La teoría invariante es una rama del álgebra abstracta que se ocupa de las acciones de grupos sobre variedades algebraicas , como los espacios vectoriales, desde el punto de vista de su efecto sobre las funciones. Clásicamente, la teoría abordó la cuestión de la descripción explícita de funciones polinomiales que no cambian, o son invariantes , bajo las transformaciones de un grupo lineal dado . Por ejemplo, si consideramos la acción del grupo lineal especial SL n en el espacio de n por n matrices por multiplicación por la izquierda, entonces el determinantees un invariante de esta acción porque el determinante de AX es igual al determinante de X , cuando A está en SL n .
Introducción
Dejar ser un grupo , yun espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo (que en la teoría invariante clásica generalmente se suponía que eran los números complejos ). Una representación de en es un homomorfismo de grupo , que induce una acción grupal de en . Sies el espacio de funciones polinomiales en, luego la acción grupal de en produce una acción sobre por la siguiente fórmula:
Con esta acción es natural considerar el subespacio de todas las funciones polinomiales que son invariantes bajo esta acción de grupo, en otras palabras, el conjunto de polinomios tales que para todos . Este espacio de polinomios invariantes se denota.
Primer problema de la teoría invariante : [1] Esun álgebra generada finitamente sobre?
Por ejemplo, si y el espacio de matrices cuadradas, y la acción de en viene dado por multiplicación por la izquierda, entonces es isomorfo a un álgebra polinomial en una variable, generada por el determinante. En otras palabras, en este caso, todo polinomio invariante es una combinación lineal de potencias del polinomio determinante. Entonces, en este caso, se genera finitamente sobre .
Si la respuesta es sí, entonces la siguiente pregunta es encontrar una base mínima y preguntar si el módulo de relaciones polinomiales entre los elementos base (conocidos como sicigias ) se genera finitamente sobre.
La teoría invariable de grupos finitos tiene conexiones íntimas con la teoría de Galois . Uno de los primeros resultados importantes fue el teorema principal sobre las funciones simétricas que describía las invariantes del grupo simétrico actuando sobre el anillo polinomial ] por permutaciones de las variables. De manera más general, el teorema de Chevalley-Shephard-Todd caracteriza grupos finitos cuya álgebra de invariantes es un anillo polinomial. La investigación moderna en teoría invariante de grupos finitos enfatiza resultados "efectivos", como límites explícitos en los grados de los generadores. El caso de la característica positiva , ideológicamente cercano a la teoría de la representación modular , es un área de estudio activo, con vínculos con la topología algebraica .
La teoría invariante de grupos infinitos está indisolublemente ligada al desarrollo del álgebra lineal , especialmente, las teorías de formas cuadráticas y determinantes . Otro tema con una fuerte influencia mutua fue la geometría proyectiva , donde se esperaba que la teoría invariante desempeñara un papel importante en la organización del material. Uno de los aspectos más destacados de esta relación es el método simbólico . La teoría de la representación de los grupos de Lie semisimple tiene sus raíces en la teoría invariante.
El trabajo de David Hilbert sobre la cuestión de la generación finita del álgebra de invariantes (1890) resultó en la creación de una nueva disciplina matemática, el álgebra abstracta. Un artículo posterior de Hilbert (1893) trató las mismas cuestiones de formas más constructivas y geométricas, pero permaneció prácticamente desconocido hasta que David Mumford resucitó estas ideas en la década de 1960, en una forma considerablemente más general y moderna, en su invariante geométrico. teoría . En gran medida debido a la influencia de Mumford, se considera que el tema de la teoría invariante abarca la teoría de acciones de grupos algebraicos lineales sobre variedades afines y proyectivas . Gian-Carlo Rota y su escuela han desarrollado una corriente distinta de teoría invariante, que se remonta a los métodos combinatorios y constructivos clásicos del siglo XIX . Un ejemplo destacado de este círculo de ideas lo da la teoría de los monomios estándar .
Ejemplos de
Ejemplos simples de teoría invariante provienen de calcular los monomios invariantes de una acción de grupo. Por ejemplo, considere el-acción en enviando
Entonces, desde son los monomios de grado más bajo que son invariantes, tenemos que
Este ejemplo forma la base para realizar muchos cálculos.
Los orígenes del siglo XIX
Weyl (1939b , p. 489)
Cayley estableció por primera vez la teoría invariante en su "Sobre la teoría de las transformaciones lineales (1845)". En la apertura de su artículo, Cayley da crédito a un artículo de 1841 de George Boole, "las investigaciones me fueron sugeridas por un artículo muy elegante sobre el mismo tema ... por el Sr. Boole". (El artículo de Boole fue Exposición de una teoría general de transformaciones lineales, Cambridge Mathematical Journal).
Clásicamente, el término "teoría invariante" se refiere al estudio de formas algebraicas invariantes (equivalentemente, tensores simétricos ) para la acción de transformaciones lineales . Este fue un campo de estudio importante en la última parte del siglo XIX. Las teorías actuales relacionadas con el grupo simétrico y las funciones simétricas , el álgebra conmutativa , los espacios de módulos y las representaciones de los grupos de Lie tienen sus raíces en esta área.
