Intersección (teoría de conjuntos)

Concepto en matemáticas específico del campo de la teoría de conjuntos

Para obtener una cobertura más amplia de este tema, consulte Intersección (matemáticas) .

Se ha sugerido que Intersection se fusione en este artículo. ( Discutir ) Propuesta desde enero de 2021.

La intersección de dos conjuntos y , representada por círculos. está en rojo.${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\cap B}$

En matemáticas , la intersección de dos conjuntos A y B , denotado por A ∩ B , ^{[1] [2]} es el conjunto que contiene todos los elementos de A que también pertenecen a B (o equivalentemente, todos los elementos de B que también pertenecen a A ). ^[3]

Notación y terminología

La intersección se escribe usando el signo "∩" entre los términos; es decir, en notación infija . Por ejemplo,

${\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{2,3,4\}=\{2,3\}}$

${\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{4,5,6\}=\emptyset }$

${\displaystyle \mathbb {Z} \cap \mathbb {N} =\mathbb {N} }$

${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x^{2}=1\}\cap \mathbb {N} =\{1\}}$

La intersección de más de dos conjuntos (intersección generalizada) se puede escribir como ^[1]

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}}$

que es similar a la notación capital-sigma .

Para obtener una explicación de los símbolos utilizados en este artículo, consulte la tabla de símbolos matemáticos .

Definición

Intersección de tres conjuntos:
${\displaystyle ~A\cap B\cap C}$

Intersecciones del alfabeto griego , latino y ruso , considerando solo las formas de las letras e ignorando su pronunciación

Ejemplo de intersección con conjuntos

La intersección de dos conjuntos A y B , denotado por A ∩ B , ^{[1] [4]} es el conjunto de todos los objetos que son miembros tanto de los conjuntos A y B . En símbolos,

${\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A{\text{ and }}x\in B\}.}$

Es decir, x es un elemento de la intersección A ∩ B , si y sólo si x es a la vez un elemento de A y un elemento de B . ^[4]

Por ejemplo:

• La intersección de los conjuntos {1, 2, 3} y {2, 3, 4} es {2, 3}.
• El número 9 no está en la intersección del conjunto de números primos {2, 3, 5, 7, 11, ...} y el conjunto de números impares {1, 3, 5, 7, 9, 11, .. .}, porque 9 no es primo.

La intersección es una operación asociativa ; Es decir, para cualquier conjunto A , B , y C , se tiene A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C . La intersección también es conmutativa ; para cualquier A y B , uno tiene A ∩ B  = B ∩ A. Por lo tanto, tiene sentido hablar de intersecciones de conjuntos múltiples. La intersección de A , B , C y D, Por ejemplo, es inequívocamente escrito A ∩ B ∩ C ∩ D .

Dentro de un universo U , se puede definir el complemento A ^c de A a ser el conjunto de todos los elementos de U no en A . Además, la intersección de A y B puede escribirse como el complemento de la unión de sus complementos, derivada fácilmente de las leyes de De Morgan :
A ∩ B = ( A ^c ∪ B ^c ) ^c

Conjuntos intersectantes y disjuntos

Decimos que se junta con una (cumple) B a un elemento x si x pertenece a A y B . Decimos que A se cruza (se encuentra con) B si A se cruza con B en algún elemento. A se cruza con B si su intersección está habitada .

Decimos que A y B son disjuntos si A no lo hace se cruzan B . En lenguaje sencillo, no tienen elementos en común. A y B son disjuntos si su intersección está vacía , denotado .${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$

Por ejemplo, los conjuntos {1, 2} y {3, 4} son disjuntos, mientras que el conjunto de números pares interseca el conjunto de múltiplos de 3 en los múltiplos de 6.

