se identifican con los vectores dey los sujetadores y filas con los funcionales lineales (covectors) del espacio dual con conjugación asociada con la dualidad. Este orden inverso ahora se sigue ocasionalmente en la literatura más abstracta, [10] tomando ser conjugado lineal en en vez de En cambio, unos pocos encuentran un término medio reconociendo tanto y como notaciones distintas, que sólo difieren en qué argumento es lineal conjugado.
Hay varias razones técnicas por las que es necesario restringir el campo base a y en la definición. Brevemente, el campo base debe contener un subcampo ordenado para que la no negatividad tenga sentido, [11] y por lo tanto debe tener una característica igual a 0 (ya que cualquier campo ordenado debe tener dicha característica). Esto excluye inmediatamente los campos finitos. El campo base debe tener una estructura adicional, como un automorfismo distinguido . Más generalmente, cualquier subcampo cerrado cuadráticamente de o será suficiente para este propósito (para exanoke, números algebraicos , números construibles ). Sin embargo, en los casos en que se trata de un subcampo adecuado (es decir, ni ni ), incluso los espacios de producto internos de dimensión finita no serán métricamente completos. Por el contrario, todos los espacios de producto internos de dimensión finita sobre o como los que se utilizan en la computación cuántica , son automáticamente métricamente completos (y por lo tanto los espacios de Hilbert ).
En algunos casos, es necesario considerar no negativos semi-definidas formas sesquilinear. Esto significa quesolo se requiere que no sea negativo. El tratamiento para estos casos se ilustra a continuación.
Algunos ejemplos
Números reales y complejos
Entre los ejemplos más simples de espacios de productos internos se encuentran y Los números reales son un espacio vectorial sobre que se convierte en un espacio de producto interno real cuando se le dota de la multiplicación estándar como su producto interno real: [4]
Los números complejos son un espacio vectorial sobre que se convierte en un complejo espacio de producto interno cuando se le dota del complejo producto interno
Espacio vectorial euclidiano
De manera más general, lo real norte {\ Displaystyle n} -espacio con el producto escalar es un espacio de producto interno, [4] un ejemplo de un espacio vectorial euclidiano .
dónde es la transposición de
Espacio de coordenadas complejo
La forma general de un producto interior en se conoce como la forma hermitiana y viene dada por
Espacio Hilbert
El artículo sobre espacios de Hilbert tiene varios ejemplos de espacios de productos internos, en los que la métrica inducida por el producto interno produce un espacio métrico completo . Un ejemplo de un espacio de producto interno que induce una métrica incompleta es el espacio de funciones continuas complejas valoradas y en el intervalo El producto interior es
Esta secuencia es una secuencia de Cauchy para la norma inducida por el producto interno anterior, que no converge a una función continua .
Variables aleatorias
Para variables aleatorias reales y el valor esperado de su producto
Matrices reales
Para matrices cuadradas reales del mismo tamaño, con transponer como conjugación
Espacios vectoriales con formas
En un espacio de producto interno, o más generalmente un espacio vectorial con una forma no degenerada (de ahí un isomorfismo), los vectores pueden enviarse a covectores (en coordenadas, mediante transposición), de modo que se puede tomar el producto interno y el producto externo de dos vectores, no simplemente de un vector y un covector.
Resultados básicos, terminología y definiciones
Norma
Cada espacio de producto interno induce una norma , llamada sunorma canónica , definida por [4]
Como para todo espacio vectorial normado, un espacio de producto interno es un espacio métrico , para la distancia definida por
- Homogeneidad
- Por un vector y un escalar
- Desigualdad triangular
- Para vectores Estas dos propiedades muestran que uno tiene una norma.
- Desigualdad de Cauchy-Schwarz
- Para vectores con igualdad si y solo si y son linealmente dependientes . En la literatura matemática rusa, esta desigualdad también se conoce como desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky o desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz .
- Similitud de coseno
- Cuándo es un número real, entonces la desigualdad de Cauchy-Schwarz garantiza que se encuentra en el dominio de la función trigonométrica inversa arccos : [ - 1 , 1 ] → [ 0 , π ] {\ Displaystyle \ arccos: [- 1,1] \ a [0, \ pi]}
y así el ángulo (no orientado) entre y Puede ser definido como: dónde
- Identidad de polarización
- El producto interno se puede recuperar de la norma mediante la identidad de polarización. que es una forma de la ley de los cosenos .
- Ortogonalidad
- Dos vectores y son llamados ortogonal , escrito si su producto interno es cero: Esto sucede si y solo si para todos los escalares [15] Para un espacio de producto interno complejo (pero no real) un operador lineal es idénticamente si y solo si para cada [15]
- Complemento ortogonal
- El complemento ortogonal de un subconjunto es el set de todos los vectores tal que y son ortogonales para todos ; es decir, es el conjunto Este conjunto es siempre un subespacio vectorial cerrado de y si el cierre de en es un subespacio vectorial entonces
- Teorema de pitágoras
- Cuando sea y luego La prueba de la identidad requiere solo expresar la definición de norma en términos del producto interno y multiplicar, utilizando la propiedad de aditividad de cada componente. El nombre teorema de Pitágoras surge de la interpretación geométrica en la geometría euclidiana .
- La identidad de Parseval
- Una inducción del teorema de Pitágoras produce: si son vectores ortogonales (lo que significa que para índices distintos ) luego
- Ley del paralelogramo
- Para todos La ley del paralelogramo es, de hecho, una condición necesaria y suficiente para la existencia de un producto interno correspondiente a una norma dada.
- La desigualdad de Ptolomeo
- Para todos La desigualdad de Ptolomeo es, de hecho, una condición necesaria y suficiente para la existencia de un producto interno correspondiente a una norma dada. En detalle, Isaac Jacob Schoenberg demostró en 1952 que, dado cualquier espacio seminormado real, si su seminorma es ptolemaico, entonces el seminorma es la norma asociada con un producto interno. [dieciséis]
Partes reales y complejas de productos internos.
Suponer que es un producto interior en (por lo que es antilineal en su segundo argumento). La identidad de polarización muestra que la parte real del producto interno es
Si es un espacio vectorial real entonces
Suponga para el resto de esta sección que es un espacio vectorial complejo. La identidad de polarización para espacios vectoriales complejos muestra que
El mapa definido por para todos satisface los axiomas del producto interno excepto que es antilineal en su primer argumento, más que en el segundo. La parte real de ambos y son iguales a pero los productos internos difieren en su parte compleja:
La última igualdad es similar a la fórmula que expresa un funcional lineal en términos de su parte real.
- Productos internos reales frente a complejos
Dejar denotar considerado como un espacio vectorial sobre los números reales en lugar de números complejos. La parte real del complejo producto interior. es el mapa que necesariamente forma un producto interno real en el espacio vectorial real Cada producto interno en un espacio vectorial real es un mapa bilineal y simétrico .
Por ejemplo, si con producto interior dónde es un espacio vectorial sobre el campo luego es un espacio vectorial sobre y es el producto escalar dónde se identifica con el punto (y de manera similar para ). Tambien tieneen cambio, se ha definido como el mapa simétrico (en lugar del mapa simétrico conjugado habitual ) entonces es parte real que no sea el producto de punto; además, sin el conjugado complejo, si pero luego entonces la tarea no define una norma.