Con mayor detalle, dado un espacio vectorial de dimensión finita V de dimensión n podemos considerar el álgebra simétrica S ( S r ( V )) de los polinomios de grado r sobre V , y la acción sobre él de GL ( V ). En realidad, es más exacto considerar las invariantes relativas de GL ( V ), o representaciones de SL ( V ), si vamos a hablar de invariantes : eso se debe a que un múltiplo escalar de la identidad actuará sobre un tensor de rango r en S ( V ) a través de la r -ésima potencia 'peso' del escalar. El punto es entonces definir la subálgebra de invariantes I ( S r ( V )) para la acción. Somos, en lengua clásica, mirando a invariantes de n ary r -ics, donde n es la dimensión de V . (Esto no es lo mismo que encontrar invariantes de GL ( V ) en S ( V ); este es un problema poco interesante ya que los únicos invariantes son constantes.) El caso más estudiado fue el de invariantes de formas binarias donde n = 2.
Otro trabajo incluyó el de Felix Klein en el cálculo de los anillos invariantes de acciones de grupos finitos en(los grupos poliédricos binarios , clasificados por la clasificación ADE ); estos son los anillos de coordenadas de las singularidades de du Val .
Kung y Rota (1984 , p. 27)
El trabajo de David Hilbert , demostrando que I ( V ) fue presentado de manera finita en muchos casos, casi puso fin a la teoría invariante clásica durante varias décadas, aunque la época clásica en el tema continuó hasta las publicaciones finales de Alfred Young , más de 50 años después. En los tiempos modernos se conocen cálculos explícitos para propósitos particulares (por ejemplo, Shioda, con los octavics binarios).
Teoremas de Hilbert
Hilbert (1890) demostró que si V es una representación de dimensión finita del grupo algebraico complejo G = SL n ( C ), entonces el anillo de invariantes de G que actúan sobre el anillo de polinomios R = S ( V ) se genera finitamente. Su demostración utilizó el operador de Reynolds ρ de R a R G con las propiedades
- ρ (1) = 1
- ρ ( a + b ) = ρ ( a ) + ρ ( b )
- ρ ( ab ) = a ρ ( b ) siempre que a sea invariante.
Hilbert construyó el operador de Reynolds explícitamente usando el proceso omega de Cayley Ω, aunque ahora es más común construir ρ indirectamente de la siguiente manera: para los grupos compactos G , el operador de Reynolds se obtiene tomando el promedio sobre G , y los grupos reductores no compactos pueden ser reducido al caso de grupos compactos utilizando el truco unitario de Weyl .
Dado el operador de Reynolds, el teorema de Hilbert se demuestra de la siguiente manera. El anillo R es un anillo polinomial, por lo que se clasifica por grados, y el ideal I se define como el ideal generado por las invariantes homogéneas de grados positivos. Según el teorema de la base de Hilbert, el ideal I se genera de forma finita (como un ideal). Por lo tanto, I es generado finitamente por un número finito de invariantes de G (porque si se nos da cualquier subconjunto S , posiblemente infinito, que genere un I ideal finitamente generado , entonces I ya está generado por algún subconjunto finito de S ). Sea i 1 , ..., i n un conjunto finito de invariantes de G que generan I (como un ideal). La idea clave es mostrar que estos generan el anillo R G de invariantes. Suponga que x es una invariante homogénea de grado d > 0. Entonces
- x = una 1 yo 1 + ... + una norte yo norte
para algunos un j en el anillo de R porque x está en el ideal I . Podemos suponer que a j es homogénea de grado d - grado i j para cada j (de lo contrario, reemplazamos a j por su componente homogénea de grado d - grado i j ; si hacemos esto para cada j , la ecuación x = a 1 i 1 + ... + a n i n seguirá siendo válido). Ahora, aplicando el operador de Reynolds ax = a 1 i 1 + ... + a n i n da
- x = ρ ( una 1 ) yo 1 + ... + ρ ( una norte ) yo norte
Ahora vamos a mostrar que x se encuentra en el R -álgebra generada por i 1 , ..., i n .
Primero, hagamos esto en el caso de que todos los elementos ρ ( a k ) tengan un grado menor que d . En este caso, todos están en el álgebra R generada por i 1 , ..., i n (según nuestro supuesto de inducción). Por lo tanto, x también está en esta R -álgebra (ya que x = ρ ( a 1 ) i 1 + ... + ρ ( a n ) i n ).
En el caso general, no podemos estar seguros de que todos los elementos ρ ( a k ) tengan un grado menor que d . Pero podemos reemplazar cada ρ ( a k ) por su componente homogéneo de grado d - grado i j . Como resultado, estas ρ ( a k ) modificadas siguen siendo invariantes G (porque cada componente homogéneo de una invariante G es una invariante G ) y tienen un grado menor que d (ya que grados i k > 0). La ecuación x = ρ ( a 1 ) i 1 + ... + ρ ( a n ) i n sigue siendo válida para nuestra ρ modificada ( a k ), por lo que podemos concluir de nuevo que x se encuentra en la R -álgebra generada por i 1 , ..., i n .
