En matemáticas , un isomorfismo es un mapeo que preserva la estructura entre dos estructuras del mismo tipo que puede revertirse mediante un mapeo inverso . Dos estructuras matemáticas son isomorfas si existe un isomorfismo entre ellas. La palabra isomorfismo se deriva del griego antiguo : ἴσος isos "igual" y μορφή morphe "forma" o "forma".
El interés por los isomorfismos radica en el hecho de que dos objetos isomorfos tienen las mismas propiedades (excluyendo información adicional como estructura adicional o nombres de objetos). Por tanto, las estructuras isomorfas no pueden distinguirse desde el punto de vista de la estructura únicamente y pueden identificarse. En jerga matemática, se dice que dos objetos son iguales hasta un isomorfismo . [ cita requerida ]
Un automorfismo es un isomorfismo de una estructura a sí mismo. Un isomorfismo entre dos estructuras es un isomorfismo canónico (un mapa canónico que es un isomorfismo) si solo hay un isomorfismo entre las dos estructuras (como es el caso de las soluciones de una propiedad universal ), o si el isomorfismo es mucho más natural (en cierto sentido) que otros isomorfismos. Por ejemplo, para cada número primo p , todos los campos con p elementos son canónicamente isomorfos, con un isomorfismo único. Los teoremas del isomorfismo proporcionan isomorfismos canónicos que no son únicos.
El término isomorfismo se usa principalmente para estructuras algebraicas . En este caso, los mapeos se denominan homomorfismos , y un homomorfismo es un isomorfismo si y solo si es biyectivo .
En diversas áreas de las matemáticas, los isomorfismos han recibido nombres especializados, según el tipo de estructura que se considere. Por ejemplo:
- Una isometría es un isomorfismo de espacios métricos .
- Un homeomorfismo es un isomorfismo de espacios topológicos .
- Un difeomorfismo es un isomorfismo de espacios equipados con una estructura diferencial , típicamente variedades diferenciables .
- Una permutación es un automorfismo de un conjunto .
- En geometría , los isomorfismos y automorfismos a menudo se denominan transformaciones , por ejemplo , transformaciones rígidas , transformaciones afines , transformaciones proyectivas .
La teoría de categorías , que puede verse como una formalización del concepto de mapeo entre estructuras, proporciona un lenguaje que puede usarse para unificar el enfoque de estos diferentes aspectos de la idea básica.
Ejemplos de
Logaritmo y exponencial
Dejar ser el grupo multiplicativo de números reales positivos , y sea ser el grupo aditivo de números reales.
La función logaritmo satisface para todos , por lo que es un homomorfismo de grupo . La función exponencial satisface para todos , por lo que también es un homomorfismo.
Las identidades y muestra esa y son inversos el uno del otro. Desde es un homomorfismo que tiene una inversa que también es un homomorfismo, es un isomorfismo de grupos.
La La función es un isomorfismo que traduce la multiplicación de números reales positivos en la suma de números reales. Esta función permite multiplicar números reales usando una regla y una tabla de logaritmos , o usando una regla de cálculo con escala logarítmica.
Enteros módulo 6
Considere el grupo , los enteros de 0 a 5 con módulo de suma 6. También considere el grupo, los pares ordenados donde las coordenadas x pueden ser 0 o 1, y las coordenadas y pueden ser 0, 1 o 2, donde la suma en la coordenada x es módulo 2 y la suma en la coordenada y es módulo 3.
Estas estructuras son isomorfas bajo adición, bajo el siguiente esquema:
- (0,0) ↦ 0
- (1,1) ↦ 1
- (0,2) ↦ 2
- (1,0) ↦ 3
- (0,1) ↦ 4
- (1,2) ↦ 5
o en general ( a , b ) ↦ (3 a + 4 b ) mod 6.
Por ejemplo, (1,1) + (1,0) = (0,1) , que se traduce en el otro sistema como 1 + 3 = 4 .
Aunque estos dos grupos "parecen" diferentes en el sentido de que los conjuntos contienen elementos diferentes, son de hecho isomorfos : sus estructuras son exactamente las mismas. De manera más general, el producto directo de dos grupos cíclicos y es isomorfo a si y sólo si m y n son primos entre sí , por el teorema chino del resto .
