Existen varias notaciones para las funciones trigonométricas inversas. La convención más común es nombrar funciones trigonométricas inversas usando un prefijo de arco : arcsin ( x ) , arccos ( x ) , arctan ( x ) , etc. [10] [6] (Esta convención se usa a lo largo de este artículo). La notación surge de las siguientes relaciones geométricas: [ cita requerida ] cuando se mide en radianes, un ángulo de θ radianes corresponderá a un arco cuya longitud es rθ , donde r es el radio del círculo. Así, en el círculo unitario , "el arco cuyo coseno es x " es lo mismo que "el ángulo cuyo coseno es x ", porque la longitud del arco del círculo en radios es la misma que la medida del ángulo en radianes. [12] En los lenguajes de programación de computadoras, las funciones trigonométricas inversas a menudo se denominan con las formas abreviadas asin, acos, atan. [13]
Las notaciones sin −1 ( x ) , cos −1 ( x ) , tan −1 ( x ) , etc., como las introdujo John Herschel en 1813, [14] [15] también se utilizan a menudo en fuentes en inglés. [6]: convenciones consistentes con la notación de una función inversa . Esto puede parecer que entra en conflicto lógicamente con la semántica común para expresiones como sin 2 ( x ) , que se refieren al poder numérico en lugar de a la composición de funciones y, por lo tanto, puede resultar en una confusión entre el inverso multiplicativo o el recíproco y el inverso compositivo . [16] La confusión se mitiga un poco por el hecho de que cada una de las funciones trigonométricas recíprocas tiene su propio nombre, por ejemplo, (cos ( x )) −1 = sec ( x ) . Sin embargo, algunos autores desaconsejan su uso por su ambigüedad. [6] [17] Otra convención usada por algunos autores es usar una primera letra mayúscula , junto con un superíndice −1 : Sin −1 ( x ) , Cos −1 ( x ) , Tan −1 ( x ) , etc. . [18] Esto potencialmente evita la confusión con el inverso multiplicativo, que debería estar representado por sin −1 ( x ) , cos −1 ( x ) , etc.
Desde 2009, la norma ISO 80000-2 ha especificado únicamente el prefijo "arco" para las funciones inversas.
Conceptos básicos
Valores principales
Dado que ninguna de las seis funciones trigonométricas es uno a uno , deben restringirse para tener funciones inversas. Por lo tanto, los rangos de las funciones inversas son subconjuntos propios de los dominios de las funciones originales.
Por ejemplo, usando función en el sentido de funciones multivalor , así como la función raíz cuadrada y = √ x podría definirse a partir de y 2 = x , la función y = arcsin ( x ) se define de modo que sin ( y ) = x . Para un número real dado x , con −1 ≤ x ≤ 1 , hay múltiples (de hecho, numerables infinitos) números y tales que sin ( y ) = x ; por ejemplo, sin (0) = 0 , pero también sin (π) = 0 , sin (2π) = 0 , etc. Cuando solo se desea un valor, la función puede restringirse a su rama principal . Con esta restricción, para cada x en el dominio, la expresión arcsin ( x ) evaluará solo a un valor único, llamado su valor principal . Estas propiedades se aplican a todas las funciones trigonométricas inversas.
Las principales inversas se enumeran en la siguiente tabla.
(Nota: algunos autores [ cita requerida ] definen el rango de arcosecante como (0 ≤ y < π/2o π ≤ y < 3 π/2), porque la función tangente no es negativa en este dominio. Esto hace que algunos cálculos sean más consistentes. Por ejemplo, usando este rango, tan (arcsec ( x )) = √ x 2 - 1 , mientras que con el rango (0 ≤ y < π/2 o π/2< y ≤ π ), tendríamos que escribir tan (arcsec ( x )) = ± √ x 2 - 1 , ya que la tangente no es negativa en 0 ≤ y < π/2, pero no positivo en π/2< y ≤ π . Por una razón similar, los mismos autores definen el rango de arcososecante como - π < y ≤ - π/2o 0 < y ≤ π/2.)
Si se permite que x sea un número complejo , entonces el rango de y se aplica solo a su parte real.
Soluciones generales
Cada una de las funciones trigonométricas es periódica en la parte real de su argumento, recorriendo todos sus valores dos veces en cada intervalo de 2 π :
El seno y la cosecante comienzan su período en 2 π k - π/2(donde k es un número entero), termínelo en 2 π k + π/2, y luego se invierten sobre 2 π k + π/2hasta 2 π k + 3 π/2.
