Función inversa

Concepto matemático

No confundir con inverso multiplicativo .

Una función f y su inversa f ⁻¹ . Como f mapea a a 3, la inversa f ⁻¹ mapea 3 de nuevo a a .

Función
x ↦ f  ( x )
Ejemplos por dominio y codominio
X → B , B → X , B n → B X → Z , Z → X X → R , R → X , R n → X X → C , C → X , C n → X
Clases / propiedades
Constante Identidad Lineal Polinomio Racional Algebraico Analítico Liso Continuo Mensurable Inyectable Sobreyectiva Biyectiva
Construcciones
Restricción Composición λ Inverso
Generalizaciones
Parcial Multivalor Implícito
v t mi

En matemáticas , una función inversa (o anti-función ) ^[1] es una función que "invierte" otra función: si la función f aplicada a una entrada x da un resultado de y , entonces la aplicación de su función inversa g a y da el resultado x , es decir, g ( y ) = x si y solo si f ( x ) = y . ^{[2] [3]} La función inversa de f también se denota como .${\displaystyle f^{-1}}$^{[4] [5] [6]}

Como ejemplo, considere la función de valor real de una variable real dada por f ( x ) = 5 x - 7 . Pensando en esto como un procedimiento paso a paso (es decir, tomar un número x , multiplicarlo por 5, luego restar 7 del resultado), para revertir esto y obtener x de algún valor de salida, digamos y , desharíamos cada paso en orden inverso. En este caso, significa sumar 7 ay , y luego dividir el resultado entre 5. En notación funcional , esta función inversa estaría dada por,

${\displaystyle g(y)={\frac {y+7}{5}}.}$

Con y = 5 x - 7 tenemos que f ( x ) = y y g ( y ) = x .

No todas las funciones tienen funciones inversas. ^{[nb 1]} Los que lo hacen se denominan invertibles . Para que una función f : X → Y tenga una inversa, debe tener la propiedad de que para cada y en Y , hay exactamente una x en X tal que f ( x ) = y . Esta propiedad asegura que una función g : Y → X existe con la relación necesaria con f .

Definiciones

Si f mapas de X a Y , entonces f ^-1 mapas Y de nuevo a X .

Deje que f sea una función cuyo dominio es el conjunto X , y cuyo codominio es el conjunto Y . Entonces f es invertible si existe una función g con dominio Y y codominio X , con la propiedad:

${\displaystyle f(x)=y\,\,\Leftrightarrow \,\,g(y)=x.}$

Si f es invertible, entonces la función g es única , ^{[7] lo} que significa que hay exactamente una función g que satisface esta propiedad. Por otra parte también se deduce que los rangos de g y f son iguales a sus respectivos codomains. La función g se llama la inversa de f , y por lo general se indica como f ^-1 , ^[4] una notación introducida por John Frederick William Herschel en 1813. ^{[8] [9] [10] [11] [12] [nb 2]}

Dicho de otra manera, una función, considerada como una relación binaria , tiene una inversa si y solo si la relación inversa es una función en el codominio Y , en cuyo caso la relación inversa es la función inversa. ^[13]

No todas las funciones tienen una inversa. Para que una función tenga una inversa, cada elemento y ∈ Y debe corresponder a no más de una x ∈ X ; una función f con esta propiedad se llama uno a uno o inyección . Si f ^-1 es ser una función en Y , a continuación, cada elemento y ∈ Y debe corresponder a algún x ∈ X . Las funciones con esta propiedad se denominan sobreyecciones . Esta propiedad se satisface por definición si Y es la imagen de f, pero puede que no se mantenga en un contexto más general. Para ser invertible, una función debe ser tanto una inyección como una sobreyección. Estas funciones se denominan biyecciones . La inversa de una inyección f : X → Y que no es una biyección (es decir, no una sobreyección), es solo una función parcial en Y , lo que significa que para algunos y ∈ Y , f ⁻¹ ( y ) no está definida. Si una función f es invertible, tanto ella como su función inversa f ⁻¹ son biyecciones.

Se utiliza otra convención en la definición de funciones, denominada definición de "teoría de conjuntos" o "gráfica" utilizando pares ordenados , lo que hace que el codominio y la imagen de la función sean los mismos. ^[14] Según esta convención, todas las funciones son sobreyectivas, ^{[nb 3]} por lo que la bijetividad y la inyectividad son lo mismo. Los autores que utilicen esta convención pueden utilizar la expresión de que una función es invertible si y solo si es una inyección. ^[15] Las dos convenciones no tienen por qué causar confusión, siempre que se recuerde que en esta convención alternativa, el codominio de una función siempre se toma como la imagen de la función.

