En matemáticas , el teorema de la inversión de Fourier dice que para muchos tipos de funciones es posible recuperar una función de su transformada de Fourier . Intuitivamente, puede verse como la afirmación de que si conocemos toda la información de frecuencia y fase sobre una onda, entonces podemos reconstruir la onda original con precisión.
Esta última ecuación se llama teorema de la integral de Fourier .
Otra forma de enunciar el teorema es que si es el operador flip, es decir , luego
El teorema es válido si ambos y su transformada de Fourier son absolutamente integrables (en el sentido de Lebesgue ) y es continuo en el punto . Sin embargo, incluso en condiciones más generales se mantienen las versiones del teorema de inversión de Fourier. En estos casos, las integrales anteriores pueden no converger en un sentido ordinario.
Además, asumimos que la transformada de Fourier también es integrable.
Transformada inversa de Fourier como integral
El enunciado más común del teorema de inversión de Fourier es establecer la transformada inversa como una integral. Para cualquier función integrable y todo colocar
Entonces para todos tenemos
Teorema de la integral de Fourier
El teorema se puede reformular como
Si f tiene un valor real, entonces al tomar la parte real de cada lado de lo anterior obtenemos
Transformada inversa en términos de operador flip
Para cualquier función definir el operador flip [nota 1] por
Entonces podemos, en cambio, definir
Es inmediato a partir de la definición de la transformada de Fourier y el operador de inversión que ambos y coincidir con la definición integral de , y en particular son iguales entre sí y satisfacen .
Desde tenemos y
Inversa de dos caras
La forma del teorema de la inversión de Fourier establecida anteriormente, como es común, es que
En otras palabras, es una inversa a la izquierda para la transformada de Fourier. Sin embargo, también es una inversa a la derecha para la transformada de Fourier, es decir,
Desde es tan similar a , esto se sigue muy fácilmente del teorema de inversión de Fourier (cambio de variables ):
Alternativamente, esto se puede ver en la relación entre y el operador flip y la asociatividad de la composición de funciones , ya que
Condiciones de la función
Cuando se usa en física e ingeniería, el teorema de inversión de Fourier se usa a menudo bajo el supuesto de que todo "se comporta bien". En matemáticas, estos argumentos heurísticos no están permitidos, y el teorema de inversión de Fourier incluye una especificación explícita de qué clase de funciones está permitida. Sin embargo, no hay una "mejor" clase de funciones a considerar, por lo que existen varias variantes del teorema de inversión de Fourier, aunque con conclusiones compatibles.
Funciones de Schwartz
El teorema de la inversión de Fourier es válido para todas las funciones de Schwartz (en términos generales, funciones suaves que decaen rápidamente y cuyas derivadas decaen rápidamente). Esta condición tiene la ventaja de que es un enunciado directo elemental sobre la función (en lugar de imponer una condición a su transformada de Fourier), y la integral que define la transformada de Fourier y su inversa son absolutamente integrables. Esta versión del teorema se usa en la demostración del teorema de inversión de Fourier para distribuciones templadas (ver más abajo).
Funciones integrables con transformada de Fourier integrable
El teorema de la inversión de Fourier es válido para todas las funciones continuas que son absolutamente integrables (es decir, ) con transformada de Fourier absolutamente integrable. Esto incluye todas las funciones de Schwartz, por lo que es una forma estrictamente más fuerte del teorema que la mencionada anteriormente. Esta condición es la que se usó anteriormente en la sección de declaraciones .
Una ligera variante es eliminar la condición de que la función ser continuo pero aún requiere que él y su transformada de Fourier sean absolutamente integrables. Luegocasi en todas partes donde g es una función continua, y para cada .
Funciones integrables en una dimensión
Suave a trozos; una dimensión
Si la función es absolutamente integrable en una dimensión (es decir, ) y es suave por partes, entonces se cumple una versión del teorema de inversión de Fourier. En este caso definimos
Entonces para todos
es decir es igual al promedio de los límites izquierdo y derecho de a . En puntos donde es continuo esto simplemente es igual .
Un análogo de dimensión superior de esta forma del teorema también es válido, pero según Folland (1992) es "bastante delicado y no terriblemente útil".
Continuo por partes; una dimensión
Si la función es absolutamente integrable en una dimensión (es decir, ) pero simplemente continuo a trozos, entonces una versión del teorema de inversión de Fourier todavía se mantiene. En este caso, la integral en la transformada de Fourier inversa se define con la ayuda de una función de corte suave en lugar de aguda; específicamente definimos
La conclusión del teorema es entonces la misma que para el caso liso por partes discutido anteriormente.
