Una interpretación es una asignación de significado a los símbolos de un lenguaje formal . Muchos lenguajes formales utilizados en matemáticas , lógica e informática teórica se definen únicamente en términos sintácticos y, como tales, no tienen ningún significado hasta que se les da alguna interpretación. El estudio general de las interpretaciones de lenguajes formales se denomina semántica formal .
Las lógicas formales más comúnmente estudiadas son la lógica proposicional , la lógica de predicados y sus análogos modales , y para estas existen formas estándar de presentar una interpretación. En estos contextos, una interpretación es una función que proporciona la extensión de símbolos y cadenas de símbolos de un lenguaje objeto. Por ejemplo, una función de interpretación podría tomar el predicado T (para "alto") y asignarle la extensión { a } (para "Abraham Lincoln"). Tenga en cuenta que lo único que hace nuestra interpretación es asignar la extensión {a} a la constante no lógica T , y no afirma si Tes representar alto y 'a' para Abraham Lincoln. La interpretación lógica tampoco tiene nada que decir acerca de los conectivos lógicos como "y", "o" y "no". Aunque podemos considerar que estos símbolos representan ciertas cosas o conceptos, esto no está determinado por la función de interpretación.
Una interpretación a menudo (pero no siempre) proporciona una forma de determinar los valores de verdad de las oraciones en un idioma. Si una interpretación dada asigna el valor Verdadero a una oración o teoría , la interpretación se denomina modelo de esa oración o teoría.
Lenguajes formales
Un lenguaje formal consiste en un conjunto posiblemente infinito de oraciones (llamadas de diversas formas, palabras o fórmulas ) construidas a partir de un conjunto fijo de letras o símbolos . El inventario del que se toman estas letras se denomina alfabeto sobre el que se define el idioma. Para distinguir las cadenas de símbolos que se encuentran en un lenguaje formal de las cadenas arbitrarias de símbolos, las primeras a veces se denominan fórmulas bien formadas (wff). La característica esencial de un lenguaje formal es que su sintaxis se puede definir sin referencia a la interpretación. Por ejemplo, podemos determinar que ( P o Q ) es una fórmula bien formada incluso sin saber si es verdadera o falsa.
Ejemplo
Un lenguaje formal se puede definir con el alfabeto , y con una palabra en si comienza con y está compuesto únicamente por los símbolos y .
Una posible interpretación de podría asignar el dígito decimal '1' a y '0' a . Luego denotaría 101 bajo esta interpretación de .
Constantes lógicas
En los casos específicos de lógica proposicional y lógica de predicados, los lenguajes formales considerados tienen alfabetos que se dividen en dos conjuntos: los símbolos lógicos ( constantes lógicas ) y los símbolos no lógicos. La idea detrás de esta terminología es que los símbolos lógicos tienen el mismo significado independientemente del tema que se esté estudiando, mientras que los símbolos no lógicos cambian de significado según el área de investigación.
Las constantes lógicas siempre reciben el mismo significado en todas las interpretaciones del tipo estándar, de modo que solo se cambian los significados de los símbolos no lógicos. Las constantes lógicas incluyen símbolos cuantificadores ∀ ("todos") y ∃ ("algunos"), símbolos para conectivos lógicos ∧ ("y"), ∨ ("o"), ¬ ("no"), paréntesis y otros símbolos de agrupación, y (en muchos tratamientos) el símbolo de igualdad =.
Propiedades generales de las interpretaciones funcionales de la verdad
Muchas de las interpretaciones comúnmente estudiadas asocian cada oración en un lenguaje formal con un solo valor de verdad, Verdadero o Falso. Estas interpretaciones se denominan verdad funcional ; [ dudoso ] incluyen las interpretaciones habituales de la lógica proposicional y de primer orden. Se dice que las oraciones que se vuelven verdaderas mediante una asignación en particular se satisfacen con esa asignación.
En la lógica clásica , ninguna oración puede ser tanto verdadera como falsa mediante la misma interpretación, aunque esto no es cierto para las lógicas de saturación como LP. [1] Incluso en la lógica clásica, sin embargo, es posible que el valor de verdad de la misma oración pueda ser diferente bajo diferentes interpretaciones. Una oración es consistente si es verdadera bajo al menos una interpretación; de lo contrario, es inconsistente . Se dice que una oración φ es lógicamente válida si se satisface con todas las interpretaciones (si satisfied se satisface con todas las interpretaciones que satisfacen ψ, entonces se dice que φ es una consecuencia lógica de ψ).