El coseno y la secante comienzan su período en 2 π k , lo terminan en 2 π k + π y luego se invierten sobre 2 π k + π a 2 π k + 2 π .
La tangente comienza su período en 2 π k - π/2, lo termina en 2 π k + π/2, y luego lo repite (hacia adelante) sobre 2 π k + π/2hasta 2 π k + 3 π/2.
La cotangente comienza su período en 2 π k , lo termina en 2 π k + π y luego lo repite (hacia adelante) sobre 2 π k + π a 2 π k + 2 π .
Esta periodicidad se refleja en las inversas generales, donde k es un número entero.
La tabla siguiente muestra cómo funciones trigonométricas inversas pueden ser utilizados para resolver igualdades que implican las seis funciones trigonométricas estándar, donde se supone que r , s , x , y y todos se encuentran dentro del rango apropiado.
El símbolo ⇔ es igualdad lógica . La expresión "LHS ⇔ RHS" indica que o bien (a) el lado izquierdo (es decir, LHS) y derecho de la parte (es decir, RHS) son tanto verdad, o bien (b) el lado izquierdo y lado derecho son ambos false; no hay ninguna opción (c) (por ejemplo, es no posible que la declaración LHS es cierto, y también al mismo tiempo por la declaración RHS a falso), porque de lo contrario "LHS ⇔ RHS" no habría sido escrito (ver esta nota [nota 1 ] para ver un ejemplo que ilustra este concepto).
Condición
Solución
dónde...
pecado θ = y
⇔
θ = (-1) k arcosin ( y ) + π k
para algunos k ∈ ℤ
⇔
θ = arcosen ( y ) + 2 π k o θ = - arcosen ( y ) + 2 π k + π
para algunos k ∈ ℤ
csc θ = r
⇔
θ = (-1) k arccsc ( r ) + π k
para algunos k ∈ ℤ
⇔
θ = arccsc ( y ) + 2 π k o θ = - arccsc ( y ) + 2 π k + π
para algunos k ∈ ℤ
cos θ = x
⇔
θ = ± arcos ( x ) + 2 π k
para algunos k ∈ ℤ
⇔
θ = arccos ( x ) + 2 π k o θ = - arccos ( x ) + 2 π k + 2 π
para algunos k ∈ ℤ
seg θ = r
⇔
θ = ± segundos de arco ( r ) + 2 π k
para algunos k ∈ ℤ
⇔
θ = segundos de arco ( x ) + 2 π k o θ = - segundos de arco ( x ) + 2 π k + 2 π
para algunos k ∈ ℤ
tan θ = s
⇔
θ = arctan ( s ) + π k
para algunos k ∈ ℤ
cuna θ = r
⇔
θ = arco ( r ) + π k
para algunos k ∈ ℤ
Funciones trigonométricas idénticas iguales
En la siguiente tabla, mostramos cómo dos ángulos θ y φ deben estar relacionados, si sus valores bajo una función trigonométrica dada son iguales o negativos entre sí.
Igualdad
Solución
dónde...
También una solución para
pecado θ
=
pecado φ
⇔
θ =
(-1) k
φ
+
π k
para algunos k ∈ ℤ
csc θ = csc φ
porque θ
=
porque φ
⇔
θ =
±
φ
+
2
π k
para algunos k ∈ ℤ
seg θ = seg φ
bronceado θ
=
bronceado φ
⇔
θ =
φ
+
π k
para algunos k ∈ ℤ
cuna θ = cuna φ
- pecado θ
=
pecado φ
⇔
θ =
(-1) k +1
φ
+
π k
para algunos k ∈ ℤ
csc θ = - csc φ
- cos θ
=
porque φ
⇔
θ =
±
φ
+
2
π k
+ π
para algunos k ∈ ℤ
seg θ = - seg φ
- bronceado θ
=
bronceado φ
⇔
θ =
-
φ
+
π k
para algunos k ∈ ℤ
cuna θ = - cuna φ
| pecado θ |
=
| pecado φ |
⇔
θ =
±
φ
+
π k
para algunos k ∈ ℤ
| tan θ | = | tan φ |
⇕
| csc θ | = | csc φ |
| cos θ |
=
| cos φ |
| sec θ | = | sec φ |
| cuna θ | = | cuna φ |
Relaciones entre funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas
Las funciones trigonométricas de las funciones trigonométricas inversas se tabulan a continuación. Una forma rápida de derivarlos es considerando la geometría de un triángulo rectángulo, con un lado de longitud 1 y otro lado de longitud x , luego aplicando el teorema de Pitágoras y las definiciones de las razones trigonométricas. Las derivaciones puramente algebraicas son más largas. [ cita requerida ] Vale la pena señalar que para arcsecant y arcososecante, el diagrama asume que x es positivo y, por lo tanto, el resultado debe corregirse mediante el uso de valores absolutos y la operación signum (sgn).
