Dominio integral

Estructura algebraica con dos operaciones binarias

Anillo conmutativo sin divisores de cero distintos de cero

No confundir con dominio de integración .

Estructura algebraica → Teoría del anillo Teoría del anillo
Conceptos básicos Anillos • Subanillos • Ideal • Anillo de cociente • Ideal fraccional • Anillo de cociente total • Anillo de producto • Producto gratuito de álgebras asociativas • Producto tensor de anillos Homomorfismos de anillo • Kernel • Automorfismo interno • Endomorfismo de Frobenius Estructuras algebraicas • Módulo • Álgebra asociativa • Anillo graduado • Anillo involutivo • Categoría de anillos • Timbre inicial ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • Anillo terminal ${\displaystyle 0=\mathbb {Z} _{1}}$ Estructuras relacionadas • Campo • Campo finito • Anillo no asociativo • Anillo de mentira • Anillo de Jordan • Semiring • Semicampo
Álgebra conmutativa Anillos conmutativos • Dominio integral • Dominio integralmente cerrado • Dominio GCD • Dominio de factorización único • Dominio ideal principal • Dominio euclidiano • Campo • Campo finito • Anillo de composición • Anillo polinomial • Anillo formal de la serie Power Teoría algebraica de números • Campo numérico algebraico • Anillo de números enteros • Independencia algebraica • Teoría de números trascendental • Grado de trascendencia p - teoría de números ádicos y decimales • Límite directo / límite inverso • Anillo cero ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}}$ • Enteros módulo p n ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ • Prüfer p -ring ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$ • Base - anillo circular p ${\displaystyle \mathbb {T} }$ • Base - p enteros ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • Racionales p -ádicos ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ • Base - p números reales ${\displaystyle \mathbb {R} }$ • p -enteros ádicos ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ • p -números ádicos ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • solenoide p -ádico ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ Geometría algebraica • Variedad afín
Álgebra no conmutativa Anillos no conmutativos • Anillo de división • Anillo semiprimitivo • Anillo simple • Conmutador Geometría algebraica no conmutativa Álgebra libre Álgebra de Clifford • Álgebra geométrica Álgebra de operadores
v t mi

En matemáticas , específicamente en álgebra abstracta , un dominio integral es un anillo conmutativo distinto de cero en el que el producto de dos elementos distintos de cero es distinto de cero. ^{[1] [2] Los} dominios integrales son generalizaciones del anillo de números enteros y proporcionan un entorno natural para estudiar la divisibilidad . En un dominio de integridad, cada elemento distinto de cero una tiene la propiedad de cancelación , es decir, si un ≠ 0 , una igualdad ab = ac implica b = c .

El "dominio integral" se define casi universalmente como antes, pero hay algunas variaciones. Este artículo sigue la convención de que los anillos tienen una identidad multiplicativa , generalmente denotada como 1, pero algunos autores no siguen esto, al no requerir que los dominios integrales tengan una identidad multiplicativa. ^{[3] [4]} A veces se admiten dominios integrales no conmutativos. ^[5] Sin embargo, este artículo sigue la convención mucho más habitual de reservar el término "dominio integral" para el caso conmutativo y utilizar " dominio " para el caso general, incluidos los anillos no conmutativos.

Algunas fuentes, en particular Lang , usan el término anillo completo para dominio integral. ^[6]

Algunos tipos específicos de dominios integrales se dan con la siguiente cadena de inclusiones de clases :

RNGs ⊃ anillos ⊃ anillos conmutativos ⊃ dominios de integridad ⊃ dominios integralmente cerrados ⊃ dominios GCD ⊃ dominio de factorización única ⊃ principales dominios ideales ⊃ dominio euclídeo ⊃ campos ⊃ campos algebraicamente cerrados

Estructuras algebraicas
Tipo grupo Grupo Semigrupo  / Monoid Rack y quandle Cuasigrupo y bucle Grupo abeliano Magma Grupo de mentiras Teoría de grupos
Como un anillo Anillo Rng Semiring Anillo cercano Anillo conmutativo Dominio integral Campo Anillo de división Teoría del anillo
celosía -como Enrejado Semirretículo Celosía complementada Orden total Heyting álgebra álgebra de Boole Mapa de celosías Teoría de la celosía
Como un módulo Módulo Grupo con operadores Espacio vectorial Álgebra lineal
Algebra- like Álgebra De asociación No asociativo Álgebra de composición Álgebra de mentiras Calificado Bialgebra
v t mi

