En cálculo , y más generalmente en análisis matemático , la integración por partes o la integración parcial es un proceso que encuentra la integral de un producto de funciones en términos de la integral del producto de su derivada y antiderivada . Se utiliza con frecuencia para transformar la antiderivada de un producto de funciones en una antiderivada para la que se puede encontrar más fácilmente una solución. La regla se puede considerar como una versión integral de la regla de diferenciación del producto .
La fórmula de integración por partes establece:
O dejar y tiempo y , la fórmula se puede escribir de forma más compacta:
Esto debe entenderse como una igualdad de funciones con una constante no especificada agregada a cada lado. Tomando la diferencia de cada lado entre dos valores de x = un y x = b y aplicando el teorema fundamental del cálculo da la versión integral definida:
La integral original ∫ uv ′ dx contiene la derivada v ′; para aplicar el teorema, se debe encontrar v , la antiderivada de v ', luego evaluar la integral resultante ∫ vu ′ dx .
Validez para funciones menos suaves
No es necesario que U y V que estar continuamente diferenciable. La integración por partes funciona si u es absolutamente continuo y la función designada v ′ es integrable de Lebesgue (pero no necesariamente continua). [3] (Si v ′ tiene un punto de discontinuidad, entonces su antiderivada v puede no tener una derivada en ese punto).
Si el intervalo de integración no es compacto , entonces no es necesario para u para ser absolutamente continua en todo el intervalo o por v 'sea Lebesgue integrable en el intervalo, como un par de ejemplos (en la que U y V son continuas y continuamente diferenciable) se mostrará. Por ejemplo, si
u no es absolutamente continuo en el intervalo [1, ∞) , pero sin embargo
siempre y cuando se toma para significar el límite de como y siempre que los dos términos del lado derecho sean finitos. Esto solo es cierto si elegimos Del mismo modo, si
v ′ no es integrable de Lebesgue en el intervalo [1, ∞) , pero sin embargo
con la misma interpretación.
También se puede subir fácilmente con ejemplos similares en los que u y v son no continuamente diferenciable.
Además, si es una función de variación acotada en el segmento y es diferenciable en luego
dónde denota la medida con signo correspondiente a la función de variación acotada y funciones son extensiones de a que son respectivamente de variación acotada y diferenciables. [ cita requerida ]
Producto de muchas funciones
Al integrar la regla del producto para tres funciones multiplicadas, u ( x ), v ( x ), w ( x ), se obtiene un resultado similar:
En general, para n factores
lo que lleva a
Visualización
Interpretación gráfica del teorema. La curva representada está parametrizada por la variable t.
Considere una curva paramétrica por ( x , y ) = ( f ( t ), g ( t )). Suponiendo que la curva es localmente uno a uno e integrable , podemos definir
El área de la región azul es
De manera similar, el área de la región roja es
El área total A 1 + A 2 es igual al área del rectángulo más grande, x 2 y 2 , menos el área del más pequeño, x 1 y 1 :
O, en términos de t ,
O, en términos de integrales indefinidas, esto se puede escribir como
Reorganizando:
Por tanto, se puede pensar que la integración por partes deriva el área de la región azul del área de los rectángulos y la de la región roja.
Esta visualización también explica por qué la integración por partes puede ayudar a encontrar la integral de una función inversa f −1 ( x ) cuando se conoce la integral de la función f ( x ). De hecho, las funciones x ( y ) y y ( x ) son inversas, y la integral ∫ x dy se puede calcular como se indicó anteriormente conociendo la integral ∫ y dx . En particular, esto explica el uso de la integración por partes para integrar logaritmos y funciones trigonométricas inversas . De hecho, si es una función diferenciable uno a uno en un intervalo, entonces la integración por partes puede usarse para derivar una fórmula para la integral de en términos de la integral de . Esto se demuestra en el artículo Integral de funciones inversas .