Conectivos lógicos
Algunos de los símbolos lógicos de un lenguaje (distintos de los cuantificadores) son conectivos de función de verdad que representan funciones de verdad: funciones que toman valores de verdad como argumentos y devuelven valores de verdad como salidas (en otras palabras, estas son operaciones sobre valores de verdad de oraciones) .
Los conectivos de función de verdad permiten construir oraciones compuestas a partir de oraciones más simples. De esta manera, el valor de verdad de la oración compuesta se define como una cierta función de verdad de los valores de verdad de las oraciones más simples. Las conectivas generalmente se toman como constantes lógicas , lo que significa que el significado de las conectivas es siempre el mismo, independientemente de las interpretaciones que se den a los otros símbolos en una fórmula.
Así es como definimos los conectivos lógicos en la lógica proposicional:
- ¬Φ es Verdadero si es Falso.
- (Φ ∧ Ψ) es Verdadero si es Verdadero y Ψ es Verdadero.
- (Φ ∨ Ψ) es Verdadero si es Verdadero o Ψ es Verdadero (o ambos son Verdaderos).
- (Φ → Ψ) es Verdadero sif ¬Φ es Verdadero o Ψ es Verdadero (o ambos son Verdaderos).
- (Φ ↔ Ψ) es Verdadero sif (Φ → Ψ) es Verdadero y (Ψ → Φ) es Verdadero.
Entonces, bajo una interpretación dada de todas las letras de la oración Φ y Ψ (es decir, después de asignar un valor de verdad a cada letra de la oración), podemos determinar los valores de verdad de todas las fórmulas que las tienen como constituyentes, como una función de la lógica conectivos. La siguiente tabla muestra cómo se ve este tipo de cosas. Las dos primeras columnas muestran los valores de verdad de las letras de las oraciones según lo determinado por las cuatro posibles interpretaciones. Las otras columnas muestran los valores de verdad de fórmulas construidas a partir de estas letras de oraciones, con valores de verdad determinados de forma recursiva.
Interpretación | Φ | Ψ | ¬Φ | (Φ ∧ Ψ) | (Φ ∨ Ψ) | (Φ → Ψ) | (Φ ↔ Ψ) |
---|---|---|---|---|---|---|---|
# 1 | T | T | F | T | T | T | T |
# 2 | T | F | F | F | T | F | F |
# 3 | F | T | T | F | T | T | F |
# 4 | F | F | T | F | F | T | T |
Ahora es más fácil ver qué hace que una fórmula sea lógicamente válida. Tome la fórmula F : (Φ ∨ ¬Φ). Si nuestra función de interpretación hace que Φ sea Verdadero, entonces ¬Φ se convierte en Falso por la negación conectiva. Dado que el disyunto Φ de F es Verdadero bajo esa interpretación, F es Verdadero. Ahora, la única otra interpretación posible de Φ lo convierte en Falso, y si es así, ¬Φ se convierte en Verdadero mediante la función de negación. Eso haría que F sea Verdadero nuevamente, ya que uno de los disyuntos de F , ¬Φ, sería verdadero bajo esta interpretación. Dado que estas dos interpretaciones para F son las únicas interpretaciones lógicas posibles, y dado que F resulta Verdadero para ambas, decimos que es lógicamente válida o tautóloga.
Interpretación de una teoría
Una interpretación de una teoría es la relación entre una teoría y algún tema cuando hay una correspondencia de varios a uno entre ciertos enunciados elementales de la teoría y ciertos enunciados relacionados con el tema. Si cada enunciado elemental de la teoría tiene un corresponsal, se denomina interpretación completa ; de lo contrario, se denomina interpretación parcial . [2]
Interpretaciones para la lógica proposicional
El lenguaje formal para la lógica proposicional consiste en fórmulas construidas a partir de símbolos proposicionales (también llamados símbolos proposicionales, variables proposicionales y variables proposicionales) y conectivos lógicos. Los únicos símbolos no lógicos en un lenguaje formal para la lógica proposicional son los símbolos proposicionales, que a menudo se indican con letras mayúsculas. Para precisar el lenguaje formal, se debe fijar un conjunto específico de símbolos proposicionales.