Definición

Un dominio integral es un anillo conmutativo distinto de cero en el que el producto de dos elementos distintos de cero es distinto de cero. Equivalentemente:

• Un dominio integral es un anillo conmutativo distinto de cero sin divisores de cero distintos de cero .
• Un dominio integral es un anillo conmutativo en el que el ideal cero {0} es un ideal primo .
• Un dominio integral es un anillo conmutativo distinto de cero para el cual cada elemento distinto de cero es cancelable mediante la multiplicación.
• Un dominio integral es un anillo para el cual el conjunto de elementos distintos de cero es un monoide conmutativo bajo multiplicación (porque un monoide debe estar cerrado bajo multiplicación).
• Un dominio integral es un anillo conmutativo distinto de cero en el que para cada elemento r distinto de cero , la función que asigna cada elemento x del anillo al producto xr es inyectiva . Los elementos r con esta propiedad se denominan regulares , por lo que es equivalente a requerir que todos los elementos distintos de cero del anillo sean regulares.
• Un dominio integral es un anillo que es isomorfo a un subanillo de un campo . (Dado un dominio integral, se puede incrustar en su campo de fracciones ).

Ejemplos

• El ejemplo arquetípico es el anillo de todos los números enteros .${\displaystyle \mathbb {Z} }$
• Cada campo es un dominio integral. Por ejemplo, el campo de todos los números reales es un dominio integral. Por el contrario, todo dominio integral artiniano es un campo. En particular, todos los dominios integrales finitos son campos finitos (más generalmente, según el pequeño teorema de Wedderburn , los dominios finitos son campos finitos ). El anillo de números enteros proporciona un ejemplo de un dominio integral infinito no artiniano que no es un campo, que posee infinitas secuencias descendentes de ideales como:${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \mathbb {Z} \supset 2\mathbb {Z} \supset \cdots \supset 2^{n}\mathbb {Z} \supset 2^{n+1}\mathbb {Z} \supset \cdots }$

• Los anillos de polinomios son dominios integrales si los coeficientes provienen de un dominio integral. Por ejemplo, el anillo de todos los polinomios en una variable con coeficientes enteros es un dominio integral; también lo es el anillo de todos los polinomios en n -variables con coeficientes complejos .${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

• El ejemplo anterior puede explotarse aún más tomando cocientes de ideales primarios. Por ejemplo, el anillo correspondiente a una curva elíptica plana es un dominio integral. La integralidad se puede verificar mostrando que es un polinomio irreducible .${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]/(y^{2}-x(x-1)(x-2))}$${\displaystyle y^{2}-x(x-1)(x-2)}$

• El anillo es un dominio integral para cualquier número entero no cuadrado . Si , entonces este anillo es siempre un subanillo de , de lo contrario, es un subanillo de${\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n)\cong \mathbb {Z} [{\sqrt {n}}]}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} .}$

• El anillo de enteros p-ádicos es un dominio integral.${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

• Si es un subconjunto abierto conectado del plano complejo , entonces el anillo que consta de todas las funciones holomórficas es un dominio integral. Lo mismo es cierto para los anillos de funciones analíticas en subconjuntos abiertos conectados de variedades analíticas .${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle {\mathcal {H}}(U)}$

• Un anillo local regular es un dominio integral. De hecho, un anillo local regular es un UFD . ^{[7] [8]}

No ejemplos

Los siguientes anillos no son dominios integrales.