Aplicaciones
Encontrar antiderivadas
La integración por partes es un proceso heurístico más que puramente mecánico para resolver integrales; dada una sola función para integrar, la estrategia típica es separar cuidadosamente esta única función en un producto de dos funciones u ( x ) v ( x ) de modo que la integral residual de la fórmula de integración por partes sea más fácil de evaluar que la función única . El siguiente formulario es útil para ilustrar la mejor estrategia a seguir:
En el lado derecho, u está diferenciado y v está integrado; en consecuencia, es útil elegir u como una función que simplifica cuando se diferencia, o elegir v como una función que simplifica cuando se integra. Como ejemplo simple, considere:
Dado que la derivada de ln ( x ) es1/X, se hace (ln ( x )) parte u ; ya que la antiderivada de 1/x 2 es - 1/X, uno hace 1/x 2dx part dv . La fórmula ahora produce:
La antiderivada de - 1/x 2se puede encontrar con la regla de potencia y es 1/X.
Alternativamente, se puede elegir u y v tal que el producto u '(∫ v dx ) simplifica debido a la cancelación. Por ejemplo, supongamos que uno desea integrar:
Si elegimos U ( x ) = ln (| sen ( x ) |) y v ( x ) = sec 2 x, entonces u diferencia a 1 / moreno x utilizando la regla de la cadena y V integra a Tan x ; entonces la fórmula da:
El integrando se simplifica a 1, por lo que la antiderivada es x . Encontrar una combinación simplificadora suele implicar experimentación.
En algunas aplicaciones, puede que no sea necesario asegurar que la integral producida por la integración por partes tenga una forma simple; por ejemplo, en el análisis numérico , puede ser suficiente que tenga una magnitud pequeña y, por lo tanto, contribuya solo con un pequeño término de error. Algunas otras técnicas especiales se demuestran en los ejemplos siguientes.
Otros dos ejemplos bien conocidos son cuando la integración por partes se aplica a una función expresada como un producto de 1 y ella misma. Esto funciona si se conoce la derivada de la función y también se conoce la integral de esta derivada multiplicada por x .
El primer ejemplo es ∫ ln ( x ) d x . Escribimos esto como:
Se ha propuesto una regla empírica, consistente en elegir como u la función que viene primero en la siguiente lista: [4]
L - funciones logarítmicas : etc.
I - funciones trigonométricas inversas (incluidos los análogos hiperbólicos ): etc.
A - funciones algebraicas : etc.
T - funciones trigonométricas (incluidos los análogos hiperbólicos ): etc.
E - funciones exponenciales : etc.
La función que va a ser dv es la que aparece en último lugar en la lista. La razón es que las funciones más bajas en la lista generalmente tienen antiderivadas más fáciles que las funciones por encima de ellas. La regla a veces se escribe como "DETALLE" donde D significa dv y la parte superior de la lista es la función elegida para ser dv .
Para demostrar la regla LIATE, considere la integral
Siguiendo la regla LIATE, u = x , y dv = cos ( x ) dx , por lo tanto du = dx y v = sin ( x ), lo que hace que la integral se convierta
que es igual a
En general, se trata de elegir u y dv tal que du es más simple que u y dv es fácil de integrar. Si, en cambio, cos ( x ) se eligiera como u , y x dx como dv , tendríamos la integral
lo cual, después de la aplicación recursiva de la fórmula de integración por partes, resultaría claramente en una recursividad infinita y no conduciría a ninguna parte.
Aunque es una regla práctica útil, existen excepciones a la regla LIATE. Una alternativa común es considerar las reglas en el orden "ILATE" en su lugar. Además, en algunos casos, los términos polinomiales deben dividirse de formas no triviales. Por ejemplo, para integrar
uno establecería
así que eso
Luego
Finalmente, esto da como resultado
La integración por partes se usa a menudo como una herramienta para probar teoremas en el análisis matemático .
Producto Wallis
El producto infinito de Wallis para
puede derivarse mediante integración por partes .
Identidad de la función gamma
La función gamma es un ejemplo de una función especial , definida como una integral impropia para. La integración por partes lo ilustra como una extensión de la función factorial:
Desde
Cuándo es un número natural, es decir, , aplicando esta fórmula repetidamente da el factorial :
Uso en análisis armónico
La integración por partes se usa a menudo en el análisis armónico , particularmente el análisis de Fourier , para mostrar que las integrales que oscilan rápidamente con integrandos suficientemente suaves decaen rápidamente . El ejemplo más común de esto es su uso para mostrar que la caída de la transformada de Fourier de la función depende de la suavidad de esa función, como se describe a continuación.
