Teorema de la intersección

Este artículo trata sobre el teorema de las razones de varios segmentos de línea. Para el caso especial del teorema del ángulo inscrito, consulte el teorema de Thales .

En proporciones de segmentos de línea formados cuando 2 líneas que se cruzan son cortadas por un par de paralelos

El teorema de intercepción , también conocido como el teorema de Thales o teorema de intercepción de Thale o teorema básico proporcionalidad o lado divisor teorema es un importante teorema en geometría elemental sobre las proporciones de los diversos segmentos de línea que se crean si dos de intersección líneas son interceptados por un par de paralelos . Es equivalente al teorema sobre razones en triángulos semejantes . Tradicionalmente se le atribuye al matemático griego Thales . ^[1]

Formulación

Suponga que S es el punto de intersección de dos líneas y A, B son las intersecciones de la primera línea con los dos paralelos, de modo que B está más lejos de S que A, y de manera similar C, D son las intersecciones de la segunda línea con el dos paralelos tales que D está más lejos de S que C.

1. Las proporciones de los dos segmentos en la primera línea es igual a las relaciones de los segmentos de acuerdo en la segunda línea: , ,${\displaystyle |SA|:|AB|=|SC|:|CD|}$${\displaystyle |SB|:|AB|=|SD|:|CD|}$${\displaystyle |SA|:|SB|=|SC|:|SD|}$
2. La razón de los dos segmentos en la misma línea que comienza en S es igual a la razón de los segmentos en los paralelos: ${\displaystyle |SA|:|SB|=|SC|:|SD|=|AC|:|BD|}$
3. Lo contrario del primer enunciado también es cierto, es decir, si las dos líneas que se cruzan son interceptadas por dos líneas arbitrarias y se cumple, entonces las dos líneas que se interceptan son paralelas. Sin embargo, lo contrario de la segunda afirmación no es cierto.${\displaystyle |SA|:|AB|=|SC|:|CD|}$
4. Si usted tiene más de dos líneas que se intersectan en S, entonces la relación de los dos segmentos en un paralelo es igual a la relación de los segmentos de acuerdo en el otro paralelo: ,${\displaystyle |AF|:|BE|=|FC|:|ED|}$${\displaystyle |AF|:|FC|=|BE|:|ED|}$

Un ejemplo para el caso de tres líneas se da en el segundo gráfico a continuación.

El primer teorema de intersección muestra las razones de las secciones de las líneas, el segundo las razones de las secciones de las líneas así como las secciones de los paralelos, finalmente el tercero muestra las razones de las secciones de los paralelos.

Conceptos relacionados

Similitud y triángulos semejantes

Organizar dos triángulos similares, de modo que se pueda aplicar el teorema de la intersección

El teorema de la intersección está estrechamente relacionado con la similitud . Es equivalente al concepto de triángulos semejantes , es decir, se puede utilizar para probar las propiedades de triángulos semejantes y los triángulos semejantes se pueden utilizar para demostrar el teorema de la intersección. Al hacer coincidir ángulos idénticos, siempre puede colocar dos triángulos similares entre sí para obtener la configuración en la que se aplica el teorema de la intersección; ya la inversa, la configuración del teorema de la intersección siempre contiene dos triángulos similares.

Multiplicación escalar en espacios vectoriales

En un espacio vectorial normalizado , los axiomas relacionados con la multiplicación escalar (en particular y ) aseguran que se cumple el teorema de la intersección. Uno tiene${\displaystyle \lambda \cdot ({\vec {a}}+{\vec {b}})=\lambda \cdot {\vec {a}}+\lambda \cdot {\vec {b}}}$${\displaystyle \|\lambda {\vec {a}}\|=|\lambda |\cdot \ \|{\vec {a}}\|}$${\displaystyle {\frac {\|\lambda \cdot {\vec {a}}\|}{\|{\vec {a}}\|}}={\frac {\|\lambda \cdot {\vec {b}}\|}{\|{\vec {b}}\|}}={\frac {\|\lambda \cdot ({\vec {a}}+{\vec {b}})\|}{\|{\vec {a}}+{\vec {b}}\|}}=|\lambda |}$