Continuo; cualquier número de dimensiones
Si es continuo y absolutamente integrable en entonces el teorema de la inversión de Fourier todavía se mantiene siempre que definamos nuevamente la transformada inversa con una función de corte suave, es decir
La conclusión ahora es simplemente que para todos
Sin condición de regularidad; cualquier número de dimensiones
Si descartamos todas las suposiciones sobre la continuidad (por partes) de y suponga simplemente que es absolutamente integrable, entonces todavía se mantiene una versión del teorema. La transformada inversa se define de nuevo con el corte suave, pero con la conclusión de que
En este caso, la transformada de Fourier no se puede definir directamente como una integral, ya que puede que no sea absolutamente convergente, por lo que se define mediante un argumento de densidad (consulte el artículo sobre la transformada de Fourier ). Por ejemplo, poniendo
podemos establecer donde se toma el límite en el -norma. La transformada inversa se puede definir por densidad de la misma manera o definiéndola en términos de la transformada de Fourier y el operador de inversión. Entonces tenemos
en la norma cuadrática media . En una dimensión (y solo una dimensión), también se puede demostrar que converge para casi cada x ∈ℝ ; este es el teorema de Carleson , pero es mucho más difícil de probar que la convergencia en la norma cuadrática media.
Distribuciones templadas
La transformada de Fourier se puede definir en el espacio de distribuciones templadaspor dualidad de la transformada de Fourier en el espacio de funciones de Schwartz. Especificamente para y para todas las funciones de prueba establecimos
dónde se define mediante la fórmula integral. Sientonces esto concuerda con la definición habitual. Podemos definir la transformada inversa, ya sea por dualidad de la transformada inversa en las funciones de Schwartz de la misma manera, o definiéndola en términos del operador flip (donde el operador flip se define por dualidad). Entonces tenemos
Relación con la serie de Fourier
Al considerar la serie de Fourier de una función, es convencional reescalarla para que actúe en (o es -periódico). En esta sección usamos en cambio la convención algo inusual que toma actuar en , ya que coincide con la convención de la transformada de Fourier utilizada aquí.
En el caso de la serie de Fourier tenemos en cambio
En particular, en una dimensión y la suma va desde a .
Aplicaciones
Algunos problemas, como ciertas ecuaciones diferenciales, se vuelven más fáciles de resolver cuando se aplica la transformada de Fourier. En ese caso, la solución al problema original se recupera mediante la transformada inversa de Fourier.
En las aplicaciones de la transformada de Fourier, el teorema de la inversión de Fourier a menudo juega un papel crítico. En muchas situaciones, la estrategia básica es aplicar la transformada de Fourier, realizar alguna operación o simplificación y luego aplicar la transformada de Fourier inversa.
De manera más abstracta, el teorema de la inversión de Fourier es un enunciado sobre la transformada de Fourier como operador (ver Transformada de Fourier en espacios funcionales ). Por ejemplo, el teorema de inversión de Fourier en muestra que la transformada de Fourier es un operador unitario en .
Propiedades de la transformación inversa
La transformada de Fourier inversa es extremadamente similar a la transformada de Fourier original: como se discutió anteriormente, solo difiere en la aplicación de un operador de inversión. Por esta razón, las propiedades de la transformada de Fourier son válidas para la transformada de Fourier inversa, como el teorema de convolución y el lema de Riemann-Lebesgue .
Las tablas de transformadas de Fourier pueden usarse fácilmente para la transformada de Fourier inversa componiendo la función de búsqueda con el operador de inversión. Por ejemplo, al buscar la transformada de Fourier de la función rect, vemos que
por lo que el hecho correspondiente para la transformada inversa es
Definir . Entonces conque denota convolución ,es una aproximación a la identidad : para cualquier continuo y punto , (donde la convergencia es puntual).
Definir . Aplicando las operaciones 1, 2 y 4, repetidamente para múltiples integrales si es necesario, obtenemos
Usando el hecho 3 en y , para cada , tenemos
la convolución de con una identidad aproximada. Pero desde, el hecho 5 dice que
Juntando lo anterior hemos demostrado que
Notas
^ Un operador es una transformación que asigna funciones a funciones. El operador de inversión, la transformada de Fourier, la transformada de Fourier inversa y la transformada de identidad son todos ejemplos de operadores.
Referencias
Folland, GB (1992). Análisis de Fourier y sus aplicaciones . Belmont, CA, EE.UU .: Wadsworth. ISBN 0-534-17094-3.
Folland, GB (1995). Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales (2ª ed.). Princeton, Estados Unidos: Princeton Univ. Prensa. ISBN 978-0-691-04361-6.