Isomorfismo que preserva la relación
Si un objeto consta de un conjunto X con una relación binaria R y el otro objeto consta de un conjunto Y con una relación binaria S, entonces un isomorfismo de X a Y es una función biyectiva ƒ: X → Y tal que: [1]
S es reflexiva , irreflexive , simétrica , antisimétrica , asimétrica , transitiva , total de , tricotómica , un orden parcial , orden total , así orden , estricto orden débil , preorden total de (orden débil), una relación de equivalencia , o una relación con cualquier otra propiedades especiales, si y solo si R es.
Por ejemplo, R es un pedido ≤ y S un pedido, entonces un isomorfismo de X a Y es una función biyectiva ƒ: X → Y tal que
Este isomorfismo se denomina isomorfismo de orden o (con menos frecuencia) isomorfismo de isótonos .
Si X = Y , entonces este es un automorfismo que preserva la relación .
Aplicaciones
En álgebra , los isomorfismos se definen para todas las estructuras algebraicas . Algunos se estudian más específicamente; por ejemplo:
- Isomorfismos lineales entre espacios vectoriales ; se especifican mediante matrices invertibles .
- Isomorfismos de grupo entre grupos ; la clasificación de clases de isomorfismos de grupos finitos es un problema abierto.
- Isomorfismo de anillo entre anillos .
- Los isomorfismos de campo son lo mismo que el isomorfismo de anillo entre campos ; su estudio, y más específicamente el estudio de los automorfismos de campo, es una parte importante de la teoría de Galois .
Así como los automorfismos de una estructura algebraica forman un grupo , los isomorfismos entre dos álgebras que comparten una estructura común forman un montón . Dejar que un isomorfismo particular identifique las dos estructuras convierte este montón en un grupo.
En análisis matemático , la transformada de Laplace es un isomorfismo que mapea ecuaciones diferenciales rígidas en ecuaciones algebraicas más fáciles .
En teoría de grafos , un isomorfismo entre dos grafos G y H es un mapa biyectivo f desde los vértices de G a los vértices de H que conserva la "estructura de aristas" en el sentido de que hay una arista desde el vértice u hasta el vértice v en G si y sólo si hay un borde de ƒ ( u ) a f ( v ) en H . Ver isomorfismo gráfico .
En el análisis matemático, un isomorfismo entre dos espacios de Hilbert es una biyección que conserva la suma, la multiplicación escalar y el producto interno.
En las primeras teorías del atomismo lógico , Bertrand Russell y Ludwig Wittgenstein teorizaron que la relación formal entre hechos y proposiciones verdaderas era isomórfica. Un ejemplo de esta línea de pensamiento se puede encontrar en la Introducción a la Filosofía Matemática de Russell .
En cibernética , el buen regulador o teorema de Conant-Ashby se establece "Todo buen regulador de un sistema debe ser un modelo de ese sistema". Ya sea regulado o autorregulado, se requiere un isomorfismo entre el regulador y las partes de procesamiento del sistema.
Vista teórica de la categoría
En la teoría de categorías , dada una categoría C , un isomorfismo es un morfismo f : un → b que tiene un morfismo inverso g : b → una , es decir, fg = 1 b y gf = 1 una . Por ejemplo, un mapa lineal biyectivo es un isomorfismo entre espacios vectoriales , y una función continua biyectiva cuya inversa también es continua es un isomorfismo entre espacios topológicos , llamado homeomorfismo .
Dos categorías C y D son isomorfas si existen functores F : C → D y G : D → C que son mutuamente inversos entre sí, es decir, FG = 1 D (el funtor de identidad en D ) y GF = 1 C ( el funtor de identidad en D ).
Isomorfismo versus morfismo biyectivo
En una categoría concreta (es decir, una categoría cuyos objetos son conjuntos (quizás con estructura extra) y cuyos morfismos son funciones que preservan la estructura), como la categoría de espacios topológicos o categorías de objetos algebraicos (como la categoría de grupos , la categoría de anillos y categoría de módulos ), un isomorfismo debe ser biyectivo en los conjuntos subyacentes . En categorías algebraicas (específicamente, categorías de variedades en el sentido del álgebra universal ), un isomorfismo es lo mismo que un homomorfismo que es biyectivo en conjuntos subyacentes. Sin embargo, hay categorías concretas en las que los morfismos biyectivos no son necesariamente isomorfismos (como la categoría de espacios topológicos).