Los siguientes ejemplos muestran que aunque los productos internos reales y complejos tienen muchas propiedades y resultados en común, no son del todo intercambiables. Por ejemplo, si luego pero el siguiente ejemplo muestra que lo contrario en general no es cierto. Dado cualquier el vector (que es el vector girado 90 °) pertenece a y también pertenece a (aunque la multiplicación escalar de por no está definido en sigue siendo cierto que el vector en denotado por es un elemento de ). Para el producto interior complejo, mientras que para el producto interior real el valor es siempre
Si tiene el producto interno mencionado anteriormente, luego el mapa definido por es un mapa lineal distinto de cero (lineal para ambos y ) que denota rotación por en el avión. Este mapa satisface para todos los vectores donde este producto interno hubiera sido complejo en lugar de real, entonces esto habría sido suficiente para concluir que este mapa lineal es idénticamente (es decir, que ), cuya rotación ciertamente no lo es. Por el contrario, para todos los distintos de cero el mapa satisface
Secuencias ortonormales
Dejar ser un producto interior de dimensión finita espacio de dimensión Recuerde que todas las bases de consiste exactamente en vectores linealmente independientes. Usando el proceso de Gram-Schmidt podemos comenzar con una base arbitraria y transformarla en una base ortonormal. Es decir, en una base en la que todos los elementos son ortogonales y tienen norma unitaria. En símbolos, una base es ortonormal si para cada y para cada índice
Esta definición de base ortonormal se generaliza al caso de espacios de productos internos de dimensión infinita de la siguiente manera. Dejarser cualquier espacio de producto interior. Entonces una colección
Usando un análogo de dimensión infinita del proceso de Gram-Schmidt, se puede mostrar:
Teorema. Cualquier espacio interior de producto separable tiene una base ortonormal.
Utilizando el principio máximo de Hausdorff y el hecho de que en un espacio de producto interno completo la proyección ortogonal sobre subespacios lineales está bien definida, también se puede demostrar que
Teorema. Cualquier espacio interior de producto completo tiene una base ortonormal.
Los dos teoremas anteriores plantean la cuestión de si todos los espacios de productos internos tienen una base ortonormal. La respuesta resulta negativa. Este es un resultado no trivial y se demuestra a continuación. La siguiente prueba está tomada del Libro de problemas espaciales de A Hilbert de Halmos (consulte las referencias). [ cita requerida ]
Prueba Recuerde que la dimensión de un espacio de producto interno es la cardinalidad de un sistema ortonormal máximo que contiene (según el lema de Zorn , contiene al menos uno y dos cualesquiera tienen la misma cardinalidad). Una base ortonormal es sin duda un sistema ortonormal máximo, pero lo contrario no tiene por qué ser así en general. Si es un subespacio denso de un espacio de producto interno entonces cualquier base ortonormal para es automáticamente una base ortonormal para Por tanto, basta con construir un espacio interior de producto con un subespacio denso cuya dimensión es estrictamente menor que la de Dejar ser un espacio de dimensión de Hilbert ℵ 0 . {\ Displaystyle \ aleph _ {0}.} (por ejemplo, ). Dejar ser una base ortonormal de entonces Ampliar a una base de Hamel por dónde Dado que se sabe que la dimensión Hamel de es la cardinalidad del continuo, debe ser que
Dejar ser un espacio de dimensión de Hilbert (por ejemplo, ). Dejar ser una base ortonormal para y deja ser una biyección. Entonces hay una transformación lineal tal que por y por .
Dejar y deja ser la gráfica de Dejar ser el cierre de en ; nosotros mostraremos Ya que para cualquier tenemos resulta que
Siguiente, si luego para algunos entonces ; desde también, también tenemos Resulta que entonces y es denso en
Finalmente, es un conjunto ortonormal máximo en ; Si
para todos luego entonces es el vector cero en De ahí la dimensión de es Considerando que es evidente que la dimensión de es Esto completa la prueba.
