En geometría , el círculo o círculo inscrito de un triángulo es el círculo más grande contenido en el triángulo; toca (es tangente a) los tres lados. El centro del círculo es un centro triangular llamado incentro del triángulo . [1]
Un excírculo o círculo escrito [2] del triángulo es un círculo que se encuentra fuera del triángulo, tangente a uno de sus lados y tangente a las extensiones de los otros dos . Cada triángulo tiene tres círculos distintos, cada tangente a uno de los lados del triángulo. [3]
El centro del círculo, llamado incentro , se puede encontrar como la intersección de las tres bisectrices internas del ángulo . [3] [4] El centro de un círculo es la intersección de la bisectriz interna de un ángulo (en el vértice, por ejemplo) y las bisectrices externas de los otros dos. El centro de este círculo se llama excentro en relación con el vértice., o el excenter de. [3] Debido a que la bisectriz interna de un ángulo es perpendicular a su bisectriz externa, se deduce que el centro de la circunferencia junto con los tres centros de la circunferencia forman un sistema ortocéntrico . [5] : pág. 182
Todos los polígonos regulares tienen círculos tangentes a todos los lados, pero no todos los polígonos los tienen; los que lo hacen son polígonos tangenciales . Consulte también Líneas tangentes a círculos .
Circunferencia e incentro
Suponer tiene un círculo con radio y centro . Dejar ser la longitud de , el largo de , y el largo de . También deja, , y ser los puntos de contacto donde el círculo toca , , y .
En el centro
El incentro es el punto donde las bisectrices del ángulo interno de reunirse.
La distancia desde el vértice al incentro es: [ cita requerida ]
Coordenadas trilineales
Las coordenadas trilineales para un punto en el triángulo es la razón de todas las distancias a los lados del triángulo. Debido a que el incentro está a la misma distancia de todos los lados del triángulo, las coordenadas trilineales para el incentro son [6]
Coordenadas baricéntricas
Las coordenadas baricéntricas para un punto en un triángulo dan pesos tales que el punto es el promedio ponderado de las posiciones de los vértices del triángulo. Las coordenadas baricéntricas para el incentro vienen dadas por [ cita requerida ]
dónde , , y son las longitudes de los lados del triángulo, o de manera equivalente (usando la ley de los senos ) por
dónde , , y son los ángulos en los tres vértices.
Coordenadas cartesianas
Las coordenadas cartesianas del incentro son un promedio ponderado de las coordenadas de los tres vértices usando las longitudes de los lados del triángulo en relación con el perímetro (es decir, usando las coordenadas baricéntricas dadas anteriormente, normalizadas para sumar a la unidad) como pesos. Los pesos son positivos, por lo que el incentro se encuentra dentro del triángulo como se indicó anteriormente. Si los tres vértices se encuentran en, , y , y los lados opuestos a estos vértices tienen longitudes correspondientes , , y , entonces el incentro está en [ cita requerida ]
Radio
El inradius del círculo en un triángulo con lados de longitud , , viene dado por [7]
- dónde
Vea la fórmula de Heron .
Distancias a los vértices
Denotando el incentro de como , las distancias del incentro a los vértices combinadas con las longitudes de los lados del triángulo obedecen a la ecuación [8]
Además, [9]
dónde y son el circunradio y el radio interno del triángulo, respectivamente.