Ejemplo: funciones de cuadratura y raíz cuadrada

La función f : ℝ → [0, ∞) dada por f ( x ) = x ² no es inyectiva, ya que cada resultado posible y (excepto 0) corresponde a dos puntos de partida diferentes en X - uno positivo y otro negativo, y así esta función no es invertible. Con este tipo de función, es imposible deducir una entrada (única) de su salida. Esta función se denomina no inyectiva o, en algunas aplicaciones, pérdida de información. ^{[ cita requerida ]}

Si el dominio de la función está restringido a los reales no negativos, es decir, la función se redefine para ser f : [0, ∞) → [0, ∞) con la misma regla que antes, entonces la función es biyectiva y, por lo tanto, invertible. ^[16] La función inversa aquí se llama función raíz cuadrada (positiva) .

Inversiones y composición

Ver también: Elemento inverso

Si f es una función invertible con dominio X y codominio Y , entonces

${\displaystyle f^{-1}\left(\,f(x)\,\right)=x}$, por cada ; y , para todos . ^[6]${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f\left(\,f^{-1}(y)\,\right)=y}$${\displaystyle y\in Y.}$

Usando la composición de funciones , podemos reescribir esta declaración de la siguiente manera:

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}$ y ${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y},}$

donde id _X es la función de identidad en el conjunto X ; es decir, la función que deja su argumento sin cambios. En la teoría de categorías , esta afirmación se usa como la definición de un morfismo inverso .

Considerar la composición de funciones ayuda a comprender la notación f ⁻¹ . La composición repetida de una función consigo misma se llama iteración . Si f se aplica n veces, comenzando con el valor x , entonces esto se escribe como f ⁿ ( x ) ; entonces f ² ( x ) = f ( f ( x )) , etc. Dado que f ⁻¹ ( f ( x )) = x , componiendo f ⁻¹ y fⁿ produce f ^{n −1} , "deshaciendo" el efecto de una aplicación def.

Notación

Si bien la notación f ⁻¹ ( x ) podría malinterpretarse, ^[6] ( f ( x )) ⁻¹ ciertamente denota el inverso multiplicativo de f ( x ) y no tiene nada que ver con la función inversa de f . ^[12]

De acuerdo con la notación general, algunos autores ingleses usan expresiones como sin ⁻¹ ( x ) para denotar la inversa de la función seno aplicada ax (en realidad, una inversa parcial ; ver más abajo). ^{[17] [12]} Otros autores creen que esto puede confundirse con la notación del inverso multiplicativo de sin ( x ) , que se puede denotar como (sin ( x )) ⁻¹ . ^[12] Para evitar confusiones, una función trigonométrica inversa a menudo se indica con el prefijo " arco " (del latín arcuscode: lat promoted to code: la ).^{[18] [19]} Por ejemplo, la inversa de la función seno se llama típicamentefunción arcoseno , escrita como arcosen ( x ) . ^{[4] [18] [19]} De manera similar, la inversa de una función hiperbólica se indica con el prefijo " ar " (para América āreacode: lat promoted to code: la ). ^[19] Por ejemplo, la inversa de lafunción del seno hiperbólico se escribe típicamente como arsinh ( x ) . ^[19] Otras funciones especiales inversas a veces se prefijo con el prefijo "inv", si la ambigüedad de la fDebe evitarse la notación ⁻¹ . ^{[1] [19]}

Propiedades

Dado que una función es un tipo especial de relación binaria , muchas de las propiedades de una función inversa corresponden a propiedades de relaciones recíprocas .

Singularidad

Si existe una función inversa para una función f dada , entonces es única. ^[20] Esto se sigue ya que la función inversa debe ser la relación inversa, que está completamente determinada por f .

Simetría

Existe una simetría entre una función y su inversa. Específicamente, si f es una función invertible con dominio X y codominio Y , entonces su inverso f ⁻¹ tiene dominio Y e imagen X , y el inverso de f ⁻¹ es la función original f . En símbolos, para las funciones f : X → Y y f ^-1 : Y → X , ^[20]

${\displaystyle f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}}$ y ${\displaystyle f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y}.}$

Esta afirmación es una consecuencia de la implicación de que para que f sea ​​invertible debe ser biyectiva. La naturaleza involutiva de la inversa se puede expresar de manera concisa mediante ^[21]

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{-1}=f.}$

La inversa de g  ∘  f es f ⁻¹  ∘  g ⁻¹ .