La identidad de Parseval conduce inmediatamente al siguiente teorema:
Teorema. Dejar ser un espacio de producto interior separable y una base ortonormal de Entonces el mapa
Este teorema se puede considerar como una forma abstracta de la serie de Fourier , en la que una base ortonormal arbitraria juega el papel de la secuencia de polinomios trigonométricos . Tenga en cuenta que el conjunto de índices subyacente puede tomarse como cualquier conjunto contable (y de hecho cualquier conjunto, siempre quese define adecuadamente, como se explica en el artículo Espacio de Hilbert ). En particular, obtenemos el siguiente resultado en la teoría de series de Fourier:
Teorema. Dejar ser el espacio interior del producto Luego, la secuencia (indexada en el conjunto de todos los enteros) de funciones continuas
Ortogonalidad de la secuencia se deduce inmediatamente del hecho de que si luego
La normalidad de la secuencia es por diseño, es decir, los coeficientes se eligen de modo que la norma resulte en 1. Finalmente, el hecho de que la secuencia tenga un intervalo algebraico denso, en la norma del producto interno , se sigue del hecho de que la secuencia tiene un intervalo algebraico denso, esta vez en el espacio de funciones periódicas continuas encon la norma uniforme. Este es el contenido del teorema de Weierstrass sobre la densidad uniforme de polinomios trigonométricos.
Operadores en espacios interiores de productos
Varios tipos de mapas lineales entre los espacios interiores del producto y son de relevancia:
- Mapas lineales continuos : es lineal y continua con respecto a la métrica definida anteriormente, o de manera equivalente, es lineal y el conjunto de reales no negativos dónde rangos sobre la unidad cerrada bola de está ligado.
- Operadores lineales simétricos : es lineal y para todos
- Isometrías : es lineal y para todos o equivalente, es lineal y para todos Todas las isometrías son inyectivas . Las isometrías son morfismos entre espacios de productos internos, y los morfismos de espacios de productos internos reales son transformaciones ortogonales (compárese con la matriz ortogonal ).
- Isomorfismos isométricos :es una isometría que es sobreyectiva (y por tanto biyectiva ). Los isomorfismos isométricos también se conocen como operadores unitarios (compárese con la matriz unitaria ).
Desde el punto de vista de la teoría del espacio de producto interno, no es necesario distinguir entre dos espacios que son isométricamente isomórficos. El teorema espectral proporciona una forma canónica para operadores simétricos, unitarios y más generalmente normales en espacios de producto internos de dimensión finita. Una generalización del teorema espectral es válida para los operadores normales continuos en los espacios de Hilbert.
Generalizaciones
Cualquiera de los axiomas de un producto interno puede debilitarse, dando lugar a nociones generalizadas. Las generalizaciones más cercanas a los productos internos ocurren donde se retienen la bilinealidad y la simetría conjugada, pero se debilita la definición positiva.
Productos internos degenerados
Si es un espacio vectorial y una forma sesquilínea semidefinida, luego la función:
Esta construcción se utiliza en numerosos contextos. La construcción Gelfand-Naimark-Segal es un ejemplo particularmente importante del uso de esta técnica. Otro ejemplo es la representación de núcleos semidefinidos en conjuntos arbitrarios.
Formas simétricas conjugadas no generadas
Alternativamente, se puede requerir que el emparejamiento sea una forma no degenerada , lo que significa que para todos los existe algo tal que aunque no necesita ser igual ; en otras palabras, el mapa inducido al espacio duales inyectable. Esta generalización es importante en la geometría diferencial : una variedad cuyos espacios tangentes tienen un producto interno es una variedad de Riemann , mientras que si está relacionada con una forma simétrica conjugada no degenerada, la variedad es una variedad pseudo-Riemanniana . Según la ley de inercia de Sylvester , así como cada producto interno es similar al producto escalar con pesos positivos en un conjunto de vectores, cada forma simétrica conjugada no degenerada es similar al producto escalar con pesos distintos de cero en un conjunto de vectores, y el número de las ponderaciones positivas y negativas se denominan respectivamente índice positivo e índice negativo. El producto de vectores en el espacio de Minkowski es un ejemplo de producto interno indefinido, aunque, técnicamente hablando, no es un producto interno según la definición estándar anterior. El espacio de Minkowski tiene cuatro dimensiones y los índices 3 y 1 (la asignación de "+" y "-" a ellos difiere según las convenciones ).