Otras propiedades
A la colección de centros de triángulos se le puede dar la estructura de un grupo bajo la multiplicación de coordenadas trilineales por coordenadas; en este grupo, el incentro constituye el elemento de identidad . [6]
Incircle y sus propiedades de radio
Distancias entre el vértice y los puntos de contacto más cercanos
Las distancias desde un vértice a los dos puntos de contacto más cercanos son iguales; por ejemplo: [10]
Otras propiedades
Suponga que los puntos de tangencia del círculo dividen los lados en longitudes de y , y , y y . Entonces el círculo tiene el radio [11]
y el área del triángulo es
Si las altitudes de los lados de las longitudes, , y están , , y , luego el inradius es un tercio de la media armónica de estas altitudes; es decir, [12]
El producto del radio de un círculo y la circunferencia circunscrita radio de un triangulo con lados , , y es [5] : 189, # 298 (d)
Algunas relaciones entre los lados, el radio de un círculo y el radio de un círculo son: [13]
Cualquier línea a través de un triángulo que divide tanto el área del triángulo como su perímetro por la mitad pasa por el incentro del triángulo (el centro de su círculo). Hay uno, dos o tres de estos para cualquier triángulo dado. [14]
Denotando el centro del círculo de como , tenemos [15]
y [16] : 121, # 84
El radio del círculo no es mayor que un noveno de la suma de las altitudes. [17] : 289
La distancia al cuadrado del incentro al circuncentro viene dado por [18] : 232
- ,
y la distancia del incentro al centro del círculo de nueve puntos es [18] : 232
El incentro se encuentra en el triángulo medial (cuyos vértices son los puntos medios de los lados). [18] : 233, Lema 1
Relación con el área del triángulo
El radio del círculo está relacionado con el área del triángulo. [19] La razón entre el área del círculo y el área del triángulo es menor o igual a, siendo la igualdad sólo para triángulos equiláteros . [20]
Suponer tiene un círculo con radio y centro . Dejar ser la longitud de , el largo de , y el largo de . Ahora, el círculo es tangente a en algún momento , y entonces es correcto. Por tanto, el radioes una altitud de. Por lo tanto, tiene longitud base y altura y también el área . Similar, tiene area y tiene area . Dado que estos tres triángulos se descomponen, vemos que la zona es: [ cita requerida ]
- y
dónde es el área de y es su semiperímetro .
Para una fórmula alternativa, considere . Este es un triángulo rectángulo con un lado igual a y el otro lado igual a . Lo mismo es cierto para. El triángulo grande está compuesto por seis de esos triángulos y el área total es: [ cita requerida ]
Triángulo y punto de Gergonne
El triángulo de Gergonne (de) está definido por los tres puntos de contacto del círculo en los tres lados. El punto de contacto opuesto se denota etc.
Este triángulo de Gergonne, , También se conoce como el triángulo de contacto o triángulo intouch de. Su area es
dónde , , y son el área, el radio del círculo y el semiperímetro del triángulo original, y, , y son las longitudes de los lados del triángulo original. Esta es la misma área que la del triángulo extouch . [21]
Las tres lineas , y se cruzan en un solo punto llamado el punto de Gergonne , denotado como(o centro del triángulo X 7 ). El punto de Gergonne se encuentra en el disco ortocentroidal abierto perforado en su propio centro y puede ser cualquier punto del mismo. [22]
El punto de Gergonne de un triángulo tiene varias propiedades, incluido el hecho de que es el punto simmediano del triángulo de Gergonne. [23]
Las coordenadas trilineales para los vértices del triángulo intouch están dadas por [ cita requerida ]
Las coordenadas trilineales para el punto de Gergonne vienen dadas por [ cita requerida ]
o, de manera equivalente, por la Ley de los senos ,
Excircles y excitantes
Un excírculo o círculo escrito [24] del triángulo es un círculo que se encuentra fuera del triángulo, tangente a uno de sus lados y tangente a las extensiones de los otros dos . Cada triángulo tiene tres círculos distintos, cada tangente a uno de los lados del triángulo. [3]
El centro de un excirculo es la intersección de la bisectriz interna de un ángulo (en el vértice , por ejemplo) y las bisectrices externas de los otros dos. El centro de este círculo se llama excentro en relación con el vértice., o el excenter de. [3] Debido a que la bisectriz interna de un ángulo es perpendicular a su bisectriz externa, se deduce que el centro de la circunferencia junto con los tres centros de la circunferencia forman un sistema ortocéntrico . [5] : 182
Coordenadas trilineales de excitantes
Mientras que el incentro detiene coordenadas trilineales , los excitantes tienen trilineales , , y . [ cita requerida ]
Exradii
Los radios de los excircles se denominan exradii .