La inversa de una composición de funciones viene dada por ^[22]

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}.}$

Tenga en cuenta que el orden de g y f se han invertido; para deshacer f seguida de g , primero debemos deshacer g , y luego deshacer f .

Por ejemplo, sea f ( x ) = 3 x y sea g ( x ) = x + 5 . Entonces la composición g  ∘  f es la función que primero multiplica por tres y luego suma cinco,

${\displaystyle (g\circ f)(x)=3x+5.}$

Para revertir este proceso, primero debemos restar cinco y luego dividir por tres,

${\displaystyle (g\circ f)^{-1}(x)={\tfrac {1}{3}}(x-5).}$

Esta es la composición ( f ⁻¹  ∘  g ⁻¹ ) ( x ) .

Autoinversos

Si X es un conjunto, entonces la función de identidad en X es su propia inversa:

${\displaystyle {\operatorname {id} _{X}}^{-1}=\operatorname {id} _{X}.}$

Más en general, una función f  : X → X es igual a su propia inversa, si y sólo si la composición f  ∘  f es igual a Identificación _X . Esta función se llama involución .

Inversos en cálculo

El cálculo de una sola variable se ocupa principalmente de las funciones que asignan números reales a números reales. Estas funciones a menudo se definen mediante fórmulas , como:

${\displaystyle f(x)=(2x+8)^{3}.}$

Una función sobreyectiva f de los números reales a los números reales posee una inversa, siempre que sea uno a uno. Es decir, la gráfica de y = f ( x ) tiene, para cada valor de y posible , solo un valor de x correspondiente y, por lo tanto, pasa la prueba de la línea horizontal .

La siguiente tabla muestra varias funciones estándar y sus inversas:

Función f ( x )	Inversa f  −1 ( y )	Notas
x + a	y - a
a - x	a - y
mx	y/metro	m ≠ 0
1/X(es decir, x −1 )	1/y(es decir, y −1 )	x ,  y ≠ 0
x 2	√ y (es decir, y 1/2 )	x ,  y ≥ 0 solamente
x 3	3 √ y (es decir, y 1/3 )	ninguna restricción sobre x y y
x p	p √ y (es decir, y 1 / p )	x ,  y ≥ 0 si p es par; entero p > 0
2 x	lb  y	y > 0
e x	en  y	y > 0
10 veces	log  y	y > 0
una x	ingrese una  y	y > 0 y a > 0
funciones trigonométricas	funciones trigonométricas inversas	varias restricciones (ver tabla a continuación)
funciones hiperbólicas	funciones hiperbólicas inversas	varias restricciones

Fórmula para la inversa

Un método para encontrar una fórmula para f ⁻¹ , si existe, es resolver la ecuación y = f ( x ) para x . ^[23] Por ejemplo, si f es la función

${\displaystyle f(x)=(2x+8)^{3}}$

entonces debemos resolver la ecuación y = (2 x + 8) ³ para x :

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=(2x+8)^{3}\\{\sqrt[{3}]{y}}&=2x+8\\{\sqrt[{3}]{y}}-8&=2x\\{\dfrac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}&=x.\end{aligned}}}$

Así, la función inversa f ⁻¹ viene dada por la fórmula

${\displaystyle f^{-1}(y)={\frac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}.}$

A veces, la inversa de una función no se puede expresar mediante una fórmula con un número finito de términos. Por ejemplo, si f es la función

${\displaystyle f(x)=x-\sin x,}$

entonces f es una biyección y, por lo tanto, posee una función inversa f ⁻¹ . La fórmula para esta inversa tiene un número infinito de términos:

${\displaystyle f^{-1}(y)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {y^{n/3}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left({\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}\right)^{n}\right).}$

Gráfico de la inversa

Las gráficas de y = f ( x ) y y = f ⁻¹ ( x ) . La línea de puntos es y = x .

Si f es invertible, entonces la gráfica de la función

${\displaystyle y=f^{-1}(x)}$

es igual que la gráfica de la ecuación

${\displaystyle x=f(y).}$

Esto es idéntico a la ecuación y = f ( x ) que define la gráfica de f , excepto que los papeles de x y y se han invertido. Así, el gráfico de f ^-1 se puede obtener a partir de la gráfica de f por conmutación de las posiciones de la x y Y ejes. Esto es equivalente a reflejar la gráfica a través de la línea y = x . ^{[24] [6]}

Inversas y derivadas

Una función continua f es invertible en su rango (imagen) si y solo si es estrictamente creciente o decreciente (sin máximos o mínimos locales ). ^{[ cita requerida ]} Por ejemplo, la función

${\displaystyle f(x)=x^{3}+x}$

es invertible, ya que la derivada f ′ ( x ) = 3 x ² + 1 siempre es positiva.

Si la función f es derivable en un intervalo I y f ′ ( x ) ≠ 0 para cada x ∈ I , entonces la inversa f ⁻¹ es derivable en f ( I ) . ^[25] Si y = f ( x ) , la derivada de la inversa viene dada por el teorema de la función inversa ,

${\displaystyle \left(f^{-1}\right)^{\prime }(y)={\frac {1}{f'\left(x\right)}}.}$

Usando la notación de Leibniz, la fórmula anterior se puede escribir como

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{dy/dx}}.}$

Este resultado se deriva de la regla de la cadena (ver el artículo sobre funciones inversas y diferenciación ).

El teorema de la función inversa se puede generalizar a funciones de varias variables. Específicamente, una función multivariable diferenciable f : R ⁿ → R ⁿ es invertible en una vecindad de un punto p siempre que la matriz jacobiana de f en p sea invertible . En este caso, el jacobiano de f ⁻¹ en f ( p ) es la matriz inversa del jacobiano de f en p .

Ejemplos del mundo real

• Sea f la función que convierte una temperatura en grados Celsius en una temperatura en grados Fahrenheit ,

${\displaystyle F=f(C)={\tfrac {9}{5}}C+32;}$

luego su función inversa convierte grados Fahrenheit a grados Celsius,

${\displaystyle C=f^{-1}(F)={\tfrac {5}{9}}(F-32),}$^[5]

desde

${\displaystyle {\begin{aligned}f^{-1}(f(C))={}&f^{-1}\left({\tfrac {9}{5}}C+32\right)={\tfrac {5}{9}}\left(({\tfrac {9}{5}}C+32)-32\right)=C,\\&{\text{for every value of }}C,{\text{ and }}\\[6pt]f\left(f^{-1}(F)\right)={}&f\left({\tfrac {5}{9}}(F-32)\right)={\tfrac {9}{5}}\left({\tfrac {5}{9}}(F-32)\right)+32=F,\\&{\text{for every value of }}F.\end{aligned}}}$

• Suponga que f asigna a cada niño de una familia su año de nacimiento. Una función inversa daría como resultado qué niño nació en un año determinado. Sin embargo, si los hijos de la familia nacieron en el mismo año (por ejemplo, mellizos o trillizos, etc.), la salida no se puede conocer cuando la entrada es el año de nacimiento común. Además, si se da un año en el que no nació ningún niño, entonces no se puede nombrar a un niño. Pero si cada niño nació en un año diferente, y si restringimos la atención a los tres años en los que nació un niño, entonces tenemos una función inversa. Por ejemplo,

${\displaystyle {\begin{aligned}f({\text{Allan}})&=2005,\quad &f({\text{Brad}})&=2007,\quad &f({\text{Cary}})&=2001\\f^{-1}(2005)&={\text{Allan}},\quad &f^{-1}(2007)&={\text{Brad}},\quad &f^{-1}(2001)&={\text{Cary}}\end{aligned}}}$

• Sea R la función que conduce a un aumento porcentual x de alguna cantidad y F la función que produce una caída porcentual x . Aplicado a $ 100 con x = 10%, encontramos que la aplicación de la primera función seguida de la segunda no restaura el valor original de $ 100, lo que demuestra el hecho de que, a pesar de las apariencias, estas dos funciones no son inversas entre sí.
• La fórmula para calcular el pH de una solución es pH = -log10 [H +]. En muchos casos, necesitamos encontrar la concentración de ácido a partir de una medición de pH. Se utiliza la función inversa [H +] = 10 ^ -pH.

Generalizaciones

Inversos parciales

La raíz cuadrada de x es una inversa parcial de f ( x ) = x ² .

Incluso si una función f no es uno-a-uno, puede ser posible definir una inversa parcial de f por la restricción del dominio. Por ejemplo, la función

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

no es uno a uno, ya que x ² = (- x ) ² . Sin embargo, la función se vuelve uno a uno si restringimos al dominio x ≥ 0 , en cuyo caso

${\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}.}$

(Si, en cambio, restringimos al dominio x ≤ 0 , entonces la inversa es el negativo de la raíz cuadrada de y .) Alternativamente, no hay necesidad de restringir el dominio si estamos contentos con que la inversa sea una función multivalor :

${\displaystyle f^{-1}(y)=\pm {\sqrt {y}}.}$

La inversa de esta función cúbica tiene tres ramas.

A veces, este inverso de valores múltiples se llama el inverso completo de f , y las porciones (como √ x y - √ x ) se denominan ramas . La rama más importante de una función multivalor (por ejemplo, la raíz cuadrada positiva) se llama rama principal , y su valor en y se llama valor principal de f ⁻¹ ( y ) .

Para una función continua en la línea real, se requiere una rama entre cada par de extremos locales . Por ejemplo, la inversa de una función cúbica con un máximo local y un mínimo local tiene tres ramas (ver la imagen adyacente).

El arcoseno es un inverso parcial de la función seno .

Estas consideraciones son particularmente importantes para definir las inversas de las funciones trigonométricas . Por ejemplo, la función seno no es uno a uno, ya que

${\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin(x)}$

para cada x real (y más generalmente sin ( x + 2 π n ) = sin ( x ) para cada entero n ). Sin embargo, el seno es uno a uno en el intervalo [-π/2, π/2] , y el inverso parcial correspondiente se llama arcoseno . Esta se considera la rama principal del seno inverso, por lo que el valor principal del seno inverso siempre está entre -π/2 y π/2. La siguiente tabla describe la rama principal de cada función trigonométrica inversa: ^[26]

función	Rango de valor principal habitual
arcos	-π/2≤ sin −1 ( x ) ≤π/2
arccos	0 ≤ cos −1 ( x ) ≤ π
arctan	-π/2<tan −1 ( x ) <π/2
arccot	0 <cot −1 ( x ) < π
segundos de arco	0 ≤ seg −1 ( x ) ≤ π
arccsc	-π/2≤ csc −1 ( x ) ≤π/2

Inversas izquierda y derecha

Las inversas izquierda y derecha no son necesariamente iguales. Si g es una inversa a la izquierda para f , entonces g puede o no ser una inversa a la derecha para f ; y si g es una inversa a la derecha para f , entonces g no es necesariamente una inversa a la izquierda para f . Por ejemplo, sea f : R → [0, ∞) el mapa de cuadratura, tal que f ( x ) = x ² para todo x en R , y sea g : [0, ∞) → Rdenotar el mapa de raíz cuadrada, tal que g ( x ) = √ x para todo x ≥ 0 . Entonces f ( g ( x )) = x para todo x en [0, ∞) ; es decir, g es una inversa a la derecha de f . Sin embargo, g no es un inverso a la izquierda af , ya que, por ejemplo, g ( f (−1)) = 1 ≠ −1 .

Inversas izquierdas

Si f : X → Y , una inversa a la izquierda para f (o retracción de f ) es una función g : Y → X tal que al componer f con g desde la izquierda se obtiene la función de identidad ^{[ cita requerida ]} :

${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}.}$

Es decir, la función g satisface la regla

Si entonces${\displaystyle f(x)=y}$${\displaystyle g(y)=x.}$

Por lo tanto, g debe ser igual a la inversa de f en la imagen de f , pero puede tomar cualquier valor para los elementos de Y que no están en la imagen.

Una función f es inyectiva si y solo si tiene un inverso a la izquierda o es la función vacía. ^{[ cita requerida ]}

Si g es la inversa izquierda de f , entonces f es inyectiva. Si f (x) = f (y) , entonces .${\displaystyle g(f(x))=g(f(y))=x=y}$

Si f: X → Y es inyectiva, f es la función vacía ( X = ∅ ) o tiene una inversa a la izquierda g: Y → X ( X ≠ ∅) , que se puede construir de la siguiente manera: para todo y ∈ Y , si y está en la imagen de f (existe x ∈ X tal que f (x) = y ), sea g (y) = x ( x es única porque f es inyectiva); de lo contrario, deja g (y) sea un elemento arbitrario de X . Para todo x ∈ X , f (x)está en la imagen de f , entonces g (f (x)) = x por arriba, entonces g es una inversa izquierda de f .

En matemáticas clásicas, toda función inyectiva f con un dominio no vacío tiene necesariamente una inversa a la izquierda; sin embargo, esto puede fallar en matemáticas constructivas . Por ejemplo, un inverso a la izquierda de la inclusión {0,1} → R del conjunto de dos elementos en los reales viola la indecomponibilidad al dar una retracción de la línea real al conjunto {0,1}  . ^{[ cita requerida ]}

Inversas derechas

Un inverso a la derecha para f (o sección de f ) es una función h : Y → X tal que ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle f\circ h=\operatorname {id} _{Y}.}$

Es decir, la función h satisface la regla

Si entonces${\displaystyle \displaystyle h(y)=x}$${\displaystyle \displaystyle f(x)=y.}$

Por tanto, h ( y ) puede ser cualquiera de los elementos de X que se mapean ay bajo f .

Una función f tiene una inversa derecha si y solo si es sobreyectiva (aunque la construcción de dicha inversa en general requiere el axioma de elección ).

Si h es la inversa derecha de f , entonces f es sobreyectiva. Para todos , existe tal que .${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle x=h(y)}$${\displaystyle f(x)=f(h(y))=y}$

Si f es sobreyectiva, f tiene una inversa derecha h , que se puede construir de la siguiente manera: para todos , hay al menos uno tal que (porque f es sobreyectiva), entonces elegimos uno para que sea el valor de h (y) . ^{[ cita requerida ]}${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f(x)=y}$

Inversas de dos caras

Un inverso que sea tanto inverso a la izquierda como a la derecha (un inverso de dos lados ), si existe, debe ser único. De hecho, si una función tiene una inversa a la izquierda y una inversa a la derecha, ambas son la misma inversa de dos lados, por lo que se puede llamar inversa .

Si es inversa por la izquierda y una inversa derecha , para todos , .${\displaystyle g}$${\displaystyle h}$${\displaystyle f}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle g(y)=g(f(h(y))=h(y)}$

Una función tiene una inversa de dos lados si y solo si es biyectiva.

Una función biyectiva f es inyectiva, por lo que tiene una inversa a la izquierda (si f es la función vacía, es su propia inversa a la izquierda). f es sobreyectiva, por lo que tiene una inversa a la derecha. Por lo anterior, el inverso izquierdo y derecho es el mismo.${\displaystyle f\colon \emptyset \to \emptyset }$

Si f tiene una g inversa de dos lados , entonces g es una inversa a la izquierda y una inversa a la derecha de f , por lo que f es inyectiva y sobreyectiva.

Imágenes previas

Si f : X → Y es cualquier función (no necesariamente invertible), la preimagen (o imagen inversa ) de un elemento y ∈ Y , es el conjunto de todos los elementos de X que se asignan a y : ^{[ cita requerida ]}

${\displaystyle f^{-1}(\{y\})=\left\{x\in X:f(x)=y\right\}.}$

La preimagen de y se puede considerar como la imagen de y bajo el inverso completo (multivalor) de la función f .

De manera similar, si S es cualquier subconjunto de Y , la preimagen de S , denotada , ^[4] es el conjunto de todos los elementos de X que se asignan a S :${\displaystyle f^{-1}(S)}$

${\displaystyle f^{-1}(S)=\left\{x\in X:f(x)\in S\right\}.}$

Por ejemplo, tome una función f : R → R , donde f : x ↦ x ² . Esta función no es invertible por las razones discutidas en § Ejemplo: Funciones de cuadratura y raíz cuadrada . Sin embargo, se pueden definir imágenes previas para subconjuntos del codominio:

${\displaystyle f^{-1}(\left\{1,4,9,16\right\})=\left\{-4,-3,-2,-1,1,2,3,4\right\}}$

La preimagen de un solo elemento y ∈ Y , un conjunto singleton { y }  , a veces se denomina fibra de y . Cuando Y es el conjunto de números reales, es común referirse a f ⁻¹ ({ y }) como un conjunto de niveles .

Ver también

• El teorema de la inversión de Lagrange , da la expansión en serie de Taylor de la función inversa de una función analítica
• Integral de funciones inversas
• Transformada inversa de Fourier
• Computación reversible

Notas

1. Es una práctica común, cuando no puede surgir ninguna ambigüedad, dejar el término "función" y simplemente referirse a un "inverso".
2. No debe confundirse con la exponenciación numérica, como tomar el inverso multiplicativo de un número real distinto de cero.
3. Por tanto, este término nunca se utiliza en esta convención.

Referencias

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2. Keisler, Howard Jerome . "Diferenciación" (PDF) . Consultado el 24 de enero de 2015 . §2.4
3. Scheinerman, Edward R. (2013). Matemáticas: una introducción discreta . Brooks / Cole . pag. 173. ISBN 978-0840049421.
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6. Weisstein, Eric W. "Función inversa" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 8 de septiembre de 2020 .
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8. Herschel, John Frederick William (1813) [12 de noviembre de 1812]. "Sobre una aplicación notable del teorema de Cotes" . Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres . Londres: Royal Society of London , impreso por W. Bulmer and Co., Cleveland-Row, St. James's, vendido por G. y W. Nicol, Pall-Mall. 103 (Parte 1): 8-26 [10]. doi : 10.1098 / rstl.1813.0005 . JSTOR 107384 . S2CID 118124706 .  
9. Herschel, John Frederick William (1820). "Parte III. Sección I. Ejemplos del método directo de diferencias" . Una colección de ejemplos de las aplicaciones del cálculo de diferencias finitas . Cambridge, Reino Unido: impreso por J. Smith, vendido por J. Deighton & sons. págs. 1-13 [5-6]. Archivado desde el original el 4 de agosto de 2020 . Consultado el 4 de agosto de 2020 . [1] (NB. Aquí, Herschel se refiere a su trabajo de 1813 y menciona el trabajo más antiguo de Hans Heinrich Bürmann ).
10. Peirce, Benjamin (1852). Curvas, funciones y fuerzas . I (nueva ed.). Boston, Estados Unidos. pag. 203.
11. Peano, Giuseppe (1903). Formulaire mathématique (en francés). IV . pag. 229.
12. Cajori, Florian (1952) [marzo de 1929]. "§472. La potencia de un logaritmo / §473. Logaritmos iterados / §533. Notación de John Herschel para funciones inversas / §535. Persistencia de notaciones rivales para funciones inversas / §537. Potencias de funciones trigonométricas". Una historia de notaciones matemáticas . 2 (3ª edición corregida del número de 1929, 2ª ed.). Chicago, Estados Unidos: Editorial Open Court . págs. 108, 176–179, 336, 346. ISBN 978-1-60206-714-1. Consultado el 18 de enero de 2016 . […] §473. Logaritmos iterados […] Observamos aquí el simbolismo utilizado por Pringsheim y Molk en su artículo conjunto de la Encyclopédie : " ² log _b  a = log _b (log _b  a ),…, ^{k +1} log _b  a = log _b ( ^k log _b  a ). " […] §533. Notación de John Herschel para funciones inversas, sin ⁻¹  x , tan ⁻¹  x, etc., fue publicado por él en Philosophical Transactions of London , para el año 1813. Dice ( p. 10 ): "Esta notación cos. ⁻¹  e no debe entenderse como 1 / cos.  e , sino lo que generalmente se escribe así, arco (cos. = e ) ". Admite que algunos autores utilizan cos. ^m  A para (cos.  A ) ^m , pero justifica su propia notación señalando que dado que d ²  x , Δ ³  x , Σ ²  x significa dd  x , ΔΔΔ  x , ΣΣ  x, deberíamos escribir pecado. ²  x por el pecado. pecado.  x , log. ³  x para registro. Iniciar sesión. Iniciar sesión.  x . Así como escribimos d ^{- n}  V = ∫ ⁿ  V, podemos escribir de manera similar sin. ⁻¹  x = arco (sin. = X ), log. ⁻¹  x . = C ^x . Algunos años después, Herschel explicó que en 1813 usó f ⁿ ( x ), f ^{- n} ( x ), sin. ⁻¹  x , etc. ", como supuso entonces por primera vez. El trabajo de un analista alemán,Sin embargo, Burmann ha llegado a su conocimiento en estos pocos meses, en los que se explica lo mismo en una fecha considerablemente anterior. Él [Burmann], sin embargo, no parece haber notado la conveniencia de aplicar esta idea a las funciones inversas tan ⁻¹ , etc., ni parece en absoluto consciente del cálculo inverso de funciones a las que da lugar ". Herschel añade: "La simetría de esta notación y, sobre todo, las nuevas y más amplias visiones que abre sobre la naturaleza de las operaciones analíticas parecen autorizar su adopción universal". ^[A] […] §535. Persistencia de notaciones rivales para la función inversa . - […] El uso de la notación de Herschel sufrió un ligero cambio en Benjamin Peircelibros, para eliminar la principal objeción a ellos; Peirce escribió: "cos ^[-1]  x ", "log ^[-1]  x ". ^[b] […] §537. Potencias de las funciones trigonométricas. —Se han utilizado tres notaciones principales para denotar, digamos, el cuadrado de sen  x , a saber, (sen  x ) ² , sen  x ² , sen ²  x . La notación predominante en la actualidad es sen ²  x , aunque es menos probable que la primera se malinterprete. En el caso de sen ²  x se sugieren dos interpretaciones; primero, sen  x · sen  x; segundo, ^[c] sen (sen  x ). Como las funciones del último tipo no suelen presentarse por sí mismas, el peligro de una mala interpretación es mucho menor que en el caso de log ²  x , donde log  x · log  x y log (log  x ) son frecuentes en el análisis. […] La notación sen ⁿ  x para (sen  x ) ⁿ ha sido ampliamente utilizada y ahora es la predominante. […] (xviii + 367 + 1 páginas incluyendo 1 página de adenda) (NB. ISBN y enlace para reimpresión de la 2da edición por Cosimo, Inc., Nueva York, EE. UU., 2013).
13. Smith, Eggen y St. Andre 2006 , p. 202, Teorema 4.9
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15. Fletcher y Patty 1988 , p. 116, Teorema 5.1
16. Lay 2006 , p. 69, ejemplo 7.24
17. Thomas 1972 , págs. 304-309
18. Korn, Grandino Arthur; Korn, Theresa M. (2000) [1961]. "21.2.-4. Funciones trigonométricas inversas". Manual de matemáticas para científicos e ingenieros: Definiciones, teoremas y formuladores para referencia y revisión (3 ed.). Mineola, Nueva York, EE.UU .: Dover Publications, Inc. p. 811 . ISBN 978-0-486-41147-7.
19. Oldham, Keith B .; Myland, Jan C .; Spanier, Jerome (2009) [1987]. Un Atlas de funciones: con Equator, la calculadora de funciones Atlas (2 ed.). Springer Science + Business Media, LLC . doi : 10.1007 / 978-0-387-48807-3 . ISBN 978-0-387-48806-6. LCCN  2008937525 .
20. Wolf , 1998 , p. 208, Teorema 7.2
21. Smith, Eggen y St. Andre 2006 , pág. 141 Teorema 3.3 (a)
22. Lay 2006 , p. 71, Teorema 7.26
23. Devlin 2004 , p. 101
24. Briggs y Cochran 2011 , págs. 28-29
25. Lay 2006 , p. 246, Teorema 26.10
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Bibliografía

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• Fletcher, Peter; Patty, C. Wayne (1988). Fundamentos de las matemáticas superiores . PWS-Kent. ISBN 0-87150-164-3.
• Lay, Steven R. (2006). Análisis / Con una introducción a la prueba (4 ed.). Pearson / Prentice Hall . ISBN 978-0-13-148101-5.
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• Thomas, Jr., George Brinton (1972). Cálculo y geometría analítica Parte 1: Funciones de una variable y geometría analítica (ed. Alternativa). Addison-Wesley .
• Wolf, Robert S. (1998). Prueba, lógica y conjetura / Caja de herramientas del matemático . WH Freeman and Co. ISBN 978-0-7167-3050-7.

Lectura adicional

• Amazigo, John C .; Rubenfeld, Lester A. (1980). "Funciones implícitas; jacobianos; funciones inversas". Cálculo avanzado y sus aplicaciones a la ingeniería y las ciencias físicas . Nueva York: Wiley. págs.  103 –120. ISBN 0-471-04934-4.
• Binmore, Ken G. (1983). "Funciones inversas". Cálculo . Nueva York: Cambridge University Press . págs. 161-197. ISBN 0-521-28952-1.
• Spivak, Michael (1994). Cálculo (3 ed.). Publicar o perecer. ISBN 0-914098-89-6.
• Stewart, James (2002). Cálculo (5 ed.). Brooks Cole . ISBN 978-0-534-39339-7.

Enlaces externos

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• Datos de Wikidata

• "Función inversa" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]