Aplicaciones

Formulación algebraica de construcciones de regla y compás

Hay tres problemas famosos en geometría elemental que fueron planteados por los griegos en términos de construcciones con compás y regla : ^{[2] [3]}

1. Trisección del ángulo
2. Doblar el cubo
3. Cuadrando el circulo

Pasaron más de 2000 años hasta que finalmente se demostró que los tres eran imposibles con las herramientas dadas en el siglo XIX, utilizando métodos algebraicos que estaban disponibles durante ese período de tiempo. Para reformularlos en términos algebraicos usando extensiones de campo , es necesario hacer coincidir las operaciones de campo con construcciones de compás y regla (ver número construible ). En particular, es importante asegurarse de que para dos segmentos de línea dados, se pueda construir un nuevo segmento de línea de manera que su longitud sea igual al producto de las longitudes de los otros dos. De manera similar, se necesita poder construir, para un segmento de línea de longitud , un nuevo segmento de línea de longitud${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{-1}}$. El teorema de la intersección se puede utilizar para demostrar que en ambos casos tal construcción es posible.

Construcción de un producto

Construcción de una inversa

División de un segmento de línea en una proporción determinada

Para dividir un segmento de línea arbitrario en una razón, dibuje un ángulo arbitrario en A con un cateto. En la otra pierna construya puntos equidistantes, luego dibuje la línea que pasa por el último punto y B y una línea paralela que pasa por el punto m . Esta línea paralela se divide en la proporción deseada. El gráfico de la derecha muestra la partición de un segmento de línea en una proporción. [4]${\displaystyle {\overline {AB}}}$${\displaystyle m:n}$${\displaystyle {\overline {AB}}}$${\displaystyle m+n}$${\displaystyle {\overline {AB}}}$${\displaystyle {\overline {AB}}}$${\displaystyle 5:3}$

Medición y encuesta

Altura de la pirámide de Keops

medir piezas

computación C y D

Según algunas fuentes históricas, el matemático griego Tales aplicó el teorema de la intersección para determinar la altura de la pirámide de Keops . ^[1] La siguiente descripción ilustra el uso del teorema de la intersección para calcular la altura de la pirámide. Sin embargo, no cuenta el trabajo original de Thales, que se perdió.

Tales midió la longitud de la base de la pirámide y la altura de su poste. Luego, a la misma hora del día, midió la longitud de la sombra de la pirámide y la longitud de la sombra del poste. Esto arrojó los siguientes datos:

• altura del poste (A): 1,63 m
• sombra del poste (B): 2 m
• longitud de la base de la pirámide: 230 m
• sombra de la pirámide: 65 m

A partir de esto, calculó

${\displaystyle C=65~{\text{m}}+{\frac {230~{\text{m}}}{2}}=180~{\text{m}}}$

Conociendo A, B y C, ahora podía aplicar el teorema de la intersección para calcular

${\displaystyle D={\frac {C\cdot A}{B}}={\frac {1.63~{\text{m}}\cdot 180~{\text{m}}}{2~{\text{m}}}}=146.7~{\text{m}}}$

Midiendo el ancho de un río

El teorema de la intersección se puede utilizar para determinar una distancia que no se puede medir directamente, como el ancho de un río o un lago, la altura de edificios altos o similar. El gráfico de la derecha ilustra la medición del ancho de un río. Los segmentos , , se miden y se utilizan para calcular la distancia querido .${\displaystyle |CF|}$${\displaystyle |CA|}$${\displaystyle |FE|}$${\displaystyle |AB|={\frac {|AC||FE|}{|FC|}}}$

Líneas paralelas en triángulos y trapezoides

El teorema de la intersección se puede utilizar para demostrar que una determinada construcción produce líneas (segmentos) paralelos.