El tipo estándar de interpretación en este escenario es una función que asigna cada símbolo proposicional a uno de los valores de verdad verdadero y falso. Esta función se conoce como función de valoración o asignación de verdad . En muchas presentaciones, se asigna literalmente un valor de verdad, pero algunas presentaciones asignan portadores de la verdad en su lugar.
Para un lenguaje con n variables proposicionales distintas, hay 2 n posibles interpretaciones distintas. Para cualquier variable en particular una , por ejemplo, hay 2 1 = 2 interpretaciones posibles: 1) una se le asigna T , o 2) una se le asigna F . Para el par un , b hay 2 2 = 4 interpretaciones posibles: 1) ambos se asignan T , 2) ambos son asignados F , 3) una se le asigna T y b se asigna F , o 4) una se le asigna F y b se asigna T .
Dada cualquier asignación de verdad para un conjunto de símbolos proposicionales, existe una extensión única para la interpretación de todas las fórmulas proposicionales construidas a partir de esas variables. Esta interpretación extendida se define inductivamente, usando las definiciones de tabla de verdad de los conectivos lógicos discutidos anteriormente.
Lógica de primer orden
A diferencia de la lógica proposicional, donde todos los lenguajes son iguales aparte de la elección de un conjunto diferente de variables proposicionales, existen muchos lenguajes de primer orden diferentes. Cada idioma de primer orden está definido por una firma . La firma consta de un conjunto de símbolos no lógicos y una identificación de cada uno de estos símbolos como un símbolo constante, un símbolo de función o un símbolo de predicado . En el caso de los símbolos de función y predicado, también se asigna una aridad de número natural . El alfabeto para el lenguaje formal consta de constantes lógicas, el símbolo de relación de igualdad =, todos los símbolos de la firma y un conjunto infinito adicional de símbolos conocidos como variables.
Por ejemplo, en el lenguaje de los anillos , hay símbolos constantes 0 y 1, dos símbolos de función binaria + y ·, y ningún símbolo de relación binaria. (Aquí la relación de igualdad se toma como una constante lógica).
Una vez más, podríamos definir un lenguaje L de primer orden , como que consta de símbolos individuales a, byc; símbolos de predicado F, G, H, I y J; variables x, y, z; sin letras de función; sin símbolos oracionales.
Lenguajes formales para lógica de primer orden
Dada una firma σ, el lenguaje formal correspondiente se conoce como el conjunto de fórmulas σ. Cada fórmula σ se construye a partir de fórmulas atómicas mediante conectivas lógicas; Las fórmulas atómicas se construyen a partir de términos que utilizan símbolos de predicado. La definición formal del conjunto de fórmulas σ procede en la otra dirección: primero, los términos se ensamblan a partir de los símbolos de constante y función junto con las variables. Luego, los términos se pueden combinar en una fórmula atómica usando un símbolo de predicado (símbolo de relación) de la firma o el símbolo de predicado especial "=" para la igualdad (consulte la sección " Interpretación de la igualdad" a continuación). Finalmente, las fórmulas del lenguaje se ensamblan a partir de fórmulas atómicas utilizando los cuantificadores y conectivos lógicos.
Interpretaciones de un idioma de primer orden
Para atribuir significado a todas las oraciones de un idioma de primer orden, se necesita la siguiente información.
- Un dominio del discurso [3] D , normalmente se requiere que no esté vacío (ver más abajo).
- Para cada símbolo constante, un elemento de D como su interpretación.
- Para cada símbolo de función n -aria, una función n -aria de D a D como su interpretación (es decir, una función D n → D ).
- Para cada símbolo de predicado n -ario, una relación n -aria en D como su interpretación (es decir, un subconjunto de D n ).
Un objeto que lleva esta información se conoce como estructura (de la firma σ), o estructura σ, o estructura L (del lenguaje L), o como "modelo".