• El anillo cero (el anillo en el que ).${\displaystyle 0=1}$

• El anillo del cociente cuando m es un número compuesto . De hecho, elija una factorización adecuada (lo que significa que y no son iguales a o ). Entonces y , pero .${\displaystyle \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} }$${\displaystyle m=xy}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle m}$${\displaystyle x\not \equiv 0{\bmod {m}}}$${\displaystyle y\not \equiv 0{\bmod {m}}}$${\displaystyle xy\equiv 0{\bmod {m}}}$

• Un producto de dos anillos conmutativos distintos de cero. En tal producto , uno tiene .${\displaystyle R\times S}$${\displaystyle (1,0)\cdot (0,1)=(0,0)}$

• El anillo del cociente para cualquiera . Las imágenes de y son distintas de cero, mientras que su producto es 0 en este anillo.${\displaystyle \mathbb {Z} [x]/(x^{2}-n^{2})}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle x+n}$${\displaystyle x-n}$

• El anillo de n × n matrices sobre cualquier anillo distinto de cero cuando n ≥ 2. Si y son matrices tales que la imagen de está contenida en el núcleo de , entonces . Por ejemplo, esto sucede para .${\displaystyle M}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle M}$${\displaystyle MN=0}$${\displaystyle M=N=({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}})}$

• El anillo del cociente para cualquier campo y cualquier polinomio no constante . Las imágenes de f y g en este anillo de cociente son elementos distintos de cero cuyo producto es 0. Este argumento muestra, de manera equivalente, que no es un ideal primo . La interpretación geométrica de este resultado es que los ceros de fg forman un conjunto algebraico afín que no es irreducible (es decir, no es una variedad algebraica ) en general. El único caso en el que este conjunto algebraico puede ser irreductible es cuando fg es una potencia de un polinomio irreducible , que define el mismo conjunto algebraico.${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/(fg)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f,g\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle (fg)}$

• El anillo de funciones continuas en el intervalo unitario . Considere las funciones

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}1-2x&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\0&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}\qquad g(x)={\begin{cases}0&x\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\2x-1&x\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$

Ni tampoco está en todas partes a cero, pero es.${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle fg}$

• El producto tensorial . Este anillo tiene dos idempotentes no triviales , y . Son ortogonales, lo que significa que , por lo tanto, no es un dominio. De hecho, existe un isomorfismo definido por . Su inverso está definido por . Este ejemplo muestra que un producto de fibra de esquemas afines irreductibles no necesita ser irreductible.${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle e_{1}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)-{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)}$${\displaystyle e_{2}={\tfrac {1}{2}}(1\otimes 1)+{\tfrac {1}{2}}(i\otimes i)}$${\displaystyle e_{1}e_{2}=0}$${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$${\displaystyle (z,w)\mapsto z\cdot e_{1}+w\cdot e_{2}}$${\displaystyle z\otimes w\mapsto (zw,z{\overline {w}})}$

Divisibilidad, elementos primos y elementos irreductibles

Ver también: Divisibilidad (teoría del anillo)

En esta sección, R es un dominio integral.

Dada elementos un y b de R , se dice que un divide b , o que una es un divisor de b , o que b es un múltiplo de una , si existe un elemento x en R tal que ax = b .

Las unidades de R son los elementos que dividen a 1; Estas son precisamente los elementos invertibles en R . Las unidades dividen todos los demás elementos.

Si un divide a b y b divide a una , a continuación, una y b son elementos asociados o asociados . ^[9] De manera equivalente, una y b son asociados si un = UB por alguna unidad u .

Un elemento irreducible es una no unidad distinta de cero que no se puede escribir como un producto de dos no unidades.

Un p distinto de cero que no es unitario es un elemento primo si, siempre que p divide un producto ab , entonces p divide a o p divide b . De manera equivalente, un elemento p es primo si y solo si el ideal principal ( p ) es un ideal primo distinto de cero.

Tanto las nociones de elementos irreductibles como de elementos primos generalizan la definición ordinaria de números primos en el anillo si se consideran primos los primos negativos.${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$

Todo elemento primordial es irreductible. Lo contrario no es cierto en general: por ejemplo, en el anillo de números enteros cuadráticos el elemento 3 es irreducible (si se factoriza de manera no trivial, los factores tendrían que tener cada uno la norma 3, pero no hay elementos de la norma 3 ya que no tiene soluciones enteras) , pero no primo (ya que 3 se divide sin dividir ninguno de los factores). En un dominio de factorización único (o más generalmente, un dominio GCD ), un elemento irreducible es un elemento principal.${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$${\displaystyle a^{2}+5b^{2}=3}$${\displaystyle \left(2+{\sqrt {-5}}\right)\left(2-{\sqrt {-5}}\right)}$

