En álgebra abstracta , la idea de un elemento inverso generaliza los conceptos de negación (inversión de signo) (en relación con la suma ) y reciprocidad (en relación con la multiplicación ). La intuición es de un elemento que puede 'deshacer' el efecto de combinación con otro elemento dado. Si bien la definición precisa de un elemento inverso varía según la estructura algebraica involucrada, estas definiciones coinciden en un grupo .
La palabra 'inverso' se deriva del latín : inversus que significa 'volteado', 'volcado'.
Definiciones formales
En un magma unital
Dejar ser un magma unital , es decir, un conjunto con una operación binaria y un elemento de identidad . Si por, tenemos , luego se llama inverso a la izquierda de y se llama inversa a la derecha de. Si un elemento es tanto inverso a la izquierda como a la derecha de , luego se llama inversa de dos caras , o simplemente inversa , de. Un elemento con una inversa de dos lados ense llama invertible en. Un elemento con un elemento inverso solo en un lado es invertible a la izquierda o invertible a la derecha .
Elementos de un magma unital puede tener múltiples inversas izquierdas, derechas o de dos lados. Por ejemplo, en el magma dado por la tabla de Cayley
* | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|
1 | 1 | 2 | 3 |
2 | 2 | 1 | 1 |
3 | 3 | 1 | 1 |
los elementos 2 y 3 tienen cada uno dos inversos de dos lados.
Un magma unital en el que todos los elementos son invertibles no necesita ser un bucle . Por ejemplo, en el magmadado por la mesa Cayley
* | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|
1 | 1 | 2 | 3 |
2 | 2 | 1 | 2 |
3 | 3 | 2 | 1 |
cada elemento tiene un inverso de dos caras único (es decir, él mismo), pero no es un bucle porque la tabla Cayley no es un cuadrado latino .
De manera similar, un bucle no necesita tener inversas de dos lados. Por ejemplo, en el bucle dado por la tabla Cayley
* | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
2 | 2 | 3 | 1 | 5 | 4 |
3 | 3 | 4 | 5 | 1 | 2 |
4 | 4 | 5 | 2 | 3 | 1 |
5 | 5 | 1 | 4 | 2 | 3 |
el único elemento con una inversa de dos caras es el elemento de identidad 1.
Si la operación es asociativo, entonces si un elemento tiene una inversa izquierda y una inversa derecha, son iguales. En otras palabras, en un monoide (un magma unital asociativo) cada elemento tiene como máximo un inverso (como se define en esta sección). En un monoide, el conjunto de elementos invertibles es un grupo , llamado grupo de unidades de, y denotado por o H 1 .
En un semigrupo
La definición de la sección anterior generaliza la noción de inverso en grupo en relación con la noción de identidad. También es posible, aunque menos obvio, generalizar la noción de inverso eliminando el elemento de identidad pero manteniendo la asociatividad, es decir, en un semigrupo .
En un semigrupo S, un elemento x se llama (von Neumann) regular si existe algún elemento z en S tal que xzx = x ; z a veces se denomina pseudoinverso . Un elemento y se llama (simplemente) un inverso de x si xyx = x y y = yxy . Cada elemento regular tiene al menos una inversa: si x = xzx entonces es fácil verificar que y = zxz es una inversa de x como se define en esta sección. Otro hecho fácil de probar: si y es una inversa de x, entonces e = xy y f = yx son idempotentes , es decir ee = e y ff = f . Así, cada par de elementos (mutuamente) inversos da lugar a dos idempotentes, y ex = xf = x , ye = fy = y , ye actúa como una identidad izquierda en x , mientras que f actúa como una identidad derecha y la izquierda / los roles correctos se invierten para y . Esta simple observación se puede generalizar usando las relaciones de Green : cada e idempotente en un semigrupo arbitrario es una identidad izquierda para R e e identidad derecha para L e . [1] Una descripción intuitiva de este hecho es que cada par de elementos mutuamente inversos produce una identidad de izquierda local y, respectivamente, una identidad de derecha local.
En un monoide, la noción de inverso como se define en la sección anterior es estrictamente más restringida que la definición dada en esta sección. Solo los elementos de la clase verde H 1 tienen una inversa desde la perspectiva del magma unital, mientras que para cualquier e idempotente , los elementos de H e tienen una inversa como se define en esta sección. Bajo esta definición más general, las inversas no necesitan ser únicas (o existir) en un semigrupo o monoide arbitrario. Si todos los elementos son regulares, entonces el semigrupo (o monoide) se llama regular y cada elemento tiene al menos una inversa. Si cada elemento tiene exactamente una inversa como se define en esta sección, entonces el semigrupo se denomina semigrupo inverso . Finalmente, un semigrupo inverso con un solo idempotente es un grupo. Un semigrupo inverso puede tener un elemento absorbente 0 porque 000 = 0, mientras que un grupo puede no tenerlo .
Fuera de la teoría de semigrupos, un inverso único, como se define en esta sección, a veces se denomina cuasi inverso . Esto generalmente se justifica porque en la mayoría de las aplicaciones (por ejemplo, todos los ejemplos de este artículo) se mantiene la asociatividad, lo que hace que esta noción sea una generalización de la inversa izquierda / derecha relativa a una identidad.