La información especificada en la interpretación proporciona suficiente información para dar un valor de verdad a cualquier fórmula atómica, después de que cada una de sus variables libres , si las hubiera, haya sido reemplazada por un elemento del dominio. El valor de verdad de una oración arbitraria se define entonces inductivamente utilizando el esquema T , que es una definición de semántica de primer orden desarrollada por Alfred Tarski. El esquema T interpreta las conectivas lógicas usando tablas de verdad, como se discutió anteriormente. Así, por ejemplo, φ & ψ se satisface si y solo si se satisfacen tanto φ como ψ.
Esto deja el problema de cómo interpretar fórmulas de la forma ∀ x φ ( x ) y ∃ x φ ( x ) . El dominio del discurso forma el rango de estos cuantificadores. La idea es que la oración ∀ x φ ( x ) es verdadera bajo una interpretación exactamente cuando se satisface cada instancia de sustitución de φ ( x ), donde x se reemplaza por algún elemento del dominio. La fórmula ∃ x φ ( x ) se satisface si hay al menos un elemento d del dominio tal que φ ( d ) se satisface.
Estrictamente hablando, una instancia de sustitución como la fórmula φ ( d ) mencionada anteriormente no es una fórmula en el lenguaje formal original de φ, porque d es un elemento del dominio. Hay dos formas de manejar este problema técnico. La primera es pasar a un lenguaje más amplio en el que cada elemento del dominio se nombra mediante un símbolo constante. El segundo es agregar a la interpretación una función que asigne cada variable a un elemento del dominio. Entonces, el esquema T puede cuantificar las variaciones de la interpretación original en la que se cambia esta función de asignación de variable, en lugar de cuantificar las instancias de sustitución.
Algunos autores también admiten variables proposicionales en lógica de primer orden, que luego también deben ser interpretadas. Una variable proposicional puede sostenerse por sí sola como fórmula atómica. La interpretación de una variable proposicional es uno de los dos valores de verdad verdadero y falso. [4]
Debido a que las interpretaciones de primer orden descritas aquí están definidas en la teoría de conjuntos, no asocian cada símbolo de predicado con una propiedad [5] (o relación), sino más bien con la extensión de esa propiedad (o relación). En otras palabras, estas interpretaciones de primer orden son extensionales [6] no intensionales .
Ejemplo de interpretación de primer orden
Un ejemplo de interpretación del lenguaje L descrito anteriormente es el siguiente.
- Dominio: un juego de ajedrez
- Constantes individuales: a: el rey blanco b: la reina negra c: el peón del rey blanco
- F (x): x es una pieza
- G (x): x es un peón
- H (x): x es negro
- I (x): x es blanco
- J (x, y): x puede capturar y
En la interpretación de L:
- las siguientes son oraciones verdaderas: F (a), G (c), H (b), I (a) J (b, c),
- las siguientes son oraciones falsas: J (a, c), G (a).
Requisito de dominio no vacío
Como se indicó anteriormente, generalmente se requiere una interpretación de primer orden para especificar un conjunto no vacío como el dominio del discurso. El motivo de este requisito es garantizar que equivalencias como
- ,
where x is not a free variable of φ, are logically valid. This equivalence holds in every interpretation with a nonempty domain, but does not always hold when empty domains are permitted. For example, the equivalence
fails in any structure with an empty domain. Thus the proof theory of first-order logic becomes more complicated when empty structures are permitted. However, the gain in allowing them is negligible, as both the intended interpretations and the interesting interpretations of the theories people study have non-empty domains.[7][8]
Empty relations do not cause any problem for first-order interpretations, because there is no similar notion of passing a relation symbol across a logical connective, enlarging its scope in the process. Thus it is acceptable for relation symbols to be interpreted as being identically false. However, the interpretation of a function symbol must always assign a well-defined and total function to the symbol.
Interpreting equality
The equality relation is often treated specially in first order logic and other predicate logics. There are two general approaches.
The first approach is to treat equality as no different than any other binary relation. In this case, if an equality symbol is included in the signature, it is usually necessary to add various axioms about equality to axiom systems (for example, the substitution axiom saying that if a = b and R(a) holds then R(b) holds as well). This approach to equality is most useful when studying signatures that do not include the equality relation, such as the signature for set theory or the signature for second-order arithmetic in which there is only an equality relation for numbers, but not an equality relation for set of numbers.