El exradius del excircle opuesto (tan conmovedor , centrado en ) es [25] [26]
- dónde
Vea la fórmula de Heron .
Derivación de la fórmula exradii [27]
Deje el círculo a un lado tocar a un lado extendido en , y deje que el radio de este círculo sea y su centro sea .
Luego es una altitud de , entonces tiene area . Por un argumento similar, tiene area y tiene area . Por lo tanto, el área de triangulo es
- .
Entonces, por simetría, denotando como el radio del círculo,
- .
Por la ley de los cosenos , tenemos
Combinando esto con la identidad , tenemos
Pero , y entonces
que es la fórmula de Heron .
Combinando esto con , tenemos
Similar, da
y
Otras propiedades
A partir de las fórmulas anteriores, se puede ver que los excirculos son siempre más grandes que el incírculo y que el excirculo más grande es el tangente al lado más largo y el excirculo más pequeño es tangente al lado más corto. Además, la combinación de estas fórmulas da como resultado: [28]
Otras propiedades del círculo
El casco circular de los excircles es internamente tangente a cada uno de los excircles y, por lo tanto, es un círculo de Apolonio . [29] El radio de este círculo de Apolonio es dónde es el radio del círculo y es el semiperímetro del triángulo. [30]
Las siguientes relaciones se mantienen entre los inradius , el circunradio , el semiperímetro , y los radios de excircle , , : [13]
El círculo que pasa por los centros de los tres excirculos tiene un radio . [13]
Si es el ortocentro de, luego [13]
Triángulo de Nagel y punto de Nagel
El triángulo de Nagel o triángulo extouch de se denota por los vértices , , y que son los tres puntos donde los excircles tocan la referencia y donde es opuesto a , etc. Este también se conoce como el triángulo extouch de. La circunferencia de los extasiadosse llama el círculo Mandart . [ cita requerida ]
Las tres lineas , y se llaman los divisores del triángulo; cada uno biseca el perímetro del triángulo, [ cita requerida ]
Los divisores se cruzan en un solo punto, el punto Nagel del triángulo (o centro del triángulo X 8 ).
Las coordenadas trilineales para los vértices del triángulo extouch vienen dadas por [ cita requerida ]
Las coordenadas trilineales para el punto Nagel vienen dadas por [ cita requerida ]
o, de manera equivalente, por la Ley de los senos ,
El punto de Nagel es el conjugado isotómico del punto de Gergonne. [ cita requerida ]
Construcciones relacionadas
Círculo de nueve puntos y punto de Feuerbach
En geometría , el círculo de nueve puntos es un círculo que se puede construir para cualquier triángulo dado . Se llama así porque pasa por nueve puntos concíclicos significativos definidos a partir del triángulo. Estos nueve puntos son: [31] [32]
- El punto medio de cada lado del triángulo.
- El pie de cada altitud
- El punto medio del segmento de línea desde cada vértice del triángulo hasta el ortocentro (donde se encuentran las tres altitudes; estos segmentos de línea se encuentran en sus respectivas altitudes).
En 1822 Karl Feuerbach descubrió que el círculo de nueve puntos de cualquier triángulo es externamente tangente a los tres excircuitos de ese triángulo e internamente tangente a su incírculo ; este resultado se conoce como teorema de Feuerbach . Demostró que: [ cita requerida ]
- ... el círculo que pasa por los pies de las alturas de un triángulo es tangente a los cuatro círculos que a su vez son tangentes a los tres lados del triángulo ... ( Feuerbach 1822 )
El centro del triángulo en el que se tocan el círculo y el círculo de nueve puntos se llama punto de Feuerbach .