U- semigrupos
Una generalización natural del semigrupo inverso es definir una operación unaria (arbitraria) ° tal que ( a °) ° = a para todo a en S ; esto dota a S de un álgebra de tipo ⟨2,1⟩. Un semigrupo dotado de una operación de este tipo se denomina U -semigroup . Aunque pueda parecer que a ° será el inverso de a , este no es necesariamente el caso. Para obtener nociones interesantes, la operación unaria debe interactuar de alguna manera con la operación de semigrupo. Se han estudiado dos clases de semigrupos U : [2]
- I -semigrupos , en los que el axioma de interacción es aa ° a = a
- * -semigrupos , en los que el axioma de interacción es ( ab ) ° = b ° a °. Tal operación se llama una involución , y típicamente denota por un *
Claramente, un grupo es tanto un I -semigroup como un * -semigroup. Una clase de semigrupos importante en la teoría de semigrupos son semigrupos completamente regulares ; estos son I -semigrupos en los que uno tiene adicionalmente aa ° = a ° a ; en otras palabras, cada elemento tiene un ° pseudoinverso de conmutación . Sin embargo, hay pocos ejemplos concretos de tales semigrupos; la mayoría son semigrupos completamente simples . En contraste, una subclase de * -semigroups, los * -regular semigroups (en el sentido de Drazin), produce uno de los ejemplos más conocidos de un pseudoinverso (único), el inverso de Moore-Penrose . En este caso, sin embargo, la involución a * no es la pseudoinversa. Más bien, el pseudoinverso de x es el elemento único y tal que xyx = x , yxy = y , ( xy ) * = xy , ( yx ) * = yx . Dado que los semigrupos * -regulares generalizan semigrupos inversos, el elemento único definido de esta manera en un semigrupo * -regular se denomina inverso generalizado o inverso de Penrose-Moore .
Anillos y semirrings
Ejemplos de
Todos los ejemplos en esta sección involucran operadores asociativos, por lo que usaremos los términos inversa izquierda / derecha para la definición unital basada en magma, y cuasi-inversa para su versión más general.
Numeros reales
Cada número real tiene un inverso aditivo (es decir, un inverso con respecto a la suma ) dado por. Cada número real distinto de cerotiene un inverso multiplicativo (es decir, un inverso con respecto a la multiplicación ) dado por (o ). Por el contrario, cero no tiene inverso multiplicativo, pero tiene un cuasi inverso único "" sí mismo.
Funciones y funciones parciales
Una función es la inversa izquierda (o derecha) de una función (para la composición de funciones ), si y solo si (resp. ) es la función de identidad en el dominio (respectivamente codominio ) de. La inversa de una función a menudo se escribe , pero esta notación es a veces ambigua . Solo las biyecciones tienen inversas de dos caras, pero cualquier función tiene una cuasi-inversa, es decir, el monoide de transformación completa es regular. El monoide de funciones parciales también es regular, mientras que el monoide de transformaciones parciales inyectivas es el semigrupo inverso prototípico.
Conexiones de Galois
Los adjuntos inferior y superior en una conexión (monótona) de Galois , L y G son casi inversos entre sí, es decir, LGL = L y GLG = G y uno determina de forma única al otro. Sin embargo, no son inversos a izquierda o derecha entre sí.
Matrices
Una matriz cuadrada con entradas en un campo es invertible (en el conjunto de todas las matrices cuadradas del mismo tamaño, bajo multiplicación de matrices ) si y solo si su determinante es diferente de cero. Si el determinante dees cero, es imposible que tenga una inversa unilateral; por lo tanto, una inversa a la izquierda o una inversa a la derecha implica la existencia del otro. Consulte la matriz invertible para obtener más información.
De manera más general, una matriz cuadrada sobre un anillo conmutativo es invertible si y solo si su determinante es invertible en.
Las matrices no cuadradas de rango completo tienen varias inversas unilaterales: [3]
- Para hemos dejado inversos, por ejemplo:
- Para tenemos inversos rectos, por ejemplo:
El inverso de la izquierda se puede utilizar para determinar la solución de norma mínima de , que también es la fórmula de mínimos cuadrados para la regresión y está dada por
Ninguna matriz de rango deficiente tiene inversa (incluso unilateral). Sin embargo, la inversa de Moore-Penrose existe para todas las matrices y coincide con la inversa izquierda o derecha (o verdadera) cuando existe.
Como ejemplo de matrices inversas, considere:
Entonces, como m < n , tenemos una inversa a la derecha, Por componentes se calcula como
El inverso de la izquierda no existe, porque
que es una matriz singular y no se puede invertir.
Ver también
- Bucle (álgebra)
- Anillo de división
- Unidad (teoría del anillo)
- Propiedad de plaza latina
Notas
- ^ Howie, prop. 2.3.3, pág. 51
- ^ Howie p. 102
- ^ Conferencia # 33 de Álgebra lineal del profesor Gilbert Strang del MIT - Inversa izquierda y derecha; Pseudoinverso.
Referencias
- M. Kilp, U. Knauer, AV Mikhalev, Monoides, actos y categorías con aplicaciones a productos de coronas y gráficos , De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7 , pág. 15 (def en magma unital) y p. 33 (def en semigrupo)
- Howie, John M. (1995). Fundamentos de la teoría de los semigrupos . Prensa de Clarendon . ISBN 0-19-851194-9. contiene todo el material de semigrupo incluido en este documento, excepto * -semigrupos regulares.
- Drazin, MP, semigrupos regulares con involución , Proc. Symp. sobre semigrupos regulares (DeKalb, 1979), 29–46
- Miyuki Yamada, P-systems in regular semigroups , Semigroup Forum , 24 (1), diciembre de 1982, págs. 173–187
- Nordahl, TE y HE Scheiblich, Regular * Semigroups, Semigroup Forum , 16 (1978), 369-377.