The second approach is to treat the equality relation symbol as a logical constant that must be interpreted by the real equality relation in any interpretation. An interpretation that interprets equality this way is known as a normal model, so this second approach is the same as only studying interpretations that happen to be normal models. The advantage of this approach is that the axioms related to equality are automatically satisfied by every normal model, and so they do not need to be explicitly included in first-order theories when equality is treated this way. This second approach is sometimes called first order logic with equality, but many authors adopt it for the general study of first-order logic without comment.
There are a few other reasons to restrict study of first-order logic to normal models. First, it is known that any first-order interpretation in which equality is interpreted by an equivalence relation and satisfies the substitution axioms for equality can be cut down to an elementarily equivalent interpretation on a subset of the original domain. Thus there is little additional generality in studying non-normal models. Second, if non-normal models are considered, then every consistent theory has an infinite model; this affects the statements of results such as the Löwenheim–Skolem theorem, which are usually stated under the assumption that only normal models are considered.
Many-sorted first-order logic
A generalization of first order logic considers languages with more than one sort of variables. The idea is different sorts of variables represent different types of objects. Every sort of variable can be quantified; thus an interpretation for a many-sorted language has a separate domain for each of the sorts of variables to range over (there is an infinite collection of variables of each of the different sorts). Function and relation symbols, in addition to having arities, are specified so that each of their arguments must come from a certain sort.
One example of many-sorted logic is for planar Euclidean geometry. There are two sorts; points and lines. There is an equality relation symbol for points, an equality relation symbol for lines, and a binary incidence relation E which takes one point variable and one line variable. The intended interpretation of this language has the point variables range over all points on the Euclidean plane, the line variable range over all lines on the plane, and the incidence relation E(p,l) holds if and only if point p is on line l.
Lógicas de predicado de orden superior
A formal language for higher-order predicate logic looks much the same as a formal language for first-order logic. The difference is that there are now many different types of variables. Some variables correspond to elements of the domain, as in first-order logic. Other variables correspond to objects of higher type: subsets of the domain, functions from the domain, functions that take a subset of the domain and return a function from the domain to subsets of the domain, etc. All of these types of variables can be quantified.
There are two kinds of interpretations commonly employed for higher-order logic. Full semantics require that, once the domain of discourse is satisfied, the higher-order variables range over all possible elements of the correct type (all subsets of the domain, all functions from the domain to itself, etc.). Thus the specification of a full interpretation is the same as the specification of a first-order interpretation. Henkin semantics, which are essentially multi-sorted first-order semantics, require the interpretation to specify a separate domain for each type of higher-order variable to range over. Thus an interpretation in Henkin semantics includes a domain D, a collection of subsets of D, a collection of functions from D to D, etc. The relationship between these two semantics is an important topic in higher order logic.
Interpretaciones no clásicas
The interpretations of propositional logic and predicate logic described above are not the only possible interpretations. In particular, there are other types of interpretations that are used in the study of non-classical logic (such as intuitionistic logic), and in the study of modal logic.
Interpretations used to study non-classical logic include topological models, Boolean-valued models, and Kripke models. Modal logic is also studied using Kripke models.
Interpretaciones previstas
Many formal languages are associated with a particular interpretation that is used to motivate them. For example, the first-order signature for set theory includes only one binary relation, ∈, which is intended to represent set membership, and the domain of discourse in a first-order theory of the natural numbers is intended to be the set of natural numbers.
The intended interpretation is called the standard model (a term introduced by Abraham Robinson in 1960).[9] In the context of Peano arithmetic, it consists of the natural numbers with their ordinary arithmetical operations. All models that are isomorphic to the one just given are also called standard; these models all satisfy the Peano axioms. There are also non-standard models of the (first-order version of the) Peano axioms, which contain elements not correlated with any natural number.