Si los puntos medios de dos lados de un triángulo están conectados, entonces el segmento de línea resultante es paralelo al tercer lado del triángulo (teorema del punto medio de los triángulos).

Si los puntos medios de los dos lados no paralelos de un trapezoide están conectados, entonces el segmento de línea resultante es paralelo a los otros dos lados del trapezoide.

Prueba

Una demostración elemental del teorema usa triángulos de igual área para derivar los enunciados básicos sobre las razones (reivindicación 1). Las otras afirmaciones siguen luego aplicando la primera afirmación y contradicción. ^[5]

Reclamo 1

Dado que , las altitudes de y son de igual longitud. Como esos triángulos comparten la misma línea de base, sus áreas son idénticas. Así que tenemos y por lo tanto también. Esto produce${\displaystyle CA\parallel BD}$${\displaystyle \triangle CDA}$${\displaystyle \triangle CBA}$${\displaystyle |\triangle CDA|=|\triangle CBA|}$${\displaystyle |\triangle SCB|=|\triangle SDA|}$ ${\displaystyle {\frac {|\triangle SCA|}{|\triangle CDA|}}={\frac {|\triangle SCA|}{|\triangle CBA|}}}$ y ${\displaystyle {\frac {|\triangle SCA|}{|\triangle SDA|}}={\frac {|\triangle SCA|}{|\triangle SCB|}}}$ Reemplazar la fórmula para áreas triangulares ( ) transforma eso en${\displaystyle {\tfrac {{\text{baseline}}\cdot {\text{altitude}}}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {|SC||AF|}{|CD||AF|}}={\frac {|SA||EC|}{|AB||EC|}}}$ y ${\displaystyle {\frac {|SC||AF|}{|SD||AF|}}={\frac {|SA||EC|}{|SB||EC|}}}$ La cancelación de los factores comunes da como resultado: (a) y (b)${\displaystyle \,{\frac {|SC|}{|CD|}}={\frac {|SA|}{|AB|}}}$${\displaystyle \,{\frac {|SC|}{|SD|}}={\frac {|SA|}{|SB|}}}$ Ahora use (b) para reemplazar y en (a):${\displaystyle |SA|}$${\displaystyle |SC|}$${\displaystyle {\frac {\frac {|SA||SD|}{|SB|}}{|CD|}}={\frac {\frac {|SB||SC|}{|SD|}}{|AB|}}}$ Usando (b) nuevamente esto se simplifica a: (c) ${\displaystyle \,{\frac {|SD|}{|CD|}}={\frac {|SB|}{|AB|}}}$${\displaystyle \,\square }$

Reclamación 2

Dibuje un paralelo adicional a través de A. Este paralelo se interseca en G. Entonces uno tiene y debido a la reivindicación 1 y por lo tanto${\displaystyle SD}$${\displaystyle BD}$${\displaystyle |AC|=|DG|}$${\displaystyle {\frac {|SA|}{|SB|}}={\frac {|DG|}{|BD|}}}$${\displaystyle {\frac {|SA|}{|SB|}}={\frac {|AC|}{|BD|}}}$ ${\displaystyle \square }$

Reclamación 3

Supongamos y no son paralelos. A continuación, la línea paralela a través de intersecta en . Dado que es cierto, tenemos y por otro lado de la reivindicación 1 tenemos . Entonces y están en el mismo lado y tienen la misma distancia a , lo que significa . Esto es una contradicción, por lo que la suposición podría no haber sido cierta, lo que significa y de hecho son paralelos${\displaystyle AC}$${\displaystyle BD}$${\displaystyle AC}$${\displaystyle D}$${\displaystyle SA}$${\displaystyle B_{0}\neq B}$${\displaystyle |SB|:|SA|=|SD|:|SC|}$ ${\displaystyle |SB|={\frac {|SD||SA|}{|SC|}}}$ ${\displaystyle |SB_{0}|={\frac {|SD||SA|}{|SC|}}}$ ${\displaystyle B}$${\displaystyle B_{0}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle B=B_{0}}$${\displaystyle AC}$${\displaystyle BD}$${\displaystyle \square }$

Reclamación 4

La reivindicación 4 se puede mostrar aplicando el teorema de la intersección para dos líneas.

