En álgebra abstracta , un elemento no unitario distinto de cero en un dominio integral se dice que es irreductible si no es un producto de dos no unidades , o de manera equivalente, si cada factorización de dicho elemento contiene al menos una unidad.
Relación con elementos primos
Los elementos irreducibles no deben confundirse con los elementos primarios . (Un elemento no unitario distinto de ceroen un anillo conmutativo se llama primo si, siempre que para algunos y en luego o ) En un dominio integral , todo elemento primo es irreductible, [1] [2] pero lo contrario no es cierto en general. Lo contrario es cierto para los dominios de factorización únicos [2] (o, de manera más general, los dominios GCD ).
Además, mientras que un ideal generado por un elemento primario es un ideal primario , no es cierto en general que un ideal generado por un elemento irreductible sea un ideal irreductible . Sin embargo, si es un dominio GCD y es un elemento irreductible de , entonces, como se señaló anteriormente es primo, por lo que el ideal generado por es un ideal primo (por lo tanto irreductible) de . [3]
Ejemplo
En el anillo entero cuadrático se puede demostrar usando argumentos normativos que el número 3 es irreductible. Sin embargo, no es un elemento principal en este anillo ya que, por ejemplo,
pero 3 no divide ninguno de los dos factores. [4]
Ver también
Referencias
- ^ Considere un elemento primordial de y supongo Luego o Decir entonces nosotros tenemos Porque es un dominio integral que tenemos Entonces es una unidad y es irreductible.
- ↑ a b Sharpe (1987) p.54
- ^ "Copia archivada" . Archivado desde el original el 20 de junio de 2010 . Consultado el 18 de marzo de 2009 .Mantenimiento de CS1: copia archivada como título ( enlace )
- ^ William W. Adams y Larry Joel Goldstein (1976), Introducción a la teoría de números , p. 250, Prentice-Hall, Inc., ISBN 0-13-491282-9
- Sharpe, David (1987). Anillos y factorización . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-33718-6. Zbl 0674.13008 .