While the intended interpretation can have no explicit indication in the strictly formal syntactical rules, it naturally affects the choice of the formation and transformation rules of the syntactical system. For example, primitive signs must permit expression of the concepts to be modeled; sentential formulas are chosen so that their counterparts in the intended interpretation are meaningful declarative sentences; primitive sentences need to come out as true sentences in the interpretation; rules of inference must be such that, if the sentence is directly derivable from a sentence , then turns out to be a true sentence, with meaning implication, as usual. These requirements ensure that all provable sentences also come out to be true.[10]
Most formal systems have many more models than they were intended to have (the existence of non-standard models is an example). When we speak about 'models' in empirical sciences, we mean, if we want reality to be a model of our science, to speak about an intended model. A model in the empirical sciences is an intended factually-true descriptive interpretation (or in other contexts: a non-intended arbitrary interpretation used to clarify such an intended factually-true descriptive interpretation.) All models are interpretations that have the same domain of discourse as the intended one, but other assignments for non-logical constants.[11][page needed]
Example
Given a simple formal system (we shall call this one ) whose alphabet α consists only of three symbols and whose formation rule for formulas is:
- 'Any string of symbols of which is at least 6 symbols long, and which is not infinitely long, is a formula of . Nothing else is a formula of .'
The single axiom schema of is:
- " " (where " " is a metasyntactic variable standing for a finite string of " "s )
A formal proof can be constructed as follows:
In this example the theorem produced " " can be interpreted as meaning "One plus three equals four." A different interpretation would be to read it backwards as "Four minus three equals one."[12][page needed]
Otros conceptos de interpretación
There are other uses of the term "interpretation" that are commonly used, which do not refer to the assignment of meanings to formal languages.
In model theory, a structure A is said to interpret a structure B if there is a definable subset D of A, and definable relations and functions on D, such that B is isomorphic to the structure with domain D and these functions and relations. In some settings, it is not the domain D that is used, but rather D modulo an equivalence relation definable in A. For additional information, see Interpretation (model theory).
A theory T is said to interpret another theory S if there is a finite extension by definitions T′ of T such that S is contained in T′.
Ver también
- Free variables and Name binding
- Herbrand interpretation
- Interpretation (model theory)
- Logical system
- Löwenheim–Skolem theorem
- Modal logic
- Conceptual model
- Model theory
- Satisfiable
- Truth
Referencias
- ^ Priest, Graham, 2008. An Introduction to Non-Classical Logic: from If to Is, 2nd ed. Cambridge University Press.
- ^ Haskell Curry (1963). Foundations of Mathematical Logic. Mcgraw Hill. Here: p.48
- ^ Sometimes called the "universe of discourse"
- ^ Mates, Benson (1972), Elementary Logic, Second Edition, New York: Oxford University Press, pp. 56, ISBN 0-19-501491-X
- ^ The extension of a property (also called an attribute) is a set of individuals, so a property is a unary relation. E.g. The properties "yellow" and "prime" are unary relations.
- ^ see also Extension (predicate logic)
- ^ Hailperin, Theodore (1953), "Quantification theory and empty individual-domains", The Journal of Symbolic Logic, Association for Symbolic Logic, 18 (3): 197–200, doi:10.2307/2267402, JSTOR 2267402, MR 0057820
- ^ Quine, W. V. (1954), "Quantification and the empty domain", The Journal of Symbolic Logic, Association for Symbolic Logic, 19 (3): 177–179, doi:10.2307/2268615, JSTOR 2268615, MR 0064715
- ^ Roland Müller (2009). "The Notion of a Model". In Anthonie Meijers (ed.). Philosophy of technology and engineering sciences. Handbook of the Philosophy of Science. 9. Elsevier. ISBN 978-0-444-51667-1.
- ^ Rudolf Carnap (1958). Introduction to Symbolic Logic and its Applications. New York: Dover publications. ISBN 9780486604534.
- ^ Hans Freudenthal, ed. (Jan 1960). The Concept and the Role of the Model in Mathematics and Natural and Social Sciences (Colloquium proceedings). Springer. ISBN 978-94-010-3669-6.
- ^ Geoffrey Hunter (1992). Metalogic: An Introduction to the Metatheory of Standard First Order Logic. University of California Press.
enlaces externos
- Stanford Enc. Phil: Classical Logic, 4. Semantics
- mathworld.wolfram.com: FormalLanguage
- mathworld.wolfram.com: Connective
- mathworld.wolfram.com: Interpretation
- mathworld.wolfram.com: Propositional Calculus
- mathworld.wolfram.com: First Order Logic