En matemáticas , la relación inversa , o transposición , de una relación binaria es la relación que ocurre cuando el orden de los elementos cambia en la relación. Por ejemplo, el recíproco de la relación 'hijo de' es la relación 'padre de'. En términos formales, si X e Y son conjuntos y L ⊆ X × Y es una relación de X a Y , entonces L T es la relación definida de modo que y L T x si y solo si x L y . En notación de constructor de conjuntos ,L T = {( y, x ) ∈ Y × X | ( x, y ) ∈ L } .
La notación es análoga a la de una función inversa . Aunque muchas funciones no tienen una inversa, cada relación tiene una inversa única. La operación unaria que mapea una relación con la relación inversa es una involución , por lo que induce la estructura de un semigrupo con involución en las relaciones binarias de un conjunto o, más generalmente, induce una categoría de puñal en la categoría de relaciones como se detalla a continuación. . Como operación unaria , tomar el inverso (a veces llamado conversión o transposición ) conmuta con las operaciones relacionadas con el orden del cálculo de relaciones, es decir, conmuta con unión, intersección y complemento.
La relación inversa también se denomina relación de transposición , esta última en vista de su similitud con la transposición de una matriz. [1] También se ha llamado el opuesto o dual de la relación original, [2] o la inversa de la relación original, [3] [4] [5] o el recíproco L ° de la relación L . [6]
Otras notaciones para la relación inversa incluyen L C , L –1 , L ~ ,, L ° o L ∨ .
Ejemplos de
Para las relaciones de orden habituales (tal vez estrictas o parciales) , lo contrario es el orden "opuesto" ingenuamente esperado, por ejemplo,
Una relación puede estar representada por una matriz lógica como
Entonces la relación inversa está representada por su matriz de transposición :
Los recíprocos de las relaciones de parentesco se denominan: " A es un hijo de B " tiene el recíproco " B es un padre de A ". " A es sobrino o sobrina de B " tiene el recíproco " B es tío o tía de A ". La relación " A es un hermano de B " es su propia inversa, ya que es una relación simétrica.
En la teoría de conjuntos, es de suponer un universo U del discurso, y una relación fundamental de la calidad de miembro determinada x ∈ A cuando A es un subconjunto de U . El conjunto de potencias de todos los subconjuntos de U es el dominio del inverso
Propiedades
En el monoide de las endorrelaciones binarias en un conjunto (siendo la operación binaria sobre las relaciones la composición de las relaciones ), la relación inversa no satisface la definición de una inversa de la teoría de grupos, es decir, si L es una relación arbitraria sobre X , entoncesno es igual a la relación de identidad en X en general. La relación inversa satisface los axiomas (más débiles) de un semigrupo con involución : y . [7]
Dado que generalmente se pueden considerar relaciones entre diferentes conjuntos (que forman una categoría en lugar de un monoide, es decir, la categoría de relaciones Rel ), en este contexto la relación inversa se ajusta a los axiomas de una categoría de daga (también conocida como categoría con involución). [7] Una relación igual a su recíproca es una relación simétrica ; en el lenguaje de las categorías de daga, es autoadjunta .
Además, el semigrupo de endorrelaciones de un conjunto es también una estructura parcialmente ordenada (con inclusión de relaciones como conjuntos) y, en realidad, un cuantale involutivo . De manera similar, la categoría de relaciones heterogéneas , Rel es también una categoría ordenada. [7]
En el cálculo de relaciones , la conversión (la operación unaria de tomar la relación inversa) conmuta con otras operaciones binarias de unión e intersección. La conversión también conmuta con la operación unaria de complementación , así como con la toma de suprema e infima. La conversión también es compatible con el ordenamiento de las relaciones por inclusión. [1]
Si una relación es reflexiva , irreflexive , simétrica , antisimétrica , asimétrica , transitiva , conectado , tricotómica , un orden parcial , orden total , estricto orden débil , preorden total de (orden débil), o un relación de equivalencia , su recíproco es demasiado.
Inversos
Si I representa la relación de identidad, entonces una relación R puede tener una inversa como sigue:
- Una relación R se llama invertible a la derecha si existe una relación X con , e invertible a la izquierda si existe una Y con . Entonces X e Y se denominan inversa derecha e izquierda de R , respectivamente. Las relaciones invertibles derecha e izquierda se denominan invertibles . Para relaciones homogéneas invertibles coinciden todas las inversas derecha e izquierda; se utiliza la noción inversa R –1 . Entonces R –1 = R T se cumple. [1] : 79
Relación inversa de una función
Una función es invertible si y solo si su relación inversa es una función, en cuyo caso la relación inversa es la función inversa.
La relación inversa de una función es la relación definido por el .
Esto no es necesariamente una función: una condición necesaria es que sea inyectable , ya que si notiene varios valores . Esta condición es suficiente parasiendo una función parcial , y está claro queentonces es una función (total) si y solo si es sobreyectiva . En ese caso, es decir, sies biyectiva ,puede llamarse la función inversa de.
Por ejemplo, la función tiene la función inversa .
Sin embargo, la función tiene la relación inversa , que no es una función, es multivalor.
Ver también
- Transponer gráfico
Referencias
- ^ a b c Gunther Schmidt; Thomas Ströhlein (1993). Relaciones y gráficos: matemáticas discretas para informáticos . Springer Berlín Heidelberg. pp. 9 -10. ISBN 978-3-642-77970-1.
- ^ Celestina Cotti Ferrero; Giovanni Ferrero (2002). Pendientes: algunos desarrollos vinculados a semigrupos y grupos . Editores académicos de Kluwer. pag. 3. ISBN 978-1-4613-0267-4.
- ^ Daniel J. Velleman (2006). Cómo demostrarlo: un enfoque estructurado . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 173. ISBN 978-1-139-45097-3.
- ^ Shlomo Sternberg; Lynn Loomis (2014). Cálculo avanzado . Compañía Editorial Científica Mundial. pag. 9. ISBN 978-9814583930.
- ^ Rosen, Kenneth H. (2017). Manual de matemáticas discretas y combinatorias . Rosen, Kenneth H., Shier, Douglas R., Goddard, Wayne. (Segunda ed.). Boca Raton, FL. pag. 43. ISBN 978-1-315-15648-4. OCLC 994604351 .
- ^ Peter J. Freyd y Andre Scedrov (1990) Categorías, Alegorías, página 79, Holanda del Norte ISBN 0-444-70368-3
- ^ a b c Joachim Lambek (2001). "Relaciones viejas y nuevas". En Ewa Orłowska ; Andrzej Szalas (eds.). Métodos relacionales para aplicaciones informáticas . Springer Science & Business Media. págs. 135-146. ISBN 978-3-7908-1365-4.
- Halmos, Paul R. (1974), Teoría de conjuntos ingenua , p. 40 , ISBN 978-0-387-90092-6