Transformada de Fourier de la derivada
Si f es una función k veces continuamente diferenciable y todas las derivadas hasta el k- ésimo decaen a cero en el infinito, entonces su transformada de Fourier satisface
donde f ( k ) es la k- ésima derivada de f . (La constante exacta de la derecha depende de la convención de la transformada de Fourier utilizada ). Esto se prueba observando que
así que usando la integración por partes en la transformada de Fourier de la derivada obtenemos
Aplicando esto inductivamente se obtiene el resultado para k general . Se puede usar un método similar para encontrar la transformada de Laplace de una derivada de una función.
Decaimiento de la transformada de Fourier
El resultado anterior nos dice acerca de la desintegración de la transformada de Fourier, ya que se sigue que si f y f ( k ) son integrables, entonces
En otras palabras, si f satisface estas condiciones, entonces su transformada de Fourier decae en el infinito al menos tan rápido como 1 / | ξ | k . En particular, si k ≥ 2 entonces la transformada de Fourier es integrable.
La demostración utiliza el hecho, que es inmediato de la definición de la transformada de Fourier , que
Usando la misma idea sobre la igualdad establecida al comienzo de esta subsección, se obtiene
Sumando estas dos desigualdades y luego dividiendo por 1 + | 2 π ξ k | da la desigualdad declarada.
Uso en teoría de operadores
Un uso de la integración por partes en la teoría de operadores es que muestra que −∆ (donde ∆ es el operador de Laplace ) es un operador positivo en L 2 (ver espacio L p ). Si f es suave y con un soporte compacto, entonces, usando la integración por partes, tenemos
Otras aplicaciones
Determinación de las condiciones de contorno en la teoría de Sturm-Liouville
Derivación de la ecuación de Euler-Lagrange en el cálculo de variaciones
Integración repetida por partes
Considerando una segunda derivada de en la integral en el LHS de la fórmula para la integración parcial sugiere una aplicación repetida a la integral en el RHS:
Extender este concepto de integración parcial repetida a derivadas de grado n conduce a
Este concepto puede resultar útil cuando las sucesivas integrales de son fácilmente disponibles (por ejemplo, exponenciales simples o seno y el coseno, como en Laplace o transformadas de Fourier ), y cuando el n º derivado de desaparece (p. ej., como una función polinomial con grado ). La última condición detiene la repetición de la integración parcial, porque la integral RHS desaparece.
En el curso de la repetición anterior de integraciones parciales, las integrales
y y
relacionarse. Esto puede interpretarse como un "desplazamiento" arbitrario de las derivadas entre y dentro del integrando, y también resulta útil (ver la fórmula de Rodrigues ).
Integración tabular por partes
El proceso esencial de la fórmula anterior se puede resumir en una tabla; el método resultante se llama "integración tabular" [5] y apareció en la película Stand and Deliver . [6]
Por ejemplo, considere la integral
y tomar
Comience a enumerar en la columna A la función y sus derivados posteriores hasta llegar a cero. Luego enumere en la columna B la función y sus integrales posteriores hasta que el tamaño de la columna B es el mismo que el de la columna A . El resultado es el siguiente:
# yo
Firmar
A: derivadas u ( i )
B: integrales v ( n - i )
0
+
1
-
2
+
3
-
4
+
El producto de las entradas en la fila i de las columnas A y B junto con el signo respectivo dan las integrales relevantes en el paso i en el curso de la integración repetida por partes. El paso i = 0 produce la integral original. Para obtener el resultado completo en el paso i > 0, la i- ésima integral debe agregarse a todos los productos anteriores ( 0 ≤ j < i ) de la j- ésima entrada de la columna A y la ( j + 1) entrada de la columna B (es decir, , multiplique la 1ª entrada de la columna A por la 2ª entrada de la columna B, la 2ª entrada de la columna A por la 3ª entrada de la columna B, etc. ...) con el j ésimo signo dado . Este proceso se detiene naturalmente cuando el producto, que da como resultado la integral, es cero ( i = 4 en el ejemplo). El resultado completo es el siguiente (con los signos alternos en cada término):
Esto produce
La integración parcial repetida también resulta útil, cuando en el curso de diferenciar e integrar respectivamente las funciones y su producto da como resultado un múltiplo del integrando original. En este caso, la repetición también se puede terminar con este índice i. Esto puede suceder, como era de esperar, con funciones exponenciales y trigonométricas. Como ejemplo, considere
# yo
Firmar
A: derivadas u ( i )
B: integrales v ( n - i )
0
+
1
-
2
+
En este caso el producto de los términos en las columnas A y B con el signo apropiado para el índice i = 2 produce los negativos del integrando original (comparar filas i = 0 y i = 2 ).