Diagrama
Relaciones entre las funciones trigonométricas inversas
Los valores principales habituales de las funciones arcsin ( x ) (rojo) y arccos ( x ) (azul) se grafican en el plano cartesiano.
Los valores principales habituales de las funciones arctan ( x ) y arccot ( x ) se grafican en el plano cartesiano.
Los valores principales de las funciones arcsec ( x ) y arccsc ( x ) se grafican en el plano cartesiano.
Ángulos complementarios:
Argumentos negativos:
Argumentos recíprocos:
Identidades útiles si solo se tiene un fragmento de una tabla sinusoidal:
Siempre que se use aquí la raíz cuadrada de un número complejo, elegimos la raíz con la parte real positiva (o la parte imaginaria positiva si el cuadrado es real negativo).
Un formulario útil que se deriva directamente de la tabla anterior es
.
Se obtiene reconociendo que .
De la fórmula de medio ángulo ,, obtenemos:
Fórmula de adición arcangente
Esto se deriva de la fórmula de adición de tangente
Dejando
En cálculo
Derivadas de funciones trigonométricas inversas
Las derivadas para valores complejos de z son las siguientes:
Solo para valores reales de x :
Para una derivación de muestra: si , obtenemos:
Expresión como integrales definidas
Integrar la derivada y fijar el valor en un punto da una expresión para la función trigonométrica inversa como una integral definida:
Cuando x es igual a 1, las integrales con dominios limitados son integrales impropias , pero aún así están bien definidas.
Series infinitas
De manera similar a las funciones seno y coseno, las funciones trigonométricas inversas también se pueden calcular usando series de potencias , como sigue. Para arcoseno, la serie se puede derivar expandiendo su derivada,, como una serie binomial , e integrando término por término (usando la definición integral como arriba). La serie para arcangente se puede derivar de manera similar expandiendo su derivadaen una serie geométrica , y aplicando la definición integral anterior (ver serie de Leibniz ).
Las series para las otras funciones trigonométricas inversas se pueden dar en términos de estas de acuerdo con las relaciones dadas anteriormente. Por ejemplo,, , y así. Otra serie viene dada por: [19]
Leonhard Euler encontró una serie para el arcangente que converge más rápidamente que su serie de Taylor :
[20]
(El término en la suma para n = 0 es el producto vacío , entonces es 1.)
Alternativamente, esto se puede expresar como
Otra serie para la función arcotangente viene dada por
dónde es la unidad imaginaria . [21]
Fracciones continuas para arcangente
Dos alternativas a la serie de potencias para arcangentes son estas fracciones continuas generalizadas :
El segundo de ellos es válido en el plano complejo de corte. Hay dos cortes, desde - i hasta el punto en el infinito, bajando por el eje imaginario, y desde i hasta el punto en el infinito, subiendo por el mismo eje. Funciona mejor para números reales que van de -1 a 1. Los denominadores parciales son los números naturales impares, y los numeradores parciales (después del primero) son solo ( nz ) 2 , y cada cuadrado perfecto aparece una vez. El primero fue desarrollado por Leonhard Euler ; el segundo de Carl Friedrich Gauss utilizando la serie hipergeométrica gaussiana .
Integrales indefinidas de funciones trigonométricas inversas
Para valores reales y complejos de z :
Para x real ≥ 1:
Para todo real x no entre -1 y 1:
El valor absoluto es necesario para compensar los valores negativos y positivos de las funciones arcosecante y arcosecante. La función signum también es necesaria debido a los valores absolutos en las derivadas de las dos funciones, que crean dos soluciones diferentes para valores positivos y negativos de x. Estos se pueden simplificar aún más utilizando las definiciones logarítmicas de las funciones hiperbólicas inversas :
El valor absoluto en el argumento de la función arcosh crea una mitad negativa de su gráfica, haciéndola idéntica a la función logarítmica signum que se muestra arriba.