Notas

1. No se ha conservado ninguna obra original de Tales. Todas las fuentes históricas que le atribuyen el teorema de la intercepción o el conocimiento relacionado fueron escritas siglos después de su muerte. Diógenes Laercio y Plinio dan una descripción que estrictamente hablando no requiere el teorema de la intersección, sino que puede basarse en una simple observación, a saber, que en un determinado momento del día la longitud de la sombra de un objeto coincidirá con su altura. Laercio cita una declaración del filósofo Jerónimo (siglo III a. C.) sobre Tales: " Jerónimo dice que [Tales] midió la altura de las pirámides por la sombra que proyectaban, tomando la observación en la hora en que nuestra sombra tiene la misma longitud que nosotros mismos (es decir, como nuestra propia altura).Plinio escribe: “ Tales descubrió cómo obtener la altura de las pirámides y todos los demás objetos similares, es decir, midiendo la sombra del objeto en el momento en que un cuerpo y su sombra tienen la misma longitud. ". Sin embargo, Plutarco da una explicación, que puede sugerir que Tales conozca el teorema de intercepción o al menos un caso especial de él:" ... sin problemas ni la ayuda de ningún instrumento [él] simplemente colocó un palo en el extremo de la sombra proyectada por la pirámide y, habiendo hecho así dos triángulos por la intersección de los rayos del sol, ... demostró que la pirámide tiene al palo la misma proporción que la sombra [de la pirámide] a la sombra [del palo] ". (Fuente: biografía de Thales del MacTutor, las obras originales (traducidas) de Plutarco y Laercio son: Moralia, La cena de los siete sabios , 147A y Vidas de eminentes filósofos , Capítulo 1. Tales, párrafo 27 )
2. Kazarinoff, Nicholas D. (2003) [1970], Ruler and the Round , Dover, p. 3, ISBN 0-486-42515-0
3. Kunz, Ernst (1991). Álgebra (en alemán). Vieweg. págs. 5-7. ISBN 3-528-07243-1.
4. Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012). Geometría por su historia . Saltador. . pp  7 . ISBN 978-3-642-29163-0.( copia en línea , p. 7, en Google Books )
5. Schupp, H. (1977). Elementargeometrie (en alemán). UTB Schöningh. págs. 124-126. ISBN 3-506-99189-2.

Referencias

• Schupp, H. (1977). Elementargeometrie (en alemán). UTB Schöningh. págs. 124-126. ISBN 3-506-99189-2.
• Leppig, Manfred (1981). Lernstufen Mathematik (en alemán). Girardet. págs. 157-170. ISBN 3-7736-2005-5.
• Agricola, Ilka ; Friedrich, Thomas (2008). Geometría elemental . AMS. págs. 10-13, 16-18. ISBN 0-8218-4347-8.( copia en línea , p. 10, en Google Books )
• Stillwell, John (2005). Los cuatro pilares de la geometría . Saltador. pag. 34 . ISBN 978-0-387-25530-9.( copia en línea , p. 34, en Google Books )
• Ostermann, Alexander; Wanner, Gerhard (2012). Geometría por su historia . Saltador. págs.  3 –7. ISBN 978-3-642-29163-0.( copia en línea , p. 3, en Google Books )

Enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con el teorema de intercepción .

• Teorema de intercepción en PlanetMath
• Alexander Bogomolny: Teoremas de Thales y, en particular , Teorema de Thales en Cortar el nudo