Relación con la igualdad
En ciertas áreas de las matemáticas, en particular la teoría de categorías, es valioso distinguir entre igualdad, por un lado, e isomorfismo, por otro. [2] La igualdad es cuando dos objetos son exactamente iguales, y todo lo que es cierto acerca de un objeto es cierto acerca del otro, mientras que un isomorfismo implica que todo lo que es cierto acerca de una parte designada de la estructura de un objeto es cierto acerca de la del otro. Por ejemplo, los conjuntos
- y
son iguales ; son simplemente representaciones diferentes —la primera intensional (en notación de constructor de conjuntos ) y la segunda extensional (por enumeración explícita) - del mismo subconjunto de números enteros. Por el contrario, los conjuntos { A , B , C } y {1,2,3} no son iguales: el primero tiene elementos que son letras, mientras que el segundo tiene elementos que son números. Estos son isomorfos como conjuntos, ya que los conjuntos finitos están determinados hasta el isomorfismo por su cardinalidad (número de elementos) y ambos tienen tres elementos, pero hay muchas opciones de isomorfismo: un isomorfismo es
- mientras que otro es
y ningún isomorfismo es intrínsecamente mejor que otro. [nota 1] [nota 2] Desde este punto de vista y en este sentido, estos dos conjuntos no son iguales porque uno no puede considerarlos idénticos : uno puede elegir un isomorfismo entre ellos, pero esa es una afirmación más débil que la identidad, y válida solo en el contexto del isomorfismo elegido.
A veces, los isomorfismos pueden parecer obvios y convincentes, pero aún no son iguales. Como ejemplo simple, las relaciones genealógicas entre Joe , John y Bobby Kennedy son, en un sentido real, las mismas que las de los mariscales de campo de fútbol americano de la familia Manning : Archie , Peyton y Eli . Los emparejamientos padre-hijo y los emparejamientos mayor-hermano-menor-hermano se corresponden perfectamente. Esa similitud entre las dos estructuras familiares ilustra el origen de la palabra isomorfismo (del griego iso -, "mismo", y - morph , "forma" o "forma"). Pero debido a que los Kennedy no son las mismas personas que los Manning, las dos estructuras genealógicas son simplemente isomorfas y no iguales.
Otro ejemplo es más formal e ilustra más directamente la motivación para distinguir la igualdad del isomorfismo: la distinción entre un espacio vectorial de dimensión finita V y su espacio dual V * = {φ: V → K } de mapas lineales de V a su campo de escalares K . Estos espacios tienen la misma dimensión y, por lo tanto, son isomorfos como espacios vectoriales abstractos (ya que algebraicamente, los espacios vectoriales se clasifican por dimensión, al igual que los conjuntos se clasifican por cardinalidad), pero no existe una opción "natural" de isomorfismo.. Si se elige una base para V , se obtiene un isomorfismo: para todo u . v ∈ V ,
- .
Esto corresponde a transformar un vector columna (elemento de V ) en un vector fila (elemento de V *) por transposición , pero una elección diferente de base da un isomorfismo diferente: el isomorfismo "depende de la elección de la base". De manera más sutil, no es un mapa de un espacio vectorial V a su doble doble V ** = { x : V * → K } que no depende de la elección de la base: Para todo v ∈ V y φ ∈ V *,
- .
Esto conduce a una tercera noción, la de un isomorfismo natural : mientras V y V ** son conjuntos diferentes, existe una elección "natural" de isomorfismo entre ellos. Esta noción intuitiva de "un isomorfismo que no depende de una elección arbitraria" se formaliza en la noción de transformación natural ; brevemente, que uno puede identificar consistentemente , o más generalmente mapear desde un espacio vectorial de dimensión finita a su doble dual,, para cualquier espacio vectorial de forma coherente. Formalizar esta intuición es una motivación para el desarrollo de la teoría de categorías.