Triángulos centrales y excentrales
Los puntos de intersección de las bisectrices del ángulo interior de con los segmentos , , yson los vértices del triángulo incentivo . Las coordenadas trilineales de los vértices del triángulo incentivo están dadas por [ cita requerida ]
El triángulo excentral de un triángulo de referencia tiene vértices en los centros de los excirculos del triángulo de referencia. Sus lados están en las bisectrices del ángulo externo del triángulo de referencia (ver figura en la parte superior de la página ). Las coordenadas trilineales para los vértices del triángulo excentral están dadas por [ cita requerida ]
Ecuaciones para cuatro círculos
Dejar ser un punto variable en coordenadas trilineales , y sea, , . Los cuatro círculos descritos anteriormente están dados de manera equivalente por cualquiera de las dos ecuaciones dadas: [33] : 210–215
- Rodear:
- - excircle:
- - excircle:
- - excircle:
Teorema de euler
El teorema de Euler establece que en un triángulo:
dónde y son el circunradius y el inradius respectivamente, y es la distancia entre el circuncentro y el incentro.
Por ejemplo, la ecuación es similar:
dónde es el radio de uno de los excircles, y es la distancia entre el circuncentro y el centro de ese círculo. [34] [35] [36]
Generalización a otros polígonos
Algunos cuadriláteros (pero no todos) tienen un círculo. Estos se llaman cuadriláteros tangenciales . Entre sus muchas propiedades, quizás la más importante es que sus dos pares de lados opuestos tienen sumas iguales. Esto se llama teorema de Pitot . [ cita requerida ]
De manera más general, un polígono con cualquier número de lados que tiene un círculo inscrito (es decir, uno que es tangente a cada lado) se llama polígono tangencial . [ cita requerida ]
Ver también
- Circumgon
- Círculo circunscrito : círculo que atraviesa todos los vértices de un polígono
- Cuadrilátero ex-tangencial
- Teorema de Harcourt : área de un triángulo desde sus lados y distancias de vértice a cualquier línea tangente a su círculo
- Circuncónico e incónico : una sección cónica que pasa por los vértices de un triángulo o es tangente a sus lados.
- Esfera inscrita
- Poder de un punto
- Steiner inellipse
- Cuadrilátero tangencial
- Teorema de Trillium : declaración sobre las propiedades de los círculos inscritos y circunscritos.
Notas
- ^ Kay (1969 , p. 140)
- ↑ Altshiller-Court (1925 , p. 74)
- ↑ a b c d e Altshiller-Court (1925 , p. 73)
- ^ Kay (1969 , p. 117)
- ↑ a b c Johnson, Roger A., Geometría euclidiana avanzada , Dover, 2007 (orig. 1929).
- ↑ a b Encyclopedia of Triangle Centers Archivado el 19 de abril de 2012 en la Wayback Machine , consultado el 28 de octubre de 2014.
- ↑ Kay (1969 , p. 201)
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- ↑ Allaire, Patricia R .; Zhou, Junmin; y Yao, Haishen, "Proving a the 19th century elipse identity", Mathematical Gazette 96, marzo de 2012, 161-165.
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- ^ Whitworth, William Allen. Coordenadas trilineales y otros métodos de geometría analítica moderna de dos dimensiones , Forgotten Books, 2012 (orig. Deighton, Bell y Co., 1866). http://www.forgottenbooks.com/search?q=Trilinear+coordinates&t=books
- ^ Nelson, Roger, "Desigualdad del triángulo de Euler a través de la prueba sin palabras", Revista de matemáticas 81 (1), febrero de 2008, 58-61.
- ^ Johnson, RA Modern Geometry , Houghton Mifflin, Boston, 1929: p. 187.
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Referencias
- Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2a ed.), Nueva York: Barnes & Noble , LCCN 52013504
- Kay, David C. (1969), College Geometry , Nueva York: Holt, Rinehart y Winston , LCCN 69012075
- Kimberling, Clark (1998). "Centros de triángulo y triángulos centrales". Congressus Numerantium (129): i – xxv, 1–295.
- Beso, Sándor (2006). "Los Triángulos Órtico-de-Intouch e Intouch-of-Orthic". Forum Geometricorum (6): 171-177.
enlaces externos
- Derivación de la fórmula para el radio de un círculo de un triángulo
- Weisstein, Eric W. "Incircle" . MathWorld .
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