Si bien la factorización única no se sostiene , hay una factorización única de ideales . Consulte el teorema de Lasker-Noether .${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-5}}\right]}$

Propiedades

• Un anillo conmutativo R es un dominio integral si y solo si el ideal (0) de R es un ideal primo.
• Si R es un anillo conmutativo y P es un ideal en R , entonces el anillo del cociente R / P es un dominio integral si y solo si P es un ideal primo .
• Sea R un dominio integral. Entonces, los anillos polinomiales sobre R (en cualquier número de indeterminados) son dominios integrales. Este es en particular el caso si R es un campo .
• La propiedad de cancelación sostiene en cualquier dominio integral: para cualquier un , b , y c en un dominio de integridad, si un ≠ 0 y ab = ac entonces b = c . Otra forma de expresar esto es que la función x ↦ hacha es inyectiva para cualquier distinto de cero una en el dominio.
• La propiedad de cancelación se mantiene para ideales en cualquier dominio integral: si xI = xJ , entonces o bien x es cero o I = J .
• Un dominio integral es igual a la intersección de sus localizaciones en los ideales máximos.
• Un límite inductivo de dominios integrales es un dominio integral.
• Si son dominios integrales sobre un campo k algebraicamente cerrado , entonces es un dominio integral. Esto es una consecuencia del nullstellensatz de Hilbert , ^{[nota 1]} y, en geometría algebraica, implica el enunciado de que el anillo de coordenadas del producto de dos variedades algebraicas afines sobre un campo algebraicamente cerrado es nuevamente un dominio integral.${\displaystyle A,B}$${\displaystyle A\otimes _{k}B}$

Campo de fracciones

Artículo principal: Campo de fracciones

El campo de fracciones K de un dominio integral R es el conjunto de fracciones a / b con a y b en R y b ≠ 0 módulo una relación de equivalencia apropiada, equipada con las operaciones habituales de suma y multiplicación. Es "el campo más pequeño que contiene R  " en el sentido de que no es un anillo inyectiva homomorfismo R → K tal que cualquier homomorfismo de anillos inyectiva de R a una serie de factores de campo a través de K . El campo de fracciones del anillo de números enteros es el campo de${\displaystyle \mathbb {Z} }$números racionales El campo de fracciones de un campo es isomorfo al campo mismo.${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Geometría algebraica

Los dominios integrales se caracterizan por la condición de que son reducidos (es decir, x ² = 0 implica x = 0) e irreductibles (es decir, solo hay un ideal primo mínimo ). La primera condición asegura que el nilradical del anillo sea cero, de modo que la intersección de todos los primos mínimos del anillo sea cero. La última condición es que el anillo tenga solo un cebado mínimo. De ello se deduce que el ideal primo mínimo único de un anillo reducido e irreducible es el ideal cero, por lo que tales anillos son dominios integrales. Lo contrario es claro: un dominio integral no tiene elementos nilpotentes distintos de cero, y el ideal cero es el ideal primo mínimo único.

Esto se traduce, en geometría algebraica , en el hecho de que el anillo de coordenadas de un conjunto algebraico afín es un dominio integral si y sólo si el conjunto algebraico es una variedad algebraica .

De manera más general, un anillo conmutativo es un dominio integral si y solo si su espectro es un esquema afín integral .

Característica y homomorfismos

La característica de un dominio integral es 0 o un número primo .

Si R es un dominio integral de la característica principal p , entonces el endomorfismo de Frobenius f ( x ) = x ^p es inyectivo .

Ver también

El álgebra abstracta de Wikibook tiene una página sobre el tema: Dominios integrales

• Norma Dedekind-Hasse : la estructura adicional necesaria para que un dominio integral sea principal
• Propiedad de producto cero