Sin embargo, hay un caso en el que generalmente no se hace la distinción entre isomorfismo natural e igualdad. Eso es para los objetos que pueden caracterizarse por una propiedad universal . De hecho, existe un isomorfismo único, necesariamente natural, entre dos objetos que comparten la misma propiedad universal. Un ejemplo típico es el conjunto de números reales , que puede definirse mediante expansión decimal infinita, expansión binaria infinita, secuencias de Cauchy , cortes de Dedekind y muchas otras formas. Formalmente, estas construcciones definen diferentes objetos que son todas soluciones con la misma propiedad universal. Como estos objetos tienen exactamente las mismas propiedades, uno puede olvidar el método de construcción y considerarlos iguales. Esto es lo que hace todo el mundo cuando se hace referencia a " el conjunto de los números reales". Lo mismo ocurre con los espacios de cociente : comúnmente se construyen como conjuntos de clases de equivalencia . Sin embargo, referirse a un conjunto de conjuntos puede ser contrario a la intuición, por lo que los espacios de cociente se consideran comúnmente como un par de un conjunto de objetos indeterminados, a menudo llamados "puntos", y un mapa sobreyectivo de este conjunto.
Si se desea distinguir entre un isomorfismo arbitrario (uno que depende de una elección) y un isomorfismo natural (uno que se puede hacer de manera consistente), se puede escribir ≈ para un isomorfismo no natural y ≅ para un isomorfismo natural, como en V ≈ V * y V ≅ V **. Esta convención no se sigue universalmente, y los autores que deseen distinguir entre isomorfismos no naturales e isomorfismos naturales generalmente declararán explícitamente la distinción.
Generalmente, decir que dos objetos son iguales se reserva para cuando existe la noción de un espacio (ambiental) más grande en el que viven estos objetos. La mayoría de las veces, se habla de igualdad de dos subconjuntos de un conjunto dado (como en el ejemplo de conjunto de enteros arriba), pero no de dos objetos presentados de forma abstracta. Por ejemplo, la esfera unitaria bidimensional en un espacio tridimensional
- y la esfera de Riemann
que se puede presentar como la compactificación de un punto del plano complejo C ∪ {∞} o como la línea proyectiva compleja (un espacio cociente)
Hay tres descripciones diferentes para un objeto matemático, todos los cuales son isomórficos, pero no iguales porque no son todos subconjuntos de un solo espacio: el primero es un subconjunto de R 3 , el segundo es C ≅ R 2 [nota 3] más un punto adicional, y el tercero es un subcociente de C 2 .
En el contexto de la teoría de categorías, los objetos suelen ser, como mucho, isomórficos; de hecho, una motivación para el desarrollo de la teoría de categorías fue mostrar que las diferentes construcciones en la teoría de la homología producían grupos equivalentes (isomórficos). Sin embargo, dados los mapas entre dos objetos X e Y , uno se pregunta si son iguales o no (ambos son elementos del conjunto Hom ( X , Y ), por lo tanto, la igualdad es la relación adecuada), particularmente en los diagramas conmutativos .
Ver también
- Bisimulación
- Relación de equivalencia
- Heap (matemáticas)
- Isometria
- Clase de isomorfismo
- Teorema del isomorfismo
- Propiedad universal
- Isomorfismo coherente
Notas
- ^ A , B , C tienen un orden convencional, es decir, orden alfabético, y de manera similar 1, 2, 3 tienen el orden de los números enteros, y por lo tanto, un isomorfismo particular es "natural", a saber
- .
- ^ De hecho, hay precisamentediferentes isomorfismos entre dos conjuntos con tres elementos. Esto es igual al número de automorfismos de un conjunto de tres elementos dado (que a su vez es igual al orden del grupo simétrico en tres letras), y más generalmente se tiene que el conjunto de isomorfismos entre dos objetos, denotadoes un torsor para el grupo de automorfismos de A, y también un torsor para el grupo de automorfismos de B. De hecho, los automorfismos de un objeto son una razón clave para preocuparse por la distinción entre isomorfismo e igualdad, como se demuestra en el efecto del cambio de base en la identificación de un espacio vectorial con su dual o con su doble dual, como se elabora en la secuela.
- ^ Siendo precisos, la identificación de los números complejos con el plano real,
Referencias
- ↑ Vinberg, Ėrnest Borisovich (2003). Un curso de álgebra . Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 3. ISBN 9780821834138.
- ^ Mazur 2007
Otras lecturas
- Mazur, Barry (12 de junio de 2007), ¿ Cuándo una cosa es igual a otra? (PDF)
enlaces externos
- "Isomorfismo" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. "Isomorfismo" . MathWorld .