Observando que la integral en el RHS puede tener su propia constante de integración , y llevar la integral abstracta al otro lado, da
y finalmente:
donde C = C ′ / 2.
Mayores dimensiones
La integración por partes se puede extender a funciones de varias variables aplicando una versión del teorema fundamental del cálculo a una regla de producto apropiada. Hay varios de estos emparejamientos posibles en cálculo multivariado, que implican una función escalar de valor u y función vectorial (campo vectorial) V . [7]
La regla del producto para la divergencia establece:
Suponer es un subconjunto acotado abierto decon un límite suave a trozos . Integrando sobre con respecto a la forma de volumen estándar , y aplicando el teorema de divergencia , da:
dónde es el vector normal unitario externo al límite, integrado con respecto a su forma de volumen estándar de Riemann . El reordenamiento da:
o en otras palabras
Los requisitos de regularidad del teorema se pueden relajar. Por ejemplo, el límitesolo necesita ser Lipschitz continuo , y las funciones u , v solo necesitan estar en el espacio de Sobolev H 1 (Ω).
La primera identidad de Green
Considere los campos vectoriales continuamente diferenciables y , dónde es el i -ésimo vector base estándar para. Ahora aplique la integración anterior por partes a cada veces el campo vectorial :
Sumar sobre i da una nueva fórmula de integración por partes:
El caso , dónde , se conoce como la primera de las identidades de Green :
Ver también
Integración por partes para la integral Lebesgue-Stieltjes
Integración por partes para semimartingales , involucrando su covariación cuadrática.
Integración por sustitución
Transformación de Legendre
Notas
^ "Brook Taylor" . Historia.MCS.St-Andrews.ac.uk . Consultado el 25 de mayo de 2018 .
^"Brook Taylor" . Stetson.edu . Consultado el 25 de mayo de 2018 .
^"Integración por partes" . Enciclopedia de Matemáticas .
^Kasube, Herbert E. (1983). "Una técnica de integración por partes". The American Mathematical Monthly . 90 (3): 210–211. doi : 10.2307 / 2975556 . JSTOR 2975556 .
^Thomas, GB ; Finney, RL (1988). Cálculo y geometría analítica (7ª ed.). Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-17069-8.
^Horowitz, David (1990). "Integración tabular por partes" (PDF) . The College Mathematics Journal . 21 (4): 307–311. doi : 10.2307 / 2686368 . JSTOR 2686368 .
^Rogers, Robert C. (29 de septiembre de 2011). "El cálculo de varias variables" (PDF) .
Otras lecturas
Louis Brand (10 de octubre de 2013). Cálculo avanzado: una introducción al análisis clásico . Corporación de mensajería. págs. 267–. ISBN 978-0-486-15799-3.
Hoffmann, Laurence D .; Bradley, Gerald L. (2004). Cálculo para los negocios, la economía y las ciencias sociales y de la vida (8ª ed.). págs. 450–464. ISBN 0-07-242432-X.
Willard, Stephen (1976). Cálculo y sus aplicaciones . Boston: Prindle, Weber y Schmidt. págs. 193-214. ISBN 0-87150-203-8.
Washington, Allyn J. (1966). Cálculo técnico con geometría analítica . Lectura: Addison-Wesley. págs. 218–245. ISBN 0-8465-8603-7.
enlaces externos
"Integración por partes" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]