Notas

1. Demostración: Primero suponga que A se genera de forma finita como un k- álgebra y elija unabasede. Supongamos(solo un número finito de valoresdistintos de cero). Para cada ideal máximode, considere el homomorfismo del anillo. Entonces la imagen esy, por tanto,oy, por independencia lineal,para todosopara todos. Dado quees arbitrario, tenemosla intersección de todos los ideales máximosdonde la última igualdad es por el Nullstellensatz. Dado quees un ideal primo, esto implicaoes el ideal cero; es decir, ya sea${\displaystyle k}$${\displaystyle g_{i}}$${\displaystyle B}$${\textstyle \sum f_{i}\otimes g_{i}\sum h_{j}\otimes g_{j}=0}$${\displaystyle f_{i},h_{j}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\otimes _{k}B\to A/{\mathfrak {m}}\otimes _{k}B=k\otimes _{k}B\simeq B}$${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}\sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0}$${\textstyle \sum {\overline {f_{i}}}g_{i}=0}$${\textstyle \sum {\overline {h_{i}}}g_{i}=0}$${\displaystyle {\overline {f_{i}}}=0}$${\displaystyle i}$${\displaystyle {\overline {h_{i}}}=0}$${\displaystyle i}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\textstyle (\sum f_{i}A)(\sum h_{i}A)\subset \operatorname {Jac} (A)=}$${\displaystyle =(0)}$${\displaystyle (0)}$${\textstyle \sum f_{i}A}$${\textstyle \sum h_{i}A}$${\displaystyle f_{i}}$son todos cero o son todos cero. Finalmente, es un límite inductivo de k -álgebras generadas finitamente que son dominios integrales y, por lo tanto, usando la propiedad anterior, es un dominio integral.${\displaystyle h_{i}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\otimes _{k}B=\varinjlim A_{i}\otimes _{k}B}$${\displaystyle \square }$

1. Bourbaki, pág. 116.
2. Dummit y Foote, p. 228.
3. BL van der Waerden, Álgebra Erster Teil, p. 36, Springer-Verlag, Berlín, Heidelberg 1966.
4. EN Herstein, Temas de álgebra, p. 88-90, Blaisdell Publishing Company, Londres 1964.
5. JC McConnell y JC Robson "Anillos noetherianos no conmutativos" ( Estudios de posgrado en matemáticas Vol. 30, AMS)
6. Páginas 91–92 de Lang, Serge (1993), Álgebra (Tercera ed.), Reading, Mass .: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl  0848.13001
7. Auslander, Maurice; Buchsbaum, DA (1959). "Factorización única en anillos locales regulares" . Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 45 (5): 733–734. doi : 10.1073 / pnas.45.5.733 . PMC 222624 . PMID 16590434 .  
8. Masayoshi Nagata (1958). "Una teoría general de la geometría algebraica sobre los dominios de Dedekind. II". Amer. J. Math . Prensa de la Universidad Johns Hopkins. 80 (2): 382–420. doi : 10.2307 / 2372791 . JSTOR 2372791 . 
9. Durbin, John R. (1993). Álgebra moderna: una introducción (3ª ed.). John Wiley e hijos. pag. 224. ISBN 0-471-51001-7. Elementos de una y b de [un dominio de integridad] se llaman asociados si un | b y b | a .

Referencias

• Adamson, Iain T. (1972). Anillos y módulos elementales . Textos Matemáticos Universitarios. Oliver y Boyd. ISBN 0-05-002192-3.
• Bourbaki, Nicolas (1998). Álgebra, Capítulos 1–3 . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-64243-5.
• Mac Lane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1967). Álgebra . Nueva York: The Macmillan Co. ISBN 1-56881-068-7. Señor  0214415 .
• Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3ª ed.). Nueva York: Wiley . ISBN 978-0-471-43334-7.
• Hungerford, Thomas W. (2013). Álgebra abstracta: una introducción (3ª ed.). Aprendizaje Cengage. ISBN 978-1-111-56962-4.
• Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de Posgrado en Matemáticas. 211 . Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-95385-4. Señor  1878556 .
• Sharpe, David (1987). Anillos y factorización . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-33718-6.
• Rowen, Louis Halle (1994). Álgebra: grupos, anillos y campos . AK Peters . ISBN 1-56881-028-8.
• Lanski, Charles (2005). Conceptos de álgebra abstracta . Librería AMS. ISBN 0-534-42323-X.
• Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. (2002). Una introducción a los anillos grupales . Saltador. ISBN 1-4020-0238-6.
• BL van der Waerden, Álgebra, Springer-Verlag, Berlín Heidelberg, 1966.

Enlaces externos

• "¿De dónde viene el término" dominio integral "?" .