Todas estas antiderivadas se pueden derivar usando la integración por partes y las formas derivadas simples que se muestran arriba.
Ejemplo
Utilizando (es decir, integración por partes ), establecer
Luego
que por la simple sustitución produce el resultado final:
Extensión a plano complejo
Una superficie de Riemann para el argumento de la relación tan z = x . La hoja naranja en el medio es la hoja principal que representa arctan x . La hoja azul arriba y la hoja verde abajo están desplazadas por 2 π y −2 π respectivamente.
Dado que las funciones trigonométricas inversas son funciones analíticas , pueden extenderse desde la línea real al plano complejo. Esto da como resultado funciones con múltiples hojas y puntos de ramificación . Una forma posible de definir la extensión es:
donde la parte del eje imaginario que no se encuentra estrictamente entre los puntos de ramificación (−i y + i) es el corte de ramificación entre la hoja principal y otras hojas. La trayectoria de la integral no debe cruzar un corte de rama. Para z no en un corte de rama, un camino en línea recta de 0 a z es un camino de este tipo. Para z en un corte de rama, la trayectoria debe aproximarse desde Re [x]> 0 para el corte de rama superior y desde Re [x] <0 para el corte de rama inferior.
La función arcoseno se puede definir como:
donde (la función de raíz cuadrada tiene su corte a lo largo del eje real negativo y) la parte del eje real que no se encuentra estrictamente entre -1 y +1 es la rama cortada entre la hoja principal de arcsin y otras hojas;
que tiene el mismo corte que arcsin;
que tiene el mismo corte que arctan;
donde la parte del eje real entre -1 y +1 inclusive es el corte entre la hoja principal de arcsec y otras hojas;
que tiene el mismo corte que arcsec .
Formas logarítmicas
Estas funciones también se pueden expresar utilizando logaritmos complejos . Esto extiende sus dominios al plano complejo de forma natural. Las siguientes identidades para los valores principales de las funciones se mantienen en todos los lugares donde se definen, incluso en sus cortes de rama.
Generalización
Debido a que todas las funciones trigonométricas inversas generan un ángulo de un triángulo rectángulo, se pueden generalizar usando la fórmula de Euler para formar un triángulo rectángulo en el plano complejo. Algebraicamente, esto nos da:
o
dónde es el lado adyacente, es el lado opuesto, y es la hipotenusa. A partir de aquí, podemos resolver.
o
Simplemente tomar la parte imaginaria funciona para cualquier valor real. y , pero si o tiene un valor complejo, tenemos que usar la ecuación final para que no se excluya la parte real del resultado. Dado que la longitud de la hipotenusa no cambia el ángulo, ignorando la parte real de también elimina de la ecuación. En la ecuación final, vemos que el ángulo del triángulo en el plano complejo se puede encontrar ingresando las longitudes de cada lado. Al establecer uno de los tres lados igual a 1 y uno de los lados restantes igual a nuestra entrada, obtenemos una fórmula para una de las funciones trigonométricas inversas, para un total de seis ecuaciones. Debido a que las funciones trigonométricas inversas requieren solo una entrada, debemos poner el lado final del triángulo en términos de los otros dos usando la relación del Teorema de Pitágoras
La siguiente tabla muestra los valores de a, byc para cada una de las funciones trigonométricas inversas y las expresiones equivalentes para que resultan de insertar los valores en las ecuaciones anteriores y simplificar.
En este sentido, todas las funciones trigonométricas inversas se pueden considerar como casos específicos de la función logarítmica de valores complejos. Dado que esta definición funciona para cualquier valor complejo, esta definición permite ángulos hiperbólicos como salidas y se puede utilizar para definir más las funciones hiperbólicas inversas . Las pruebas elementales de las relaciones también pueden proceder a través de la expansión a formas exponenciales de las funciones trigonométricas.
Prueba de ejemplo
Usando la definición exponencial de seno , se obtiene
Dejar
Resolviendo para
(se elige la rama positiva)
Gráficos de rueda de color de funciones trigonométricas inversas en el plano complejo
Aplicaciones
Aplicación: encontrar el ángulo de un triángulo rectángulo
Un triángulo rectángulo.