Intersecciones arbitrarias

La noción más general es la intersección de una colección arbitraria de conjuntos no vacíos . Si M es un no vacío conjunto cuyos elementos son en sí mismos establece, entonces x es un elemento de la intersección de M si y sólo si para cada elemento A de M , x es un elemento de A . En símbolos:

${\displaystyle \left(x\in \bigcap _{A\in M}A\right)\Leftrightarrow \left(\forall A\in M,\ x\in A\right).}$

La notación de este último concepto puede variar considerablemente. Los teóricos de conjuntos a veces escribirán "⋂ M ", mientras que otros escribirán "⋂ _{A ∈ M}  A ". La última notación se puede generalizar a "⋂ _{i ∈ I}  A _i ", que se refiere a la intersección de la colección { A _i  : i  ∈  I }. Aquí me es un conjunto no vacío, y A _i es un conjunto para cada i en I .

En el caso de que el conjunto de índices I sea ​​el conjunto de números naturales , se puede ver una notación análoga a la de un producto infinito :

${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}.}$

Cuando el formateo es difícil, también se puede escribir " A ₁  ∩ A ₂  ∩ A ₃  ∩ ...". Este último ejemplo, una intersección de innumerables conjuntos, es en realidad muy común; para un ejemplo, vea el artículo sobre σ-álgebras .

Intersección nular

Conjunciones de los argumentos entre paréntesis

La conjunción de ningún argumento es la tautología (compárese: producto vacío ); en consecuencia, la intersección de ningún conjunto es el universo .

Tenga en cuenta que en la sección anterior, excluimos el caso donde M era el conjunto vacío (∅). La razón es la siguiente: la intersección de la colección M se define como el conjunto (ver la notación del constructor de conjuntos )

${\displaystyle \bigcap _{A\in M}A=\{x:\forall A\in M,x\in A\}.}$

Si M está vacío, no hay conjuntos A en M , por lo que la pregunta es "¿cuáles x satisfacen la condición establecida?" La respuesta parece ser todas las posibles x . Cuando M está vacío, la condición dada arriba es un ejemplo de una verdad vacía . Entonces, la intersección de la familia vacía debería ser el conjunto universal (el elemento de identidad para la operación de intersección), ^[5] pero en la teoría de conjuntos estándar ( ZFC ), el conjunto universal no existe.

Ver también

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con Intersección (teoría de conjuntos) .

• Álgebra de conjuntos
• Cardinalidad
• Complemento
• Gráfico de intersección
• Operación binaria iterada
• Lista de identidades y relaciones establecidas
• Conjunción lógica
• MinHash
• Teoría de conjuntos ingenua
• Diferencia simétrica
• Unión

Referencias

1. "Lista completa de símbolos de la teoría de conjuntos" . Bóveda de matemáticas . 2020-04-11 . Consultado el 4 de septiembre de 2020 .
2. "Intersección de conjuntos" . web.mnstate.edu . Consultado el 4 de septiembre de 2020 .
3. "Estadísticas: reglas de probabilidad" . People.richland.edu . Consultado el 8 de mayo de 2012 .
4. "Operaciones de conjunto | Unión | Intersección | Complemento | Diferencia | Mutuamente excluyentes | Particiones | Ley de De Morgan | Ley distributiva | Producto cartesiano" . www.probabilitycourse.com . Consultado el 4 de septiembre de 2020 .
5. Megginson, Robert E. (1998), "Capítulo 1", Una introducción a la teoría del espacio de Banach , Textos de posgrado en matemáticas , 183 , Nueva York: Springer-Verlag, pp. Xx + 596, ISBN 0-387-98431-3

Lectura adicional

• Devlin, KJ (1993). La alegría de los conjuntos: fundamentos de la teoría de conjuntos contemporánea (segunda ed.). Nueva York, NY: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4.
• Munkres, James R. (2000). "Teoría y lógica de conjuntos". Topología (Segunda ed.). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
• Rosen, Kenneth (2007). "Estructuras básicas: conjuntos, funciones, secuencias y sumas". Matemáticas discretas y sus aplicaciones (Sexta ed.). Boston: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-322972-0.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Intersección" . MathWorld .