Los enunciados puramente algebraicos (los que no usan positividad) generalmente solo se basan en la no degeneración (el homomorfismo inyectivo ) y, por lo tanto, se mantienen de manera más general.
Productos relacionados
El término "producto interno" se opone al producto externo , que es un opuesto ligeramente más general. Simplemente, en coordenadas, el producto interno es el producto de un Covector con un vector, produciendo un matriz (un escalar), mientras que el producto externo es el producto de un vector con un Covector, produciendo un matriz. Tenga en cuenta que el producto exterior se define para diferentes dimensiones, mientras que el producto interior requiere la misma dimensión. Si las dimensiones son las mismas, entonces el producto interno es la traza del producto externo (la traza solo se define correctamente para matrices cuadradas). En un resumen informal: "interior es horizontal por vertical y se encoge, exterior es vertical por horizontal y se expande".
De manera más abstracta, el producto externo es el mapa bilineal enviar un vector y un covector a una transformación lineal de rango 1 ( tensor simple de tipo (1, 1)), mientras que el producto interno es el mapa de evaluación bilinealdado evaluando un covector en un vector; el orden de los espacios vectoriales de dominio aquí refleja la distinción entre el vector y el covector.
El producto interior y el producto exterior no deben confundirse con el producto interior y el producto exterior , que son operaciones en campos vectoriales y formas diferenciales , o más generalmente en el álgebra exterior .
Como complicación adicional, en álgebra geométrica el producto interno y el producto externo (Grassmann) se combinan en el producto geométrico (el producto de Clifford en un álgebra de Clifford ) - el producto interno envía dos vectores (1-vectores) a un escalar (a 0-vector), mientras que el producto exterior envía dos vectores a un bivector (2-vector), y en este contexto, el producto exterior generalmente se denomina producto exterior (alternativamente, producto de cuña ). El producto interno se llama más correctamente un producto escalar en este contexto, ya que la forma cuadrática no degenerada en cuestión no necesita ser definida positiva (no necesita ser un producto interno).
Ver también
- Forma bilineal : función escalar de dos variables que se convierte en un mapa lineal cuando una coordenada es fija
- Sistema biortogonal
- Espacio dual: espacio vectorial de funciones lineales de vectores que devuelven escalares; generalizando el producto escalar
- Espacio energético
- Producto semi-interno en L - Generalización de productos internos que se aplica a todos los espacios normativos
- Complemento ortogonal
Notas
- ^ Al combinar lapropiedad lineal en el primer argumento con lapropiedad de simetría conjugada , se obtiene conjugada lineal en el segundo argumento :Así es como se definió originalmente el producto interno y todavía se usa en algunas comunidades matemáticas de la vieja escuela. Sin embargo, toda la ingeniería y la informática, y la mayor parte de la física y las matemáticas modernas ahora definen el producto interno como lineal en el segundo argumento y conjugado-lineal en el primer argumento porque esto es más compatible con varias otras convenciones en matemáticas. En particular, para cualquier producto interno, hay una matriz hermitiana , positiva-definida tal que (Aquí, es la transposición conjugada de)
- ^ Esto significa que y para todos los vectores y todos los escalares
- ^ Una barra sobre una expresión denota una conjugación compleja; por ejemplo, es la conjugación compleja de Por valores reales, y la simetría conjugada es equivalente a la simetría .
- ^ Esto se debe a que la condición (1) (es decir, la linealidad en el primer argumento) y la definición positiva implica quees siempre un número real. Y como se mencionó antes, una forma sesquilínea es hermitiana si y solo si es real para todos
- Pruebas
- ^ a b La homogeneidad en el primer argumento implica La aditividad en el primer argumento implica así que agregando a ambos lados prueba
- ^ Un número complejo es un número real si y solo si Utilizando en condición (2) da lo que implica que es un número real.
- ^ Deje ser vectores y dejar ser un escalar. Luego y
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