En cálculo integral , la fórmula de Euler para números complejos puede usarse para evaluar integrales que involucran funciones trigonométricas . Usando la fórmula de Euler, cualquier función trigonométrica puede escribirse en términos de funciones exponenciales complejas, a saber y y luego integrado. Esta técnica es a menudo más simple y rápida que el uso de identidades trigonométricas o la integración por partes , y es lo suficientemente poderosa para integrar cualquier expresión racional que involucre funciones trigonométricas. [1]
Primer ejemplo
Considere la integral
El enfoque estándar para esta integral es usar una fórmula de medio ángulo para simplificar el integrando. Podemos usar la identidad de Euler en su lugar:
En este punto, sería posible volver a los números reales usando la fórmula e 2 ix + e −2 ix = 2 cos 2 x . Alternativamente, podemos integrar las exponenciales complejas y no volver a las funciones trigonométricas hasta el final:
Segundo ejemplo
Considere la integral
Esta integral sería extremadamente tediosa de resolver usando identidades trigonométricas, pero usar la identidad de Euler la hace relativamente indolora:
En este punto podemos integrar directamente, o primero podemos cambiar el integrando a 2 cos 6 x - 4 cos 4 x + 2 cos 2 x y continuar desde allí. Cualquiera de los métodos da
Además de la identidad de Euler, puede resultar útil hacer un uso juicioso de las partes reales de expresiones complejas. Por ejemplo, considere la integral
Dado que cos x es la parte real de e ix , sabemos que
La integral de la derecha es fácil de evaluar:
Por lo tanto:
En general, esta técnica puede usarse para evaluar cualquier fracción que involucre funciones trigonométricas. Por ejemplo, considere la integral
Usando la identidad de Euler, esta integral se convierte en
Si ahora hacemos la sustitución , el resultado es la integral de una función racional :
Se puede proceder usando descomposición de fracciones parciales .