Las funciones trigonométricas inversas son útiles cuando se trata de determinar los dos ángulos restantes de un triángulo rectángulo cuando se conocen las longitudes de los lados del triángulo. Recordando las definiciones de triángulo rectángulo de seno y coseno, se deduce que
A menudo, la hipotenusa es desconocida y debería calcularse antes de usar arcoseno o arcocoseno usando el Teorema de Pitágoras : dónde es la longitud de la hipotenusa. Arctangent es útil en esta situación, ya que no se necesita la longitud de la hipotenusa.
Por ejemplo, suponga que un techo cae 8 pies cuando se extiende 20 pies. El techo forma un ángulo θ con la horizontal, donde θ se puede calcular de la siguiente manera:
En informática e ingeniería
Variante de dos argumentos de arcangente
La función atan2 de dos argumentos calcula el arcotangente de y / x dados y y x , pero con un rango de (- π , π ]. En otras palabras, atan2 ( y , x ) es el ángulo entre el eje x positivo de un plano y el punto ( x , y ) en él, con signo positivo para ángulos en sentido antihorario (semiplano superior, y > 0), y signo negativo para ángulos en sentido horario (semiplano inferior, y <0). se introdujo por primera vez en muchos lenguajes de programación de computadoras, pero ahora también es común en otros campos de la ciencia y la ingeniería.
En términos de la función arctan estándar , es decir, con un rango de (- π/2, π/2), se puede expresar de la siguiente manera:
También es igual al valor principal del argumento del número complejo x + i y .
Esta función también se puede definir utilizando las fórmulas de medio ángulo tangente de la siguiente manera:
siempre que x > 0 o y ≠ 0. Sin embargo, esto falla si se da x ≤ 0 e y = 0, por lo que la expresión no es adecuada para uso computacional.
El orden de los argumentos anteriores ( y , x ) parece ser el más común y, en particular, se usa en estándares ISO como el lenguaje de programación C , pero algunos autores pueden usar la convención opuesta ( x , y ), por lo que se requiere cierta precaución. . Estas variaciones se detallan en atan2 .
Función arcangente con parámetro de ubicación
En muchas aplicaciones [22] la solución de la ecuación es acercarse lo más posible a un valor dado . La solución adecuada es producida por el parámetro función arcangente modificada
La función redondea al número entero más cercano.
Precisión numérica
Para ángulos cercanos a 0 y π , el arcocoseno está mal acondicionado y, por lo tanto, calculará el ángulo con una precisión reducida en una implementación de computadora (debido al número limitado de dígitos). [23] De manera similar, el arcoseno es inexacto para ángulos cercanos a - π / 2 y π / 2.
Ver también
Exsecante inverso
Versino inverso
Funciones hiperbólicas inversas
Lista de integrales de funciones trigonométricas inversas
Lista de identidades trigonométricas
Funcion trigonometrica
Funciones trigonométricas de matrices
Notas
^ Para aclarar, suponga que está escrito "LHS ⇔ RHS" donde LHS (que abrevia "Lado izquierdo") y RHS son declaraciones que individualmente pueden ser verdaderas o falsas. Por ejemplo, si θ y s son algunos números dados y fijos y si se escribe lo siguiente:
tan θ = s ⇔ θ = arctan ( s ) + π k para algunos k ∈ ℤ
entonces LHS es la declaración " tan θ = s ". Dependiendo de qué valores específicos theta y s tienen, esta declaración puede LHS ya sea verdadera o falsa. Por ejemplo, LHS es verdadero si θ = 0 y s = 0 (porque en este caso tan θ = tan 0 = 0 = s ) pero LHS es falso si θ = 0 y s = 2 (porque en este caso tan θ = tan 0 = 0 que no es igual as = 2 ); más generalmente, LHS es falso si θ = 0 y s s 0 . De manera similar, RHS es la declaración " θ = arctan ( s ) + π k para algunos k ∈ ℤ ". La declaración RHS también puede ser verdadera o falsa (como antes, si la declaración RHS es verdadera o falsa depende de los valores específicos θ y s ). El símbolo de igualdad lógica ⇔ significa que (a) si la declaración LHS es verdadera, entonces la declaración RHS también es necesariamente verdadera, y además (b) si la declaración LHS es falsa, entonces la declaración RHS también es necesariamente falsa. De manera similar, ⇔ también significa que (c) si la declaración RHS es verdadera, entonces la declaración LHS también es necesariamente verdadera, y además (d) si la declaración RHS es falsa, entonces la declaración LHS también es necesariamente falsa.
Referencias
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enlaces externos
Weisstein, Eric W. "Tangente inversa" . MathWorld .