En matemáticas , las integrales de funciones inversas se pueden calcular mediante una fórmula que expresa las antiderivadas de la inversa.de una función continua e invertible , en términos de y una antiderivada de . Esta fórmula fue publicada en 1905 por Charles-Ange Laisant . [1]
Declaración del teorema
Dejar y ser dos intervalos de. Asumir quees una función continua e invertible. Del teorema del valor intermedio se deduce quees estrictamente monótono . Como consecuencia,asigna intervalos a intervalos, por lo que es un mapa abierto y, por tanto, un homeomorfismo. Desde y la función inversa son continuas, tienen antiderivadas por el teorema fundamental del cálculo .
Laisant demostró que si es una antiderivada de , entonces las antiderivadas de están:
dónde es un número real arbitrario. Tenga en cuenta que no se asume quees diferenciable.
En su artículo de 1905, Laisant dio tres pruebas. Primero, bajo la hipótesis adicional de quees diferenciable , se puede diferenciar la fórmula anterior, que completa la demostración inmediatamente. Su segunda prueba fue geométrica. Si y , el teorema se puede escribir:
La figura de la derecha es una prueba sin palabras de esta fórmula. Laisant no discute las hipótesis necesarias para hacer esta demostración rigurosa, pero esto puede probarse sisolo se asume que es estrictamente monótono (no necesariamente continuo, y mucho menos diferenciable). En este caso, ambos y son Riemann integrables y la identidad se sigue de una biyección entre sumas Darboux inferior / superior de y sumas Darboux superior / inferior de . [2] [3] La versión antiderivada del teorema se sigue del teorema fundamental del cálculo en el caso en quetambién se supone que es continuo. La tercera prueba de Laisant usa la hipótesis adicional de quees diferenciable. Empezando con, uno multiplica pore integra ambos lados. El lado derecho se calcula utilizando la integración por partes a ser, y la fórmula sigue.
Sin embargo, se puede demostrar que este teorema es válido incluso si o no es diferenciable: [3] [4] basta, por ejemplo, con utilizar la integral de Stieltjes en el argumento anterior. Por otro lado, aunque las funciones monotónicas generales son diferenciables en casi todas partes, la demostración de la fórmula general no sigue, a menos quees absolutamente continuo . [4]
También es posible comprobar que para cada en , la derivada de la función es igual a . [ cita requerida ] En otras palabras:
Para ello, basta con aplicar el teorema del valor medio a Entre y , teniendo en cuenta que es monótono.
Ejemplos de
- Asumir que , por lo tanto. La fórmula anterior da inmediatamente
- Del mismo modo, con y ,
- Con y ,
Historia
Aparentemente, este teorema de integración fue descubierto por primera vez en 1905 por Charles-Ange Laisant , [1] quien "apenas podía creer que este teorema sea nuevo", y esperaba que su uso se extendiera en lo sucesivo entre estudiantes y profesores. Este resultado fue publicado de forma independiente en 1912 por un ingeniero italiano, Alberto Caprilli, en un opúsculo titulado "Nuove formole d'integrazione". [5] Fue redescubierto en 1955 por Parker, [6] y por varios matemáticos que lo siguieron. [7] No obstante, todos asumen que f o f −1 es diferenciable . La versión general del teorema , libre de esta suposición adicional, fue propuesta por Michael Spivak en 1965, como un ejercicio de cálculo , [2] y Eric Key publicó una demostración bastante completa siguiendo las mismas líneas en 1994. [3 ] Esta demostración se basa en la definición misma de la integral de Darboux y consiste en mostrar que las sumas de Darboux superiores de la función f están en correspondencia 1-1 con las sumas de Darboux inferiores de f −1 . En 2013, Michael Bensimhoun, estimando que el teorema general aún no se conocía lo suficiente, dio otras dos demostraciones: [4] La segunda demostración, basada en la integral de Stieltjes y en sus fórmulas de integración por partes y de cambio homeomórfico de variables , es la más adecuado para establecer fórmulas más complejas.
Generalización a funciones holomorfas
El teorema anterior se generaliza de forma obvia a las funciones holomórficas: y Ser dos conjuntos abiertos y simplemente conectados de , Y se supone quees un biholomorfismo . Luego y tienen antiderivadas, y si es una antiderivada de , la antiderivada general de es
Debido a que todas las funciones holomórficas son diferenciables, la prueba es inmediata por diferenciación compleja.
Ver también
Referencias
- ^ a b Laisant, C.-A. (1905). "Integración de las funciones inversas". Nouvelles annales de mathématiques, journal des candidats aux écoles polytechnique et normale . 5 (4): 253–257.
- ↑ a b Michael Spivak , Cálculo (1967), cap. 13, págs.235.
- ^ a b c Key, E. (marzo de 1994). "Discos, carcasas e integrales de funciones inversas". The College Mathematics Journal . 25 (2): 136-138. doi : 10.2307 / 2687137 . JSTOR 2687137 .
- ^ a b c Bensimhoun, Michael (2013). "Sobre la antiderivada de funciones inversas". arXiv : 1312.3839 [ matemáticas.HO ].
- ^ Leer en línea
- ^ Parker, FD (junio-julio de 1955). "Integrales de funciones inversas". The American Mathematical Monthly . 62 (6): 439–440. doi : 10.2307 / 2307006 . JSTOR 2307006 .
- ^ Es igualmente posible que algunos o todos ellos simplemente recordaran este resultado en su artículo, sin hacer referencia a autores anteriores.
- Staib, JH (septiembre de 1966). "La integración de funciones inversas". Revista de Matemáticas . 39 (4): 223–224. doi : 10.2307 / 2688087 . JSTOR 2688087 .