Por lo tanto, por inducción en el grado, todos los elementos de R G están en el R -álgebra generada por i 1 , ..., i n .
Teoría geométrica invariante
La formulación moderna de la teoría geométrica invariante se debe a David Mumford y enfatiza la construcción de un cociente por la acción grupal que debe capturar información invariante a través de su anillo de coordenadas. Es una teoría sutil, en el sentido de que el éxito se obtiene excluyendo algunas órbitas "malas" e identificando otras con órbitas "buenas". En un desarrollo separado , se ha rehabilitado el método simbólico de la teoría invariante , una notación combinatoria aparentemente heurística.
Una motivación fue construir espacios de módulos en geometría algebraica como cocientes de esquemas que parametrizan objetos marcados. En las décadas de 1970 y 1980, la teoría desarrolló interacciones con geometría simpléctica y topología equivariante, y se utilizó para construir espacios de módulos de objetos en geometría diferencial , como instantones y monopolos .
Ver también
- Teorema de gram
- teoría de la representación de grupos finitos
- Serie Molien
- invariante (matemáticas)
- Invariante de una forma binaria
- Primero y segundo teoremas fundamentales de la teoría invariante
Referencias
- ^ Borel, Armand (2001). Ensayos de Historia de grupos de Lie y grupos algebraicos . Historia de las Matemáticas, vol. 21. Sociedad matemática estadounidense y sociedad matemática de Londres. ISBN 978-0821802885.
- Dieudonné, Jean A .; Carrell, James B. (1970), "Teoría invariante, vieja y nueva", Advances in Mathematics , 4 : 1–80, doi : 10.1016 / 0001-8708 (70) 90015-0 , ISSN 0001-8708 , MR 0255525 Reimpreso como Dieudonné, Jean A .; Carrell, James B. (1971), "Teoría invariante, antigua y nueva", Advances in Mathematics , Boston, MA: Academic Press , 4 : 1–80, doi : 10.1016 / 0001-8708 (70) 90015-0 , ISBN 978-0-12-215540-6, MR 0279102
- Dolgachev, Igor (2003), Conferencias sobre teoría invariante , London Mathematical Society Lecture Note Series, 296 , Cambridge University Press , doi : 10.1017 / CBO9780511615436 , ISBN 978-0-521-52548-0, MR 2004511
- Grace, JH; Young, Alfred (1903), El álgebra de invariantes , Cambridge: Cambridge University Press
- Grosshans, Frank D. (1997), Espacios homogéneos algebraicos y teoría invariante , Nueva York: Springer, ISBN 3-540-63628-5
- Kung, Joseph PS; Rota, Gian-Carlo (1984), "La teoría invariante de las formas binarias" , Bulletin of the American Mathematical Society , New Series, 10 (1): 27–85, doi : 10.1090 / S0273-0979-1984-15188-7 , ISSN 0002-9904 , MR 0722856
- Hilbert, David (1890), "Ueber die Theorie der algebraischen Formen" , Mathematische Annalen , 36 (4): 473–534, doi : 10.1007 / BF01208503 , ISSN 0025-5831
- Hilbert, D. (1893), "Über die vollen Invariantensysteme (Sobre sistemas invariantes completos)" , Math. Annalen , 42 (3): 313, doi : 10.1007 / BF01444162
- Neusel, Mara D .; Smith, Larry (2002), Teoría invariable de grupos finitos , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2916-5 Un recurso reciente para aprender sobre invariantes modulares de grupos finitos.
- Olver, Peter J. (1999), Teoría invariante clásica , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-55821-2Una introducción de nivel universitario a la teoría clásica de invariantes de formas binarias, incluido el proceso Omega a partir de la página 87.
- Popov, VL (2001) [1994], "Invariantes, teoría de" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Springer, TA (1977), Invariant Theory , Nueva York: Springer, ISBN 0-387-08242-5 Una encuesta más antigua pero aún útil.
- Sturmfels, Bernd (1993), Algoritmos en teoría invariante , Nueva York: Springer, ISBN 0-387-82445-6 Una hermosa introducción a la teoría de invariantes de grupos finitos y técnicas para calcularlos usando bases de Gröbner.
- Weyl, Hermann (1939), Los grupos clásicos. Sus invariantes y representaciones , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05756-9, MR 0000255
- Weyl, Hermann (1939b), "Invariants" , Duke Mathematical Journal , 5 (3): 489–502, doi : 10.1215 / S0012-7094-39-00540-5 , ISSN 0012-7094 , MR 0000030
enlaces externos
- H. Kraft, C. Procesi, Teoría clásica invariante, una introducción
- VL Popov, EB Vinberg, "Teoría invariable", en geometría algebraica . IV. Enciclopedia de Ciencias Matemáticas, 55 (traducido de la edición rusa de 1989) Springer-Verlag, Berlín, 1994; vi + 284 pp .; ISBN 3-540-54682-0