En matemáticas , la inversa de una función es una función que, de alguna manera, "deshace" el efecto de (ver función inversa para una definición formal y detallada). El inverso de se denota como , dónde si y solo si .
Sus dos derivadas, asumiendo que existen, son recíprocas , como sugiere la notación de Leibniz ; es decir:
Esta relación se obtiene diferenciando la ecuación en términos de xy aplicando la regla de la cadena , resultando que:
considerando que la derivada de x con respecto ax es 1.
Escribiendo explícitamente la dependencia de y sobre x , y el punto en el que tiene lugar la diferenciación, la fórmula para la derivada de la inversa se convierte (en la notación de Lagrange):
- .
Esta fórmula se mantiene en general siempre que es continua e inyectiva en un intervalo I , con siendo diferenciable en () y donde. [1] La misma fórmula también es equivalente a la expresión
dónde denota el operador derivado unario (en el espacio de funciones) y denota composición de funciones .
Geométricamente, una función y una función inversa tienen gráficos que son reflejos , en la línea. Esta operación de reflexión convierte el gradiente de cualquier línea en su recíproco . [2]
Asumiendo que tiene una inversa en un barrio de y que su derivada en ese punto no es cero, se garantiza que su inversa sea diferenciable en y tienen un derivado dado por la fórmula anterior.
Ejemplos de
- (para x positivo ) tiene inversa.
A , sin embargo, hay un problema: la gráfica de la función raíz cuadrada se vuelve vertical, correspondiente a una tangente horizontal para la función cuadrada.
- (para x real ) tiene inversa (por positivo )
Propiedades adicionales
- Integrar esta relación da
- Esto solo es útil si existe la integral. En particular necesitamos ser distinto de cero en todo el rango de integración.
- De ello se deduce que una función que tiene una derivada continua tiene una inversa en una vecindad de cada punto donde la derivada es distinta de cero. Esto no tiene por qué ser cierto si la derivada no es continua.
- Otra propiedad muy interesante y útil es la siguiente:
- Dónde denota la antiderivada de .
Derivadas superiores
La regla de la cadena dada anteriormente se obtiene diferenciando la identidadcon respecto ax . Se puede continuar el mismo proceso para derivados superiores. Diferenciando la identidad dos veces con respecto ax , se obtiene
que se simplifica aún más por la regla de la cadena como
Reemplazando la primera derivada, usando la identidad obtenida anteriormente, obtenemos
De manera similar para la tercera derivada:
o usando la fórmula para la segunda derivada,
Estas fórmulas están generalizadas por la fórmula de Faà di Bruno .
Estas fórmulas también se pueden escribir utilizando la notación de Lagrange. Si f y g son inversas, entonces
Ejemplo
- tiene la inversa . Usando la fórmula para la segunda derivada de la función inversa,
así que eso
- ,
que concuerda con el cálculo directo.
Ver también
Referencias
- ^ "Derivada de funciones inversas (también conocido como, cómo crear su propia tabla de derivadas)" . Bóveda de matemáticas . 2016-02-28 . Consultado el 26 de julio de 2019 .
- ^ "Derivadas de funciones inversas" . oregonstate.edu . Consultado